Compacité, cours de premier cycle universitaire

F.Gaudon

2 août 2005

Table des matières

1 Parties compactes d’un espace vectoriel normé
2 Application aux suites
3 Lien avec les fonctions
4 Cas de la dimension finie

On considère dans ce qui suit un K-espace vectoriel normé (E; || ||).

1 Parties compactes d’un espace vectoriel normé

Définition :

Une partie A de E est dite compacte ssi toute suite d’éléments de A admet une valeur d’adhérence dans A.

Exemple :

Soit (xn)n une suite convergente vers une limite l dans E.

Alors {xn/n (- N} U {l} est une partie compacte de E.

Proposition :

Une partie A de E est compacte ssi de tout recouvrement de A par des ouverts, on peut extraire un recouvrement fini.

Proposition :

Toute partie compacte de E est fermée dans E et bornée.

Preuve :

Soit A une partie compacte de E. U x (- AB(x; 1) est sans aucun doute un recouvrement de A par des ouverts. On peut donc en extraire un recouvrement fini, soit U i (- {1; ...; k}B(xi; 1) qui est donc borné. A est donc incluse dans une partie bornée, elle est donc elle-même bornée.

Soit x un élément de l’adhérence de A. Il existe donc une suite (xn)n d’éléments de A qui converge vers x. Or A est compact donc cette même suite a donc une valeur d’adhérence dans A. Toute suite convergente admet pour unique valeur d’adhérence sa limite, x est donc dans A ce qui montre que l’adhérence de A est incluse dans A et par suite que A est égale à son adhérence donc est fermée.

Proposition :

Soit X une partie compacte de E et Y une partie fermée incluse dans X.

Alors Y est une partie compacte de E.

Preuve :

Soit (xn)n une suite d’éléments de Y . Puis que Y est incluse dans X qui est compacte, la suite admet une valeur d’adhérence x dans X. Mais comme Y est fermée, Y est égale à son adhérence et donc x appartient à Y ce qui montre que Y est compacte.

Proposition :

Soient (E1; N1), (E2; N2), ..., (Ek; Nk) k espaces vectoriels normés.

Alors (E1×E2×E3×...×En; || ||), où N est une norme associée au produit, est compact si et seulement si A i (- {1; ...; k} Ei est .

Preuve :

On supposera que N est la norme définie pour tout x = (x1; x2; ...; xk) par N(x) = max i (- {1;...;k}Ni(xi)} mais le même type de démonstration resterait valable pour d’autres normes.

Supposons que tous les Ei sont compacts. Soit (xn)n une suite de E. On a donc A nN, xn = (0; ...; 0; xni; 0; ...; 0). La suite (x ni) n est une suite de Ei pour tout i (- {1; ...; k}.

2 Application aux suites

Proposition :

Une suite bornée de E est convergente ssi elle n’admet qu’une seule valeur d’adhérence.

Preuve :

La condition nécessaire est évidente. Soit (xn)n une suite bornée et admettant une unique valeur d’adhérence a. Supposons que (xn)n ne converge pas vers a. Alors :

E e > 0, A N (- N E n > N |xn - a|> e
On va construire une fonction f : N --> N strictement croissante. Pour N = 0, E k > N / |xk - a| > e. On pose f(0) = k. Supposons construite pour tout k (- {1; ...; n}, f(k) telle que f(k) > f(k - 1) et |xf(k) - a| > e. Alors pour f(n); E l > f(n) |xl - a| > e. On pose f(n + 1) = l et f est ainsi construite jusqu’au rang n + 1. Par récurrence, on construit donc f strictement croissante telle que A n (- N |xf(n) - a| > e. La suite (xf(n))n est extraite de (xn)n donc bornée : elle est donc contenue dans un compact et admet donc une valeur d’adhérence b. b est nécessairement distincte de a car A n (- N |xf(n) - a| > e. b étant une valeur d’adhérence d’une suite extraite de (xn)n, c’est aussi une valeur d’adhérence de (xn)n ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc (xn)n converge vers a.

Exemple :

La suite (un)n définie par A n (- N un = (-1)n est bornée, admet deux valeurs d’adhérence donc ne converge pas.

3 Lien avec les fonctions

Théorème de Heine :

Si f est continue sur un compact [a; b] alors elle est uniformément continue sur [a; b].

