Rang en algèbre linéaire dans les espaces vectoriels de dimension finie, cours de premier cycle universitaire.

On considère deux espaces vectoriels E et F sur un corps

de dimensions finies n et m respectivement.

1 Rang d’une famille de vecteurs

On appelle rang d’une famille {u₁; u₂; ...; u_p} de vecteurs de E et on note rg({u₁; u₂; ...; u_p}), la dimension du sous espace vectoriel engendré par cette famille.

Preuve :

{u₁; ...; u_p} est génératrice de < {u₁; ...; u_p} donc rg({u₁; ...; u_p}) = dim(< {u₁; ...; u_p} >) < p.
Si {u₁; ...; u_p} est libre, c’est une base de < {u₁; ldots; u_p} > donc rg({u₁; ...; u_p}) = p sinon on peut en extraire une base de < {u₁; ...; u_p} donc rg({u₁; ...; u_p}) < p.
On a clairement dim(< {u₁; ...; u_p} >) < dim(E) donc rg(< {u₁; ...; u_p} >) < n. {u₁; ...; u_p} est génératrice de E ssi < {u₁; ...; u_p} >= E ssi rg(< {u₁; ...; u_p}) = dim(E).

Soit f une application linéaire de E dans F . Soit {u₁; ...; u_p} E. Alors rg({f(u₁); f(u₂); ...; f(u_p)}) < rg({u₁; ...; u_p}).

En particulier, si f est bijective, l’égalité est vraie.

Preuve :

Soit {u₁; ...; u_q} avec q < p une base de < {u₁; ...; u_p} >, alors {f(u₁); ...; f(u_q)} est génératrice de < {f(u₁); ...; f(u_p)} > donc rg(< f(u₁); ...; f(u_p) >) < rg({u₁; ...; u_p}) avec égalité ssi (< {f(u₁); ...; f(u_p)} > est libre, ce qui est le cas si f est bijective puisqu’elle transforme toute famille libre en une famille libre.

2 Rang d’une application linéaire

preuve :

Soit {u₁; ...; u_r} une base de ker(f) que l’on complète en une base {u₁; ...; u_n} de E.

Alors {f(u₁); ...; f(u_n)} engendre Im(f) donc {f(u_r+1); ...; f(u_n)} engendre Im(f). En outre, {f(u_r+1); ...; f(u_n)} est libre.

En effet, soit _i, i {r + 1; ...; n} tels que sum _i=r+1ⁿ_if(u_i) = 0. On a f( sum _i=r+1ⁿ_iu_i) = 0 donc sum _i=r+1ⁿ_iu_i ker(f).

D’où _i , sum _i=1^r_iu_i = sum _i=r+1ⁿ_iu_i.

Si i {r + 1; ...; n} / _i0, on peut supposer qu’il s’agit de _r+1 et on a alors u_r+1 = -_r+1^-1_r+2u_r+2 - ... - _n+1^-1_nu_n + sum _i=1^r_i_r + 1^-1u_i ce qui est absurde car la famille {u₁; ...; u_n} est libre.

Par conséquent, {f(u_r+1); ...; f(u_n)} est une base de Im(f) et le résultat s’en déduit.

Preuve :

Conséquence immédiate du théorème précédent.
im(f) est un sous espace vectoriel de F donc rg(f) < dim(F) = n. En outre, rg(f) = n ssi dim(im(f)) = dim(F) ssi Im(f) = F ssi f est surjective.

Soient f et g deux endomorphismes de E.

|rg(f) - rg(g)|< rg(f + g) < rg(f) + rg(g)
rg(fog) < min(rg(f); rg(g)). En outre, si g est surjectif alors rg(fog)) = rg(f) et si f est injectif rg(f o g) = rg(g).

Preuve :

Comme Im(f + g) Im(f) + Im(g), on a rg(f + g) < rg(f) + rg(g).
Ecrivant f=(f+g)-g on a alors : rg(f) < rg(f + g) + rg(-g) = rg(f + g) + rg(g) d’où rg(f) - rg(g) < rg(f + g) et le résultat en échangeant f et g.
Si g est surjectif, g(E) = E donc Im(f o g) = Im(f) et rg(f o g) = rg(f)
Si f est injectif, Im(g) et f(Im(g)) sont isomorphes donc rg(f o g) < rg(f). L’inégalité est claire.

3 Rang d’une matrice

On appelle rang d’une matrice A M_m,n() et on note rg(A), la dimension du sous espace vectoriel de ^mengendré par les colonnes de A.

Autrement dit, si A = (a_ij)_ij, C_i = (a_1i a_2i ...; a_ni) est le i-ème vecteur colonne de A et rg(A) = vect({C₁; C₂; ...; C_n}.

rg(A) = rg(^tA), c’est à dire si L_i = (a_i1 a_i2 ...a_im) est le i-ème vecteur ligne de A, alors rg(A) = vect({L₁; ...; L_m}).

Soit A M_m,n(). Soient r < min(m; n) et J_r = (_ij)_ij la matrice définie par _ii = 1 si i {1; 2; ...; r} et _ij = 0 sinon. Alors il y équivalence entre :

P GL_n(), Q GL_n() / A = PJ_rQ
rg(A) = r

Soit A M_m,n(). Si A contient une sous matrice B M_r() telle que B soit inversible et telle que toute sous matrice de A appartenant à M_r+1() et contenant B ne soit pas inversible, alors rg(A) = r.