On dit qu’une série _n>0u_n à termes dans est absolument convergente si _n>0|u_n| converge.

Soit u_n une série à termes dans . Si u_n converge absolument alors u_n converge et :

Si u_n et v_n sont absolument convergentes, alors pour tout , _n>0u_n + v_n est absolument convergente.

Une série convergente non absolument convergente est dite semi-convergente.

On dit qu’une série u_n à termes réels est alternée si la suite ((-1)ⁿu _n)_n est de signe constant.

Soit u_n une série à termes réels alternée. Si (|u_n|)_n est décroissante et tend vers 0 quand n tend vers l’infini, alors u_n converge.

Si la série réelle u_n est alternée, telle que (|u_n|)_n décroît et tend vers 0, alors d’après le théorème sur les séries alternées, elle converge et son reste R_n d’ordre n vérifie :

Soit u_n une série. On appelle extractrice toute application : - strictement croissante.

Notons, pour tout n ,v_n = _k=(n)^(n+1)-1u _k où est une extractrice. On dit que la série v_n a été obtenue par groupement de termes à partir de la série u_n. Les v_n sont souvent appelés paquets, (n + 1) - (n) s’appelle la longueur du paquet v_n.

Si u_n converge, alors v_n converge et _n=0⁺v _n = _k=(0)⁺u _k.

Soient _n>0u_n une série à termes dans et : - une application strictement croissante ; on note, pour n ,v_n = _k=(n)^(n+1)-1u _k. Si (u_n)_n tend vers 0 quand n tend vers l’infini et si ((n+1)-(n))_n est bornée, alors les séries _n>0u_n et _n>0v_n sont de même nature et, dans le cas de convergence, on a : _n=0⁺v _n = _k=(0)⁺u _k