Définition :

Définition :

définition :

Définition :

Proposition :

preuve :

Nous ne traitons que le cas où (u_n)_n possède deux limites finies distinctes l et l'.

Il existe alors > 0 tel que ]l - ; l + []l'- ; l' + [= Ø.

Comme (u_n)_n tend vers l, /n > N,u_n ]l - ; l + [ ;.

De même, N /n > N',u_n ]l'- ; l' + [.

Par conséquent, n > max(N,N'),u_n ]l - ; l + []l'- ; l' + [ : contradiction.

Proposition :

Preuve :

Puisque (u_n)_n est convergente vers l, pour = 1, il existe un entier n tel que pour tout entier n supérieur ou égal à N on a |u_n - l| < 1 donc -1 < u_n - l < 1 ou encore l - 1 < u_n < l + 1. Par conséquent, on a pour tout entier n, u_n < max{u₀; u₁; ...; u_N-1; l + 1} et u_n > max{u₀; u₁; u₂; ...; u_N-1; l - 1}.

Proposition :

Preuve : • Pour tout strictement positif, (u_n)_n étant convergente, N₁ > 0, n > N₁, |u_n - l| < . De même, (v_n)_n étant convergente, N₂ > 0, n > N₂, |v_n - l| < .

Par suite, n > max N₁; N₂, |u_n + v_n - (l + l')| < |u_n - l| + |v_n - l'| < ce qui montre que la suite (u_n + v_n)_n converge vers l + l'. • Même méthode que précédemment. • (v_n)_n étant bornée, il existe M > 0 tel que pour tout entier n, on a v_n inférieur ou égal à M.

Comme (u_n)_n converge vers 0, pour tout strictement positif, il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur à N on a |u_n - 0| < .

D’où |u_nv_n| < M ce qui montre que (u_nv_n)_n est convergente vers 0. • Soit > 0. (u_n)_n et (v_n)_n étant convergentes, elles sont respectivement bornées par deux réels M et M'. On a pour tout entier n,

|u_nv_n - ll'| = |u_nv_n - u_nl' + l'u_n - ll'| < |u_n||(v_n - l')| + |l'||u_n - l| puis M|v_n - l'| + |l'||un_-l|. On utilise ensuite la définition de la convergence des deux suites pour majorer |u_n - l| par et |v_n - l'| par . • l'0 implique que |l'| > 0.

Comme (v_n)_n converge vers l', pour = , il existe un entier N tel que pour tout entier n supérieur ou égal à N on a |v_n - l'| < . Avec ||v_n|-|l'|| < |v_n - l'| on obtient donc ||v_n|-|l'|| < c’est à dire 0 < |l'|- < ||v_n| ce qui assure que pour tout n supérieur ou égal à N, la suite (v_n)_n est bien définie.

Pour montrer la convergence, on utilise le fait que pour tout n entier supérieur ou égal à N, | -| = |-|. (v_n)_n est minorée car convergente par un nombre m supérieur à 0 strictement à partir d’un certain rang. La convergence de (v_n)_n permet alors d’assurer que la quantitée ci-dessus peut-être rendue aussi petite que l’on veut ce qui justifie la convergence de ()_n vers . On utilise ensuite le produit de (u_n)_n par ()_n pour obtenir la convergence de ()_n vers .

Proposition :

Définition :

Définition :

Proposition :

Preuve :

• Si a est une valeur d’adhérence, soit > 0 donné, pour N = 1,n > N/|u_n - a| < ,i.e.,u_n ]a - ; a + [. On pose r₁ = n.

  Supposons r_k construit pour tout k < n, vérifiant k < n,u_k ]a - ; a + [ et k < n + 1,r_k+1 > r_k.

  Alors pour N = r_n,p > N/|u_p - a| < . On pose r_n+1 = p.

  Par récurrence, on a donc construit une suite infinie de termes u_n tous distincts et vérifiant u_n ]a - ; a + [.

• S’il existe une infinité de termes de la suite dans ]a - ; a + [, soit u_p tel que |u_p - a| < 1, on pose (1) = p.

  Supposons construite pour tout k < n une sous suite (u_(k)) telle que k < n,|u_(k) - a| < 1/k, alors pour = 1/(n + 1),r > (n)/|u_r - a| < 1/(n + 1)

  Ainsi on construit par récurrence une sous suite extraite de (u_n) qui tend vers a : en effet, Soit > 0,k */ < et n > k,|u_(n) - a| < < < .

• S’il existe une sous suite (u_(n))_n qui tend vers a, alors pour tout strictement positif et pour tout N , il existe p tel que n > p,|u_(n) - a| < donc, n > max(N,p),|u_(n) - a| <

Remarque :

Un point a est adhérent à une partie A de ssi tout intervalle de la forme ]a - ; a + [ avec > 0 contient un point de A.

Il ne faut pas confondre ici valeur d’adhérence de la suite (u_n)_n et point adhérent à l’ensemble {u_n/n } : toute valeur d’adhérence de la suite est point adhérent à {u_n/n }. mais la réciproque est fausse : ainsi toute valeur u_p de la suite est adhérent à {u_n/n } mais n’est pas en général valeur d’adhérence de (u_n)_n.

Proposition :

Preuve :

Si toute suite extraite tend vers l, en particulier (u_n)_n tend vers l.

Réciproquement, si (u_n)_n tend vers une limite l que l’on supposera finie, les autres cas se démontrant de la même manière, on se donne une suite extraite (u_(n))_n de la suite (u_n)_n.

