Définition :

Proposition :

Preuve :

Par récurrence, les deux propriétés sont trivialement vraies au rang n = 0. Si elles sont vraies au rang n , on a : u_n+1 = u_n + r = u₀ + nr + r = u₀ + (n + 1)r et u₁+...+u_n+1 = (n+1)u₀+r+u_n+1 = (n+1)u₀+r+u₀+(n+1)r = (n + 2)u₀ + r + r = (n + 2)u₀ + Donc les propriétés sont vraies au rang n + 1 et par récurrence, elles sont donc vraies pour tout n .

Définition :

Proposition :

Preuve :

Par récurrence. Les deux propriétés sont vraies au rang n = 0. Supposons qu’elles sont vraies à un rang n . On a alors u_n+1 = qu_n = qqⁿu ₀ = qⁿ⁺¹u ₀ d’une part. D’autre part, si q = 1, on a u₁ + ... + u_n+1 = (n + 1)u₀ + u_n+1 = (n + 1)u₀ + u₀ = (n + 2)u₀ et si q1, on a u₁ + ... + u_n+1 = u₀ + u_n+1 = u₀ + qⁿ⁺¹u ₀ = u₀( + ) = u₀. Les deux propriétés sont donc vraies au rang n + 2 et par récurrence elles sont vraies pour tout n .

Définition :

Une suite particulière est obtenue pour la suite constante l telle que l = al + b. Cette valeur l est d’ailleurs la limite éventuelle de la suite si elle converge. Soit (v_n)_n la suite auxiliaire définie par : n ,v_n = u_n - l
On a alors : n ,v_n+1 = av_n. Autrement dit, la suite (v_n)_n est une suite géométriques de raison a. On a v_n = aⁿv ₀ et u_n = l + aⁿ(u ₀ - l).

La suite converge donc ssi |a| < 1 ou u₀ = l.

Définition :

Les suites géométriques rⁿ non nulles solution de cette récurrence vérifient : r² = ar + b. Soit r solution (éventuellement complexe). Cherchons les autres solutions sous la forme : u_n = v_nrⁿ. On obtient :

• Si r = r' alors v_n est de la forme n + et u_n est combinaison des suites rⁿ et nrⁿ.
• Si rr' alors v_n est de la forme ()ⁿ + , et u_n est combinaison de rⁿ et de r'ⁿ.

proposition :

preuve :

Posons S = {(u_n)_n/n ,u_n+2 = au_n+1 + bu_n}S est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des suites. Cet espace est de dimension 2. En effet, considérons les deux suites particulières U et V éléments de S, définies par U₀ = 1 et U₁ = 0,V ₀ = 0 et V ₁ = 1. On prouve facilement par récurrence que toute suite u de S s’écrit : u = u₀U + u₁V Cette décomposition est unique. Ceci prouve que (U; V ) constitue une base de S. Cette base est malheureusement de peu d’utilité car elle ne permet pas de calculer le terme général de la suite. Cherchons donc une autre base. Cherchons les éléments de S qui sont des suites géométriques (r_n)_n. r doit alors vérifier :

Plusieurs cas sont à considérer :

• sur  :

  si le discriminant est non nul, il y a deux suites différentes de raisons r₁ et r₂. Il n’est pas difficile de montrer que ces deux suites forment un système libre et donc une base de S. Cette base permet de calculer le terme général de toute suite de S ;

  si le discriminant est nul, alors il y a une racine unique r, égale à , et b = -. Cherchons une autre suite sous la forme v_nrⁿ. On obtient alors :

  Ainsi v_n+1 - v_n est constante. On peut prendre par exemple comme solution particulière v_n+1 - v_n = 1 c’est à dire v_n = n. Les deux suites (rⁿ) _n et (nrⁿ) _n sont indépendantes. Elles forment une base de S
• sur  :

  si le discriminant est positif, c.f. ci-dessus ;

  si le discriminant est nul, c.F. ci-dessus ;

  si le discriminant est négatif, alors, en tant que sous espace vectoriel complexe, on peut prendre comme base les suites géomériques de raison r₁ et r₂, nécessairement conjuguées si a et b sont réels. Mais on peut prendre également Re(r₁ⁿ) et Im(r₂ⁿ) qui, étant combinaisons linéaires de r₁ⁿ et r₂ⁿ sont bien éléments de S, sont réelles, et engendrent S.

