Sommes et sommes directes de sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel, cours de premier cycle uiversitaire.

Soit (F_i)_iI une famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. Le sous espace de E engendré par par la réunion des F_i est l’ensemble des sommes sum _iIx_i, où (x_i)_i est une famille presque nulle d’éléments de M telle que x_i F_i pour tout i I. Il est noté sum _iIF_i et appelé la somme des F_i.

Preuve :

Soit H le sous espace engendré par la réunion des F_i. Si (x_i)_iI est une famille presque nulle d’éléments de M telle que i I x_i F_i, alors i I x_i _iIF_i donc sum _iIx_i H par conséquent, I = { sum _iIx_i / i I x_i F_i} H. D’autre part I est un sous espace vectoriel qui contient les F_i donc I H. Si J est un sous espace vectoriel contenant les F_i, il contient I donc I est le plus petit tel et I = H.

Soit (f_i)_iI une famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. On dit que la somme F = sum _iIF_i est directe si tout vecteur v de F s’écrit de manière unique sous la forme d’une somme à support fini sum _iIu_i où pour tout i de I, u_i F_i. La somme F est alors notée F = _iIF_i.

Remarque :

Dans le cas d’une famille finie F₁,...,F_n de sous espaces vectoriels de E, on note F = _i=1ⁿF_i = F₁ ... F_n la somme des F_i si elle est directe. On dit également dans ce cas que F₁, F₂,..., F_n sont en somme directe. Tout vecteur v de F s’écrit alors de manière unique v = sum _i=1ⁿu_i où pour tout i, u_i F_i. On dit que u_i est la composante de u sur F_i relativement à cette somme directe.

Soit (F_i)_iI une famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. La somme F = sum _iI est directe ssi pour toute famille (u_i)_iI presque nulle telle que u_i F_i pour tout i I, sum _iIu_i = 0 ==> i I, u_i = 0.

Preuve :

Si F = _iIF_i alors sum _iIu_i = 0 ==> i I, u_i = 0 d’après l’unicité de la décomposition. Réciproquement, si F = _iIF_i et ( sum _iIu_i = 0 ==> i I, u_i = 0) alors, supposons que x F s’écrive x = sum _iIx_i = sum _iIv_i avec x_i, v_i I pour tout i I. Alors sum _iI(x_i - v_i) = 0 donc i I, x_i = v_i d’où l’unicité de la décomposition.

Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. La somme F +G est directe ssi F $/~\$ G = {0}.

Preuve :

Si la somme F + G est directe, soit x F $/~\$ G et x = x₁ + x₂ avec x₁ F et x₂ G la décomposition de x. Comme x F , par unicité e la décomposition, x₂ = 0 et de même puisque x G, x₁ = 0 donc x = 0. Réciproquement, si F $/~\$ G = {0}, soit x F + G et x = x₁ + x₂ = y₁ + y₂ avec x₁, y₁ F et x₂, y₂ G deux décompositions. Alors x₁ - y₁ = x₂ - y₂. x₁ - y₁ F ==> x₂ - y₂ F et x₂ - y₂ G ==> x₁ - y₁ G. Donc x₁ - y₁ F $/~\$ G ce qui implique que x₁ = y₁ et x₂ - y₂ F $/~\$ G qui implique que x₂ = y₂.

Si la somme sum _iIF_i est directe, et si J est une partie de I, alors sum _iJF_i est directe. En particulier pour tous indices distincts i et j, F_i $/~\$ F_j = {0}.

Preuve :

Contenue dans la preuve de la proposition précédente.

Remarque :

La réciproque est fausse. Pour montrer que F₁,...,F_n sont en somme directe, avec n > 3, il ne suffit pas de vérifier que pour tous indices i et j distincts, F_i $/~\$ F_j = {0}.

Soient F₁,...,F_n pour n > 3 des sous espaces vectoriels de E. Alors la somme F₁ + ... + F_n est directe ssi pour tout i {2; ...; n}, on a F_i $/~\$ (F₁ + ... + F_i-1) = {0}.

2 Exemples

2.1 Sous espaces suppplémentaires

Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. On dit que F et G sont supplémentaires dans E si E = F G. Cela signifie que tout u de E s’écrit de manière unique u = v + w avec v F et w G.

