On considère deux espaces vectoriels E et F sur un corps de dimensions finies n et m respectivement.
Définition :
On appelle rang d’une famille {u1; u2; ...; up} de vecteurs de E et on note rg({u1; u2; ...; up}), la dimension du sous espace vectoriel engendré par cette famille. |
Propriétés :
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Preuve :
Si {u1; ...; up} est libre, c’est une base de < {u1; ldots; up} > donc rg({u1; ...; up}) = p sinon on peut en extraire une base de < {u1; ...; up} donc rg({u1; ...; up}) < p.
Proposition :
Soit f une application linéaire de E dans F . Soit {u1; ...; up} E. Alors rg({f(u1); f(u2); ...; f(up)}) < rg({u1; ...; up}). En particulier, si f est bijective, l’égalité est vraie. |
Preuve :
Soit {u1; ...; uq} avec q < p une base de < {u1; ...; up} >, alors {f(u1); ...; f(uq)} est génératrice de < {f(u1); ...; f(up)} > donc rg(< f(u1); ...; f(up) >) < rg({u1; ...; up}) avec égalité ssi (< {f(u1); ...; f(up)} > est libre, ce qui est le cas si f est bijective puisqu’elle transforme toute famille libre en une famille libre.
Définition :
On appelle rang d’une application linéaire f la dimension de Im(f). |
Téorème du rang :
Soit f une application linéaire de E dans F . Alors dim(E)=dim(ker(f))+rg(f). |
preuve :
Soit {u1; ...; ur} une base de ker(f) que l’on complète en une base {u1; ...; un} de E.
Alors {f(u1); ...; f(un)} engendre Im(f) donc {f(ur+1); ...; f(un)} engendre Im(f). En outre, {f(ur+1); ...; f(un)} est libre.
En effet, soit i, i {r + 1; ...; n} tels que i=r+1n if(ui) = 0. On a f( i=r+1n iui) = 0 donc i=r+1n iui ker(f).
D’où i , i=1r iui = i=r+1n iui.
Si i {r + 1; ...; n} / i0, on peut supposer qu’il s’agit de r+1 et on a alors ur+1 = -r+1-1 r+2ur+2 - ... - n+1-1 nun + i=1r ir + 1-1u i ce qui est absurde car la famille {u1; ...; un} est libre.
Par conséquent, {f(ur+1); ...; f(un)} est une base de Im(f) et le résultat s’en déduit.
Propriété :
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Preuve :
Propriété :
Soient f et g deux endomorphismes de E.
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Preuve :
Ecrivant f=(f+g)-g on a alors : rg(f) < rg(f + g) + rg(-g) = rg(f + g) + rg(g) d’où rg(f) - rg(g) < rg(f + g) et le résultat en échangeant f et g.
Si f est injectif, Im(g) et f(Im(g)) sont isomorphes donc rg(f o g) < rg(f). L’inégalité est claire.
Définition :
On appelle rang d’une matrice A Mm,n() et on note rg(A), la dimension du sous espace vectoriel de mengendré par les colonnes de A. Autrement dit, si A = (aij)ij, Ci = (a1i a2i ...; ani) est le i-ème vecteur colonne de A et rg(A) = vect({C1; C2; ...; Cn}. |
Théorème :
rg(A) = rg(tA), c’est à dire si L i = (ai1 ai2 ...aim) est le i-ème vecteur ligne de A, alors rg(A) = vect({L1; ...; Lm}). |
Propriété :
Soit A Mm,n(). Soient r < min(m; n) et Jr = (ij)ij la matrice définie par ii = 1 si i {1; 2; ...; r} et ij = 0 sinon. Alors il y équivalence entre :
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Propriété :
Soient A,B Mm,n(). Alors rg(A) = rg(B) ssi |
Théorème :
Soit A Mm,n(). Si A contient une sous matrice B Mr() telle que B soit inversible et telle que toute sous matrice de A appartenant à Mr+1() et contenant B ne soit pas inversible, alors rg(A) = r. |