Cliquer sur la ou les bonnes réponses.

1. Soit (f_n)_n une suite de fonctions f_n définies sur R et à valeurs réelles.
   la suite (f_n)_n tend vers 0 quand n tend vers l'infini est une condition :

   1. nécessaire de convergence simple de la série de terme général f_n en un point x de R.
   2. suffisante de convergence de la série de terme général f_n en un point x de R.
   3. nécessaire de convergence unforme de la série de terme général f_n sur une partie de R.
   4. suffisante de convergence unforme de la série de terme général f_n sur une partie de R.
   5. sans rapport avec la convergence de la série de terme général f_n
   Correction

2. On considère la suite de fonctions (f_n)_n avec f_n définie sur R⁺ par :
   
   Cette suite de fonctions converge :

   1. simplement sur R⁺
      
   2. uniformément sur R⁺
   3. uniformément sur tout compact de R⁺
   Correction

3. On considère la suite de fonctions (f_n)_n avec f_n définie sur R⁺ par :
   
   Cette suite de fonctions

   1. converge simplement sur R⁺
      
   2. converge uniformément sur R⁺
   3. converge uniformément sur les compacts de R⁺
   Correction

4. La convergence uniforme d'une série de fonctions définies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles implique :

   1. la convergence simple sur I.
   2. la convergence normale sur I.
   3. la convergence uniforme sur tout compact de I.
   4. la convergence quadratique sur I.
   Correction

5. La convergence uniforme d'une série de fonctions définies sur tous les compacts d'un intervalle I de R et à valeurs réelles implique :

   1. la convergence simple sur I.
   2. la convergence uniforme sur I.
   3. la convergence normale sur I.
   Correction

6. On considère une série de fonctions (f_n)_n avec f_n définie sur une partie X de R⁺ et à valeurs réelles.
   On suppose que la série est uniformément convergente sur tout compact de l'intervalle I.
   Alors :

   1. La somme de la série est une fonction continue sur I.
      
   2. La somme de la série est une fonction dérivable sur I.
   3. La somme de la série est une fonction bornée sur I.
   Correction

7. On considère la suite de fonctions (f_n)_n avec f_n définie sur R⁺ par :
   
   Cette suite de fonctions converge :

   1. simplement sur R⁺
      
   2. uniformément sur R⁺
   3. uniformément sur les compacts de R⁺
   Correction