On considère dans ce qui suit un espace vectoriel E sur un corps .
Proposition et définition :
Soit (Fi)iI une famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. Le sous espace de E engendré par par la réunion des Fi est l’ensemble des sommes iIxi, où (xi)i est une famille presque nulle d’éléments de M telle que xi Fi pour tout i I. Il est noté iIFi et appelé la somme des Fi. |
Preuve :
Soit H le sous espace engendré par la réunion des Fi. Si (xi)iI est une famille presque nulle d’éléments de M telle que i I xi Fi, alors i I xi iIFi donc iIxi H par conséquent, I = { iIxi / i I xi Fi} H. D’autre part I est un sous espace vectoriel qui contient les Fi donc I H. Si J est un sous espace vectoriel contenant les Fi, il contient I donc I est le plus petit tel et I = H.
Définition :
Soit (fi)iI une famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. On dit que la somme F = iIFi est directe si tout vecteur v de F s’écrit de manière unique sous la forme d’une somme à support fini iIui où pour tout i de I, ui Fi. La somme F est alors notée F = iIFi. |
Remarque :
Dans le cas d’une famille finie F1,...,Fn de sous espaces vectoriels de E, on note F = i=1nF i = F1 ... Fn la somme des Fi si elle est directe. On dit également dans ce cas que F1, F2,..., Fn sont en somme directe. Tout vecteur v de F s’écrit alors de manière unique v = i=1nu i où pour tout i, ui Fi. On dit que ui est la composante de u sur Fi relativement à cette somme directe.
Proposition :
Soit (Fi)iI une famille quelconque de sous espaces vectoriels de E. La somme F = iI est directe ssi pour toute famille (ui)iI presque nulle telle que ui Fi pour tout i I, iIui = 0 i I, ui = 0. |
Preuve :
Si F = iIFi alors iIui = 0 i I, ui = 0 d’après l’unicité de la décomposition. Réciproquement, si F = iIFi et ( iIui = 0 i I, ui = 0) alors, supposons que x F s’écrive x = iIxi = iIvi avec xi, vi I pour tout i I. Alors iI(xi - vi) = 0 donc i I, xi = vi d’où l’unicité de la décomposition.
Proposition :
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. La somme F +G est directe ssi F G = {0}. |
Preuve :
Si la somme F + G est directe, soit x F G et x = x1 + x2 avec x1 F et x2 G la décomposition de x. Comme x F , par unicité e la décomposition, x2 = 0 et de même puisque x G, x1 = 0 donc x = 0. Réciproquement, si F G = {0}, soit x F + G et x = x1 + x2 = y1 + y2 avec x1, y1 F et x2, y2 G deux décompositions. Alors x1 - y1 = x2 - y2. x1 - y1 F x2 - y2 F et x2 - y2 G x1 - y1 G. Donc x1 - y1 F G ce qui implique que x1 = y1 et x2 - y2 F G qui implique que x2 = y2.
Proposition :
Si la somme iIFi est directe, et si J est une partie de I, alors iJFi est directe. En particulier pour tous indices distincts i et j, Fi Fj = {0}. |
Preuve :
Contenue dans la preuve de la proposition précédente.
Remarque :
La réciproque est fausse. Pour montrer que F1,...,Fn sont en somme directe, avec n > 3, il ne suffit pas de vérifier que pour tous indices i et j distincts, Fi Fj = {0}.
Proposition :
Soient F1,...,Fn pour n > 3 des sous espaces vectoriels de E. Alors la somme F1 + ... + Fn est directe ssi pour tout i {2; ...; n}, on a Fi (F1 + ... + Fi-1) = {0}. |
Définition :
Soient F et G deux sous espaces vectoriels de E. On dit que F et G sont supplémentaires dans E si E = F G. Cela signifie que tout u de E s’écrit de manière unique u = v + w avec v F et w G. |
Théorème :
Soit F un sous espace vectoriel de E. Alors F possède au moins un supplémentaire G dans E. |
Preuve :
Cas où E est de dimension finie n uniquement.
Soit {e1; ...; ep} une base de F , on la complète en une base {e1; e2; ...; en} de E
et on considère G = vect{ep+1; ...; en}. On a de manière évidente E = F
G.
Remarque :
Un même sous espace F de E possède en général une infinité de supplémentaires dans E. Il y a cependant deux cas d’unicité :
Exemple :
Proposition :
Si p est un projecteur de E (c’est à dire un endomorphisme de E tel que p o p = p) alors E = Ker(p) Im(p). L’application p est la projection sur Im(p) parallèlement à Ker(p). |
Preuve :
Soit x E, alors x = x-p(x) + p(x) avec p(x) Im(p) et x-p(x) ker(p). En outre, si x ker(p) Im(p), x = p(y) avec y E et p(x) = 0 = p o p(y) = p(y) = x.
Proposition :
Si s est un endomorphisme involutif de E (c’est à dire si s o s = id) alors E = Inv(s) Opp(s) où Inv(s) = {x E / s(x) = x} et Opp(s) = {x E / s(x) = -x}. L’application s est la symétrie par rapport à Inv(s) parallèlement à Opp(s). |
Preuve :
Il est évident que Inv(s) Opp(s) = {0}.
Proposition et définition :
Soit H un sous espace vetoriel de E. Les conditions suivantes sont équivalentes :
Si ces conditions sont réalisées ont dit que F est un hyperplan de E. |
Preuve :
Remarque :
Si E est de dimension finie égale à n alors les hyperplans de E sont les sous espaces de E de dimension n - 1.
Proposition :
Les hyperplans de E sont les noyaux des formes linéaires non nulles sur E. |
Proposition :
Deux formes linéaires non nulles sont proportionnelles ssi elles ont le même hyperplan noyau. |
Preuve :
Si f et g sont deux formes linéaires proportionnelles, il existe , f = g. D’où ker(f) = ker(g). Réciproquement, si ker(f) = ker(g), soit uker(f). On a f(u)0 et E = u ker(f). Soit x = u + h. On a f(x) = f(u) + f(h) = f(u) donc = f(x)f(u)-1 et g(x) = g(u) + g(h) = g(u) = f(x)f(u)-1g(u). Par conséquent, on a pour tout x E, g(x) = g(u)f(u)-1f(x), ce qui montre que g et f sont proportionnelles.