Preuve :

Supposons que f ne soit pas uniformément continue sur [a; b]. Alors

E e > 0, A j, E (x;y) (- [a;b]/| x - y |< j et|f(x) - f(y)|> e
En particulier,
A n (- N*E (x ;y ) |x - y |< 1/N et|f(x) - f (y) |> e n n n n
(xn)n est une suite de [a; b] compact donc il existe une suite extraite (xf(n))n qui converge vers une limite a. (yn)n est aussi une suite de [a; b] compact donc il existe une suite extraite (xy(n))n qui converge vers une limite b. (xfoy(n))n est une suite extraite de (xf(n))n donc converge vers a et (yfoy(n))n est une suite extraite de (yy(n))n donc converge vers b. Par continuité de la fonction f, (f(xfoy(n)))n tend vers f(a) et (f(yfoy(n)))n tend vers f(b).
En outre, a = b. En effet, A n (- N* |x foy(n) - yfoy(n)| < 1/N donc A e > 0 E N1 (- N A n > N1 |xfoy(n) - yfoy(n)| < 1/N1 < e, E N2 A n > N2 |a - xfoy(n)| < e/3 et E N3 A n > N3 |a - xfoy(n)| < e/3. D’où A n > maxN1; N2; N3,|a - b| < |a - xfoy(n)| + |xfoy(n) - yfoy(n)| + |xfoy(n) - b| < e. Puisque a = b, on a donc f(a) = f(b) donc E N1/ A n > N,|f(a) - f(yfoy(n))| < e/2 et E N2, A n > N2,|f(a) - f(xfoy(n)| < e/2. Par conséquent, pour tout n > max(N1; N2),|f(yfoy(n)) - f(xfoy(n))| < e, contrairement à l’hypothèse de départ. D’où, f est uniformément continue sur [a; b].

Exemple :

x'-->x2 est uniformément continue sur tout intervalle [a ;b] mais ne l’est pas sur R.

Théorème :

L’image d’une partie compacte par une application continue est une partie compacte.

Preuve :

Soit K un compact et f une fonction continue sur K. Soit (yn)n une suite de f(K). A n (- N yn = f(xn) où xn (- K. (xn)n a une valeur d’adhérence a. Soit donc (xf(n))n une sous suite convergente vers a. On a :

|f (xf(n)) - f(a)|| = |yf(n)- f (a) |
pour tout n (- N. D’après la continuité de la fonction f, on a :
A e > 0 E j > 0 |xf(n) - a|< j ==> |yf(n)- f (a)|< e
D’où (yf(n))n converge vers f(a).

Théorème :

Toute application continue sur un compact est bornée et atteint ses bornes.

Preuve :

Soit f une application continue sur un compact K. Alors f(K) est un compact donc f(K) est bornée.
Soit donc M = sup x (- K{f(x)}. A n (- N* E x n (- K f(xn) > M - (1/n). On a de manière évidente lim nf(xn) = M.
(xn)n est une suite de K donc admet une sous suite (xf(n))n convergente vers un élément l de K.
Par continuité de f, (f(xf(n)))n converge vers f(l) mais aussi vers M puisque (f(xf(n)))n est extraite de (f(xn))n. Par unicité de la limite, M=f(l).
Même démonstration pour la borne inférieure.

Théorème :

Si f est une bijection continue de [a; b] dans R alors c’est un homéomorphisme de [a; b] sur son image.

4 Cas de la dimension finie

Théorème :

Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.

preuve (peut être omise en première lecture) :

Soit E un espace vectoriel de dimension finie d et |||| une norme sur E. Il suffit de démontrer qu’elle est équivalente à la norme ||||1.

Soit {e1; e2; ...; en} une base de E.

A x (- E,x = sum i=1dx iei on a : ||x|| = || sum i=1dxiei||< sum i=1d|x i|||ei||< ( sum i=1d|x i|)max{||ei||/i (- {1; ...; d}}.

On pose M = max{||ei||/i (- {1; ...; d}}. D’où ||x||< M||x||1.

D’autre part ||||1 est continue sur sur la sphère unité S1 pour la norme ||||1 donc E m (- R+*/m = inf{||x|| 1/x (- S1}.

Pour x (- E on a alors -x-- ||x||1 (- S1 donc ||-x-- ||x||1||> m c’est à dire ||x||- ||x||1 > m et ||x||> m||x||1.

Remarque :

Théorème :

Si E est de dimension finie alors les parties compactes de E sont les parties fermées et bornées.

Preuve :

Montrons que toute partie compacte est fermée et bornée. Soit A une partie compacte de R et (un)n une suite d’éléments de A convergente vers un élément a de R. Alors, toute suite extraite converge vers a. Il existe une suite extraite (uf(n))n qui converge dans A puisque A est compact. Mais, comme la suite (un)n converge vers a, toute suite extraite converge vers a. Donc (uf(n))n converge vers a ce qui signifie que a est dans A qui est donc fermé.
Si A n’est pas bornée,

A N (- N E uN (- A |uN |> N
La suite (xn)n admet une sous suite convergente (uf(n))n dans A puisque A est compacte, la suite (uf(n))n est donc bornée ce qui est contraire à l’hypothèse A n |uf(n)| > f(n).
Soit maintenant une partie A fermée et bornée de R et montrons qu’elle est compacte. Soit donc (xn)n une suite de A. (xn)n est donc bornée. Par le théorème de Bolzano-Weierstrass, (xn)n a une sous suite convergente et, puisque A est fermée, la limite de cette sous suite est dans A. On en conclut que A est compacte.

Proposition :

Soient E et F deux K-espaces vectoriels normés. Si E est de dimension finie alors toute application linéaire f : E --> F est continue.