Exemples :

• u_n+2 = 3u_n+1 - 2u_n
• u_n+2 = u_n+1 + u_n (suite de Fibonacci)

Définition :

Dans la suite, on se donne une suite (u_n)_n définie par :

Proposition :

Preuve :

Montrons par récurrence que pour tout n , u₍n + 1) - u_n est du signe de u₁ - u₀.
C’est vrai pour n = 0 de manière évidente, supposons la propriété vraie pour un rang n. On a alors :

Proposition :

preuve :

Si f est décroissante, f o f est croissante donc par la proposition précédente (u_2n)_n et (u_2n+1)_n sont monotones. On a en outre u_2n+2 - u_2n qui est du même signe que u₂ - u₀ et u_2n+1 - u_2n-1 de même signe que u₃ - u₁. Si f o f(u₀) > u₀ alors u₂ - u₀ > 0 et f o f(f(u₀)) < f(u₀) donc u₃ - u₁ < 0 donc (u_2n+1)_n est croissante et (u_2n)_n est décroissante. Si f o f(u₀) < u₀, (u_2n)_n est décroissante et u_2n+1)_n est croissante.

On suppose dans la suite que f est continue d’un intervalle I fermé dans lui-même.

Proposition :

Preuve :

Par continuité de f, si (u_n)_n converge vers l, alors (f(u_n)_n) converge vers f(l), Mais f(u_n) = u_n+1 donc par unicité de la limite l = f(l).

Conséquence :

Si f n’a pas de point fixe, (u_n)_n diverge.

Remarques :

• Une fonction continue peut avoir un seul point fixe et la suite (u_n)_n peut diverger. En effet, par exemple, f : x -x sur [0; 1] admet 0 pour unique point fixe et la suite (u_n)_n associée diverge.
• Si I = [a; b] alors f admet au moins un point fixe.

  Preuve :

  Soit g : I définie par x I g(x) = f(x) - x. On a g(a) = f(a) - a > 0, g(b) = f(b) - b < 0 et g est continue sur I donc par la théorème des valeurs intermédiaires, il existe c [a; b] tel que g(c) = 0 c’est à dire f(c) = c

Dans la suite, on supposera I fermé borné, i.e. I = [a; b] avec a < b.

Proposition :

Preuve :

On a vu que f admet au moins un point fixe, que (u_n)_n est monotone. Comme elle est bornée, elle admet donc une limite qui ne peut-être qu’un point fixe de f.

Remarque :

Si f est strictement décroissante, f admet un unique point fixe, envisager la convergence de la suite (u_n)_n.

Preuve :

On a vu que f admet un point fixe. Montrons qu’il est unique. Si l₁ et l₂ sont deux points fixes distincts, on peut supposer l₁ < l₂ et on a alors f(l₁) > f(l₂) puisque f est strictement décroissante. Or pour i {1; 2}, f(l_i) = l_i donc l₁ > l₂ ce qui est absurde et montre l’unicité.

Proposition :

preuve :

Sous réserve d’existence, montrons d’abord l’unicité. Si l₁ et l₂ sont deux points fixes pour f on a donc f(l₁) = l₁ et f(l₂) = l₂. Par suite ||l₁ - l₂|| = ||f(l₁) - f(l₂)||< k||l₁ - l₂|| donc (1 - k)||l₁ - l₂||< 0 ce qui impose  l₁ - l₂|| = 0 d’où l’unicité. Pour l’existence, soit (u_n)_n la suite définie précédemment. Montrons qu’elle est de Cauchy. Soient donc n et p entiers :