Séries à termes réels positifs, cours de premier cycle universitaire

On dit que la série sum _n>0u_n dans E est normalement (ou absolument si E = ) convergente ssi la série sum _n>0||u_n|| est convergente dans .

Remarque :

sum _n>0||u_n|| est une série à termes positifs.

Toute série normalement convergente est convergente.

Preuve :

Soit sum _n>0u_n telle sum _n>0||u_n|| converge. Soit S_N = sum _k=0^Nu_k et s_N = sum _k=0^N||u_k||.
On a s_n+p - s_n = sum _k=1^p||u_n+k|| et S_n+p - S_n = sum _k=1^pu_n+k. Donc

sum p sum p ||S - S || = || u || < ||u || = s - s n+p n n+k n+k n+p n k=1 k=1

Par conséquent, si (s_N)_N converge alors elle est de Cauchy et la majoration précédente montre que (S_N)_N est aussi de Cauchy et comme E est complet (S_N)_N converge.

2 Etude des séries à termes positifs

Une série à termes positifs est convergente si et seulement si ses sommes partielles sont bornées.
Soient (x_n)_n et (y_n)_n deux suites positives telles que pour n assez grand : x_n < y_n. Alors
- Si y_n converge, alors x_n aussi
- Si x_n = +, alors y_n = +

Soient (x_n)_n et (y_n)_n deux suites positives.

Si x_n = O(y_n) et si y_n converge, alors x_n converge
Si x_n ~ y_n alors x_n et y_n sont de même nature

Théorème (Séries de Riemann) :

Pour tout fixé, sum _n=1⁺ 1
na converge si et seulement si > 1.

Application :

Soit sum _n=0⁺u_n une série à termes positifs. S’il existe ]1; +[ tel que lim_nnu_n = 0, alors sum _n=0⁺u_n converge.

Théorème (Série géométrique) :

Soit r , la série sum _n=0⁺rⁿ, appelée série géométrique, converge si et seulement si |r| < 1. De plus, si |r|<1, alors :

+ sum oo 1 rn = ----- n=0 1- r

Proposition (règle de d’Alembert) :

On suppose que pour tout entier naturel n, u_n > 0, que (a_n)_n ne s’annule qu’en un nombre fini de rangs et que lim sup unu+1
n = l et que la suite (u_n)_n n’ a qu’un nombre fini de termes nuls.

Si l < 1, alors la série u_n converge
Si l > 1, alors la série u_n diverge vers +

Preuve :

Si l < 1, soit r tel que l < r < 1. N , n > N < r $un+1 un uN+1 n- N un+1 = ----------× ...----- × uN < x un un-1 uN$ Remarque : aucun terme de (u_n)_n ne doit être nul : on enlève les termes nuls. Par comparaison, la série converge donc.
Si l > 1, soit r tel que l > r > 1.
$u A N (- N, E nN > N / -nN+1-> r unN$ La suite extraite (u_{n_N})_N est strictement croissante et donc ne tend pas vers 0 lorsque N tend vers l’infini. Le terme général de la série, u_n, ne tend pas vers 0 donc _n>0u_n diverge.

Proposition (Règle de Cauchy) :

On suppose que pour tout entier naturel n, u_n > 0 et que lim sup ---
V~ nun = 1. Alors on a les mêmes conclusions que pour la règle de d’Alembert.

Preuve :

Si l < 1, soit r tel que l < r < 1, N / n > N < r donc u_n < rⁿ. D’après le critère de comparaison _nx_n converge.
Si l > 1, soit r tel que l > r > 1, N n_N > N / > r d’où u_{n_N} > r^n_N. Comme r > 1, la série diverge.

Remarque :

Le principe de la démonstration des règles de d’Alembert et de Cauchy consiste à comparer la série à une série géométrique : ces règles ne peuvent donc s’appliquer que pour une série convergente dont le terme général tend vers zéro plus vite su’une suite géométrique de raison q [0; 1[, ou pour une série divergente dont le terme général tend vers + plus vite q’une suite géométrique de raison q > 1. Cela explique qu’elles ne s’appliquent pas par exemple aux séries de Riemann puisque qⁿ = o( 1-
na ) pour réel et q [0; 1[ et 1-
na = o(qⁿ) pour q > 1.

Soit f une fonction de [n₀; +[ dans ₊ où n₀ , continue par morceaux et décroissante.

Soit (u_n)_n la suite définie par n u_n = f(n). Alors la série sum _n>0u_n et l’intégrale généralisée integral _n₀⁺f(x)dx sont de même nature et s’il y a convergence, on a :

integral + oo sum + oo integral + oo A n > n0 f < f(k) < f n+1 k=n+1 n

Preuve :

A x (- [n; n + 1[, f (n + 1) < f(x) < f(n)

donc

integral n+1 integral n+1 integral n+1 n f(n + 1)dx < n f (x)dx < n f(n)dx

d’où

integral n+1 un+1 < f(x)dx < un n

Par conséquent,

sum N integral k+1 integral N+1 SN > f (x)dx = f (x)dx k=1 k 1

N sum -1 integral k+1 integral N SN < f (x)dx = f (x)dx k 0 k=0

Quand n tend vers +

, si la série converge, integral

₁⁺f(x)dx converge et si integral

₀⁺f(x)dx converge alors la série converge.

Exercice :

Soit (x_n)_n une suite à temes strictement positifs telle que lim xn+1
xn = l. Alors lim n V~ x---
n = l. Ainsi si la règle de d’Alembert a échouée, il est inutile d’essayer celle de Cauchy). Etudier la réciproque.