Alors > 0,p ,n > p,|u_n - l| < donc, étant strictement croissante de dans on a (n) > n pour tout n et donc |u_(n) - l| < pour tout n > p.

Exemple :

(u_n)_n définie par u_n = sin() n’est pas convergente.

Preuve :

En effet, u_14n = sin() = sin(2n) = 0 pour tout n donc (u_2n)_n converge vers 0 alors que u_14n+1 = sin() = sin(2n + ) = sin()(-1)²ⁿ = sin() pour tout n et (u_14n+1)_n converge donc vers sin().

Exemple :

(u_n)_n converge vers l ssi les suites extraites (u_2n)_n et (u_2n+1)_n convergent vers l.

Preuve :

La condition nécessaire est évidente d’après la proposition III. Supposons donc que (u_2n)_n et (u_2n+1)_n tendent toutes les deux vers la même limite l.

> 0,N₁ /n > N₁,|u_2n-1 - l| < et N₂ /n > N₂|u_2n+1 - l| <

On pose N = max{2N₁; 2N₂ + 1}. Pour tout n > N, si n est pair alors n = 2k et k > N₁ donc |u_2k - l| = |u_n - l| < sinon n est impair, n = 2k + 1, k > N₂ donc |u_2k+1 - l| = |u_n - l| <

Proposition :

Théorème "de la limite monotone" :

Preuve :

Par définition de la borne supérieure, > 0,N ,sup_n{u_n}- < u_N < sup_n{u_n} donc, (u_n)_n étant croissante, n > N,sup_n{u_n}- < u_N < u_n < sup_n{u_n}. Même type de preuve pour le cas décroissant.

Théorème "des gendarmes" :

preuve :

• Soit > 0. lim_nx_n = l donne l’existence de N' ',n > N',x_n > l - lim_ny_n = l donne l’existence de N'' ,n > N'',y_n < l + Pour tout n > max{N; N'; N''} on a donc l - < x_n < u_n < y_n < l + .
• Soit M , comme lim_nx_n = +, N' ,n > N',x_n > M donc pour tout n > max{N; N'} on a u_n > x_n > M.
• Soit M , comme lim_ny_n = -, N'' ,n > N'',y_n < M donc pour tout n > max{N; N''} on a u_n < y_n < M.

Proposition :

Définition :

Proposition :

Théorème des segments emboîtés :

Preuve :

Du fait que pour tout entier n, I_n+1 I_n on déduit que a_n+1 > a_n et b_n+1 < b_n. La suite (a_n)_n est donc croissante, la suite (b_n)_n décroissante. En outre, (b_n - a_n)_n converge vers à donc les suites (a_n)_n et (b_n)_n sont adjacentes et sont donc convergentes vers une limite commune l.

S’il existe N tel que lI_N, alors l > b_N ou l < a_N. On peut supposer que l < a_n, le raisonnement serait identique dans l’autre cas. Il existe donc > 0 tel que pour tout n < N, l + < a_N < a_n c’est à dire l - a_n > ce qui impose que (a_n)_n ne converge pas vers l en contradiction avec ce qui a été justifié précédemment. Par conséquent n , l I_n.

Soit l'l, alors il existe > 0 tel que |l - l'| > . Or (b_n - a_n)_n étant convergente vers 0, il existe N tel que |b_N - a_N| < . Si l' I_N alors |l - l'| < |l - a_N| + |l'- a_N| < + < , contrairement à ce qui précède. Donc l'I_n et I_n = {l}.

Théorème "de Bolzano-Weierstrass" :

preuve :

Soit (u_n)_n une suite bornée. Il existe M tel que -M < u_n < M.

Construisons une suite (I_n)_n d’intervalles de la forme [a_n; b_n] vérifiant I_n contient une infinité de termes de la suite (u_n)_n, le diamètre (I_n) <(b₀ - a₀) où (I_n) désigne le diamètre de I_n et I_n+1 I_n.

On pose a₀ = -M, b₀ = M et donc I₀ = [-M; M] qui vérifie de manière évidente les trois conditions précédentes.

Supposons I_k = [a_k; b_k] construit jusqu’à un rang n.

Alors [a_n; ] ou [; b_n] contient une infinité de termes de la suite (u_n)_n.

Si [a_n; ] contient une infinité de termes de la suite, on pose a_n+1 = a_n et b_n+1 = sinon on pose a_n+1 = et b_n+1 = b_n.

Dans les deux cas, I_n+1 I_n et b_n+1 - a_n+1 = <(b₀ - a₀) <(b₀ - a₀) donc I_n+1 vérifie les trois conditions énoncées.

Par récurrence on construit donc la suite (I_n)_n.

Construisons ensuite une sous suite (u_(n))_n de la suite (u_n)_n telle que n u_(n) I_n.

On pose (0) = 0 et de manière évidente u₀ I₀ = [a₀; b₀]

Supposons construite jusqu’à un rang n, (k)/0 < k < n vérifiant k < n - 1,(k + 1) > (k) et k {0; ...; n}(k) I_k.

On a I_n+1 I_n et I_n+1 possède une infinité de termes de la suite (u_n)_n. Il existe donc p > (p)/u_p I_n+1. On pose alors (n + 1) = p. et qui vérifie les conditions voulues. Par récurrence, on construite donc la suite (u(n))_n.

Par construction, cette sous suite converge vers I_n qui est un singleton {l} avec l d’après le théorème des segments emboîtés.