Rang en algèbre linéaire dans les espaces vectoriels de dimension finie, cours de premier cycle universitaire.

F.Gaudon

2 août 2005

Table des matières

1 Rang d’une famille de vecteurs
2 Rang d’une application linéaire
3 Rang d’une matrice

On considère deux espaces vectoriels E et F sur un corps K de dimensions finies n et m respectivement.

1 Rang d’une famille de vecteurs

Définition :


On appelle rang d’une famille {u1; u2; ...; up} de vecteurs de E et on note rg({u1; u2; ...; up}), la dimension du sous espace vectoriel engendré par cette famille.


Propriétés :


  • rg({u1; ...; up}) < p avec égalité ssi {u1; ...; up} est libre.
  • rg({u1; ...; up}) < n avec égalité ssi {u1; ...; up} est génératrice.

Preuve :

Proposition :


Soit f une application linéaire de E dans F . Soit {u1; ...; up} < E. Alors rg({f(u1); f(u2); ...; f(up)}) < rg({u1; ...; up}).

En particulier, si f est bijective, l’égalité est vraie.


Preuve :

Soit {u1; ...; uq} avec q < p une base de < {u1; ...; up} >, alors {f(u1); ...; f(uq)} est génératrice de < {f(u1); ...; f(up)} > donc rg(< f(u1); ...; f(up) >) < rg({u1; ...; up}) avec égalité ssi (< {f(u1); ...; f(up)} > est libre, ce qui est le cas si f est bijective puisqu’elle transforme toute famille libre en une famille libre.

2 Rang d’une application linéaire

Définition :


On appelle rang d’une application linéaire f la dimension de Im(f).


Téorème du rang :


Soit f une application linéaire de E dans F . Alors dim(E)=dim(ker(f))+rg(f).


preuve :

Soit {u1; ...; ur} une base de ker(f) que l’on complète en une base {u1; ...; un} de E.

Alors {f(u1); ...; f(un)} engendre Im(f) donc {f(ur+1); ...; f(un)} engendre Im(f). En outre, {f(ur+1); ...; f(un)} est libre.

En effet, soit ci, i  (- {r + 1; ...; n} tels que  sum i=r+1nc if(ui) = 0. On a f( sum i=r+1nc iui) = 0 donc  sum i=r+1nc iui  (- ker(f).

D’où  E bi  (- K,  sum i=1rb iui =  sum i=r+1nc iui.

Si  E i  (- {r + 1; ...; n} / ci/=0, on peut supposer qu’il s’agit de cr+1 et on a alors ur+1 = -cr+1-1c r+2ur+2 - ... - cn+1-1c nun +  sum i=1rb icr + 1-1u i ce qui est absurde car la famille {u1; ...; un} est libre.

Par conséquent, {f(ur+1); ...; f(un)} est une base de Im(f) et le résultat s’en déduit.

Propriété :


  • rg(f) < n avec égalité ssi f est injective.
  • rg(f) < m avec égalité ssi f est surjective.
  • Soit c  (- K*, rg(cf) = crg(f).

Preuve :

Propriété :


Soient f et g deux endomorphismes de E.

  • |rg(f) - rg(g)|< rg(f + g) < rg(f) + rg(g)
  • rg(fog) < min(rg(f); rg(g)). En outre, si g est surjectif alors rg(fog)) = rg(f) et si f est injectif rg(f o g) = rg(g).

Preuve :

3 Rang d’une matrice

Définition :


On appelle rang d’une matrice A  (- Mm,n(K) et on note rg(A), la dimension du sous espace vectoriel de Kmengendré par les colonnes de A.

Autrement dit, si A = (aij)ij, Ci = (a1i a2i ...; ani) est le i-ème vecteur colonne de A et rg(A) = vect({C1; C2; ...; Cn}.


Théorème :


rg(A) = rg(tA), c’est à dire si L i = (ai1 ai2 ...aim) est le i-ème vecteur ligne de A, alors rg(A) = vect({L1; ...; Lm}).


Propriété :


Soit A  (- Mm,n(K). Soient r < min(m; n) et Jr = (cij)ij la matrice définie par cii = 1 si i  (- {1; 2; ...; r} et cij = 0 sinon. Alors il y équivalence entre :

  •  E P  (- GLn(K),  E Q  (- GLn(K) / A = PJrQ
  • rg(A) = r

Propriété :


Soient A,B  (- Mm,n(K). Alors rg(A) = rg(B) ssi

 E P  (-  Gln(K)  E Q  (-  GLnK) / B = P AQ
.

Théorème :


Soit A  (- Mm,n(K). Si A contient une sous matrice B  (- Mr(K) telle que B soit inversible et telle que toute sous matrice de A appartenant à Mr+1(K) et contenant B ne soit pas inversible, alors rg(A) = r.