Soit F un sous espace vectoriel de E. Alors F possède au moins un supplémentaire G dans E.

Preuve :

Cas où E est de dimension finie n uniquement.
Soit {e₁; ...; e_p} une base de F , on la complète en une base {e₁; e₂; ...; e_n} de E et on considère G = vect{e_p+1; ...; e_n}. On a de manière évidente E = F G.

Remarque :

Un même sous espace F de E possède en général une infinité de supplémentaires dans E. Il y a cependant deux cas d’unicité :

Si F = E, le seul supplémentaire de F dans E et {0}.
Si F = {0}, le seul supplémentaire de F dans E est E lui-même.

Exemple :

Dans l’espace vectoriel M_n() des matrices carrées d’ordre n à coefficients dans , les sous espaces S_n() et A_n() formés respectivement des matrices symétriques et antisymétriques sont supplémentaires.
Dans l’espace vectoriel F(; ) des applications de dans , les sous espaces P(; ) et A(; ) formés respectivement des donctions paires et impaires sont supplémentaires.

Si p est un projecteur de E (c’est à dire un endomorphisme de E tel que p o p = p) alors E = Ker(p) Im(p). L’application p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p).

Preuve :

Soit x E, alors x = x-p(x) + p(x) avec p(x) Im(p) et x-p(x) ker(p). En outre, si x ker(p) $/~\$ Im(p), x = p(y) avec y E et p(x) = 0 = p o p(y) = p(y) = x.

Si s est un endomorphisme involutif de E (c’est à dire si s o s = id) alors E = Inv(s) Opp(s) où Inv(s) = {x E / s(x) = x} et Opp(s) = {x E / s(x) = -x}. L’application s est la symétrie par rapport à Inv(s) parallèlement à Opp(s).

Preuve :

Il est évident que Inv(s) $/~\$ Opp(s) = {0}.

Proposition et définition :

Soit H un sous espace vetoriel de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :

Il existe un vecteur u dans E - H tel que E = u H.
Pour tout vecteur u dans E - H, E = u H.
il existe une forme linéaire non nulle f telle que H = Ker(f).

Si ces conditions sont réalisées ont dit que F est un hyperplan de E.

Preuve :

Si E = u H, soit v E - H. Alors v = u + h avec h H et ^*. On a donc u = ^-1(v - h). Soit x E, alors x = x₁u + x₂ avec x₁ et x₂ H. D’où x = ^-1x₁v - ^-1h + x₂ v + H. Par conséquent, E = v + H. Si x v $/~\$ H, x = v = u + h. On a donc u + h H et h H donc u H ce qui, puisque u et 0 impose = 0 et achève de prouver que E = v H.
Si E = u H, soit f la forme linéaire définie par f(u + h) = . Alors f est une forme linéaire non nulle telle que ker(f) = H.
Si f est une forme linéaire non nulle, soit x tel que f(x)0. On note H = ker(f). On sait que H est un sous espace vectoriel de E. xh. Soit u x $/~\$ H. On a u = x avec ^* et puisque u H, on a f(u) = f(x) = 0 d’où = 0 et u = 0. Soit y E. f(y - f(y)f(x)^-1x) = f(y) - f(y)f(x)^-1f(x) = 0 donc y - f(y)f(x)^-1x H et y = y - f(y)f(x)^-1x + f(y)f(x)^-1x H + x. Finalement, E = x + H.

Remarque :

Si E est de dimension finie égale à n alors les hyperplans de E sont les sous espaces de E de dimension n - 1.

Deux formes linéaires non nulles sont proportionnelles ssi elles ont le même hyperplan noyau.

Preuve :

Si f et g sont deux formes linéaires proportionnelles, il existe , f = g. D’où ker(f) = ker(g). Réciproquement, si ker(f) = ker(g), soit u (- / ker(f). On a f(u)0 et E = u ker(f). Soit x = u + h. On a f(x) = f(u) + f(h) = f(u) donc = f(x)f(u)^-1 et g(x) = g(u) + g(h) = g(u) = f(x)f(u)^-1g(u). Par conséquent, on a pour tout x E, g(x) = g(u)f(u)^-1f(x), ce qui montre que g et f sont proportionnelles.