Convergence uniforme et normale des séries de fonctions, cours de premier cycle universitaire

F.Gaudon

9 août 2005

Table des matières

1 Définitions
2 Propriétés de la somme

1 Définitions

On se donne une suite (fn)n d’applications d’un espace de Banach X dans un autre espace de Banach E.

Définition :

Soit (fn)n une suite d’applications de X dans E. Pour tout entier N, on définit l’application SN : X --> E par SN(x) = sum n=0Nf n(x). Les fonctions SN sont appelées sommes partielles de la série de fonctions sum n>0fn.

Définition :

On dit que la série de fonctions sum n>0fn est simplement convergente sur X si la suite de fonctions (SN)N est simplement convergente sur X. Cela revient à dire que pour tout x de X, la série sum n>0fn(x) est convergente dans E.

Définition :

On dit que la série de fonctions sum n>0fn est uniformément convergente sur X si la suite (SN)N des sommes partielles est uniformément convergente sur X.

Proposition :

Si une série de fonctions est uniformément convergente, alors elle est simplement convergente.

Preuve :

Immédiat

Remarque :

Soit sum n>0fn une série de fonctions, simplement convergente.
Pour tout N de N, soit RN = sum n=N+1 oo f n le reste d’indice N de cette série. Dire que la série sum n>0fn est uniformément convergente sur X, c’est dire que la suite (RN)N converge uniformément vers la fonction nulle. Cela équivaut à écrire :

oo sum A e > 0 E N0 (- N A N > N0 A x (- X | fn(x) |< e n=N+1

Proposition :

Si sum n>0fn convergesimplement (resp. uniformément) sur X, alors la suite (fn)n converge simplement (resp. uniformément) vers la fonction nulle.

Preuve :

Pour la convergence uniforme, (fn)n converge uniformément donc (SN)N est de Cauchy uniforme. Par conséquent,

A e > 0, E N (- N / A n, m > N A x (- X || Sn(x) - Sm(x) || < e
Pour m = n + 1, on obtient : A n > N A x (- X ||fn+1(x)||< e.

Remarque :

Cette propriété est souvent utilisée pour démontrer qu’une série de fonctions n’est pas uniformément convergente.

Définition :

On dit que la série de fonctions sum n>0fn est normalement convergente sur X s’il existe une série sum n>0an de R+, convergente, telle que pour tout n de N et tout x de X, |fn(x)|< an.

Cela revient à dire que la série numérique sum n>0 sup{|fn(x)| / x (- X} est convergente.

Proposition :

Si une série de fonctions est normalement convergente, alors elle est uniformément convergente et elle est absolument convergente. En particulier, elle est simplement convergente.

Preuve :

Montrons dans un premier temps que la convergence normale implique la convergence uniforme. Supposons donc que (fn)n converge normalement sur X. Il existe une série sum n>0cn convergente avec cn (- R+ et ||f n(x)||< cn pour tout n (- N. Alors A x (- X; || sum k=0n+pf k(x) - sum k=0nf k(x)||< || sum k=n+1n+pf k(x)||< sum k=n+1n+p||f k(x)||< sum k>n+1||fk(x)||< sum k>n+1cn qui tend vers 0 quand n tend vers + oo comme reste de la somme d’une série convergente. Par conséquent, la suite satisfait au critère de Cauchy uniforme et est donc uniformément convergente.

Remarque :

La réciproque est fausse.

2 Propriétés de la somme

Proposition :

Soient (fn)n et (gn)n deux suites de fonctions de I dans K = R ou C. Soient a et b deux éléments de K. Si les séries sum n>0fn et sum n>0gn sont convergentes simplement (resp. uniformément, resp. normalement) sur I, alors la série de fonctions sum n>0(afn + bgn) est convergente simplement (resp. uniformément,resp. normalement).

Preuve :

Découle directement des propriétés des limites de suites de fonctions.

Proposition :

Soit (fn)n une suite de fonctions de X dans E.

On suppose que la série sum n>0fn est uniformément convergente sur tout compact.

  • Soit x0 un point de X. Si les (fn)n sont continues en x0 alors S = sum n=0 oo f n est continue en x0.
  • En particulier : si les fn sont continues sur X, la somme S = sum n=0 oo f n est continue sur X

Preuve :

Découle directement des propriétés des limites de suites de fonctions.

Remarque :

Les deux propriétés précédentes peuvent parfois être utilisées pour montrer qu’une série de fonctions n’est pas uniformément convergente.

Proposition :

Soit (fn)n une suite de fonctions d’un intervalle I = [a; b] compact dans E continues sur X On suppose que la série sum n>0fn est uniformément convergente sur tout compact. Alors pour tous a, b de I on a l’égalité :

integral b oo oo integral b sum sum a fn(t) dt = a fn(t) dt n=0 n=0

Proposition :

Soit (fn)n une suite de fonctions d’un intervalle I de R dans un corps K = R ou C, de classe C1, telle que :

  • I l existe au moins un x0 de I tel que la série sum n>0fn(x0) converge.
  • La série de fonctions sum n>0f'n est uniformément convergente sur tout compact de I.

Alors on a les résultats suivants :

  • la série sum n>0fn est uniformément convergente sur tout compact de I.
  • La somme de la série sum n>0fn est de classe C1 sur I.
  • Sur tout intervalle I, on a l’égalité : ( sum n>0+ oo f n)' = sum n>0+ oo f' n.