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1. Soit L un espace vectoriel de dimension finie. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont correctes ?

   1. Toute famille génératrice de L peut être complétée en une base de L.
   2. Toute famille libre de L peut être complétée en une base.
   3. De toute famille libre de L, on peut extraire une base.
   4. De toute famille génératrice de L, on peu extraire une base.
   Correction

2. Soit L un espace vectoriel de dimension finie. Parmi les affirmations suivantes, laquelle ou lesquelles sont correctes ?

   1. L-{0} est une famille génératrice.
   2. L-{0} est une famille libre.
   Correction

3. Soit L un espace vectoriel de dimension finie. On considère un sous espace vectoriel U de L. Parmi les affirmations suivantes, laquelle ou lesquelles sont correctes ?

   1. De toute famille génératrice de L, on peut extraire une famille génératrice de U.
   2. Toute famille de U libre dans U est libre dans L.
   3. Toute base de U peut être complétée en une base de L.
   4. Toute famille génératrice de U peut être complétée en une base de L.
   Correction

4. On considère les vecteurs a (1;0;1) et b (-1;-1;2) dans la base canonique de R³. Trouver parmi les vecteurs proposés les vecteurs c tels que {a ; b ; c} soit une base de R³.

   1. (-2 ; 1 ; -2)
      
   2. (3 ; 0 ; 3)
      
   3. (-2 ; 2 ; 4)
      
   4. (3 ; 1 ; 3)
   Correction

5. Soit {e₁;e₂;e₃} la base canonique de R³ espace vectoriel réel.
   Parmi les familles de vecteurs suivantes, laquelle ou lesquelles sont des bases ?
   (d'après école de l'air 2004)

   1. {e₁;e₂;3e₁}
   2. {e₁;e₂-e₃} car les vecteurs sont linéairement indépendants.
   3. {e₁+e₂;e₂-e₃;2e₁-e₂+3e₃}
      
   4. {e₁+e₂;e₂-e₃;e₁}
   Correction

6. On donne les vecteurs suivants de R³ :
   e₁ (2;3;-1)
   e₂ (1;-1;-2)
   e₃ (3;7;0)
   e₄ (5;0;-7)
   Trouver la ou les famille(s) libre(s) parmi les familles de vecteurs suivantes :
   

   1. {e₁;e₂}
   2. {e₁;e₂;e₃}
      
   3. {e₁;e₂;e₄}
   4. {e₂;e₄}
   Correction

7. Quelle est la dimension du sous espace vectoriel réel de R⁴ E = { (x;y;z;t) / x = 3y+z et t = x+y-z} ?
   

   1. 1
   2. 2
   3. 3
   4. 4
   5. ce n'est pas un espace vectoriel
   Correction

8. Soit E un espace vectoriel réel. Soit B={e₁ ;e₂;e₃} une base de E.
   On considère le sous espace vectoriel A={ (a+b)e₂+(a-b)e₃+be₄ / (a;b) appartient à R²}.
   Trouver une base de E :

   1. {e₂-e₃;e₂-e₃+e₄}
      
   2. {e₂+e₃;e₂-e₄}
   3. {e₂+e₃;e₂-e₃-e₄}
   4. {e₂-e₃;e₂-e₃-e₄}
   5. {e₂;e₂-e₃-e₄}
   Correction

9. Soit B={e₁;e₂;e₃} la base canonique de R³.
   Reconnaître la ou les base(s) de R³ parmi les familles suivantes :
   

   1. {e₁-e₃;e₁;e₂}
      
   2. {e₁+e₂;e₁-e₂;e₁+e₂+e₃}
      
   3. {e₁+e₂;e₁+e₂+e₃;2e₃}
   Correction

10. La famille {1;2i;1+i} est :
    

    1. génératrice de C, espace vectoriel réel.
    2. libre dans C, espace vectoriel réel.
    3. génératrice de C, espace vectoriel complexe.
    4. libre dans C, espace vectoriel complexe.
    5. une base de C, espace vectoriel réel.
    6. une base de C, espace vectoriel complexe.
    Correction