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\title{Suites numériques particulières, rappels de première}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Suites numériques particulières, rappels de première}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Suites numériques particulières, rappels de première}}
\end{center}



\pdfrowcolors{lightgray}
\section{Suites arithmétiques}

\defref{arithmétique}{}
\defref{raison}{}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $r$ un nombre réel. On appelle \emphref{suite arithmétique} de \emphref{raison} $r$ toute suite définie par son premier \faireref{terme}{terme} et pour tout entier naturel $n$ par la relation :
$$u_{n+1}=u_n+r$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite \faireref{arithmétique}{arithmétique} de \faireref{raison}{raison} $r$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si le premier \faireref{terme}{terme} est $u_0$, alors pour tout entier $n$, $u_n=u_0+nr$ ;
\nouvitem si le premier \faireref{terme}{terme} est $u_1$, alors pour tout entier $n$, $u_n=u_1+(n-1)r$.
\end{itemize}
De manière plus générale,  pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ avec $p<n$ on a :
$$u_{n}=u_p+(n-p)r$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Pour tout entier naturel $n$, 
$$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Pour toute suite \emphref{arithmétique} $(u_n)_n$ et tout entier naturel $n$ :
$$u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$$
ou pour tout entier naturel $p<n$,
$$u_p+u_{p+1}+\ldots+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}$$
ce qui s'écrit encore :
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=\frac{\textrm{nombre de termes}\times(\textrm{premier terme}+\textrm{dernier terme})}{2}$$
\end{encadrer}

\section{Suites géométriques}

\defref{géométrique}{}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $q$ un réel. On appelle suite \emphref{géométrique} de \emphref{raison} $q$ toute suite définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et telle que pour tout entier naturel $n\geq 0$ (ou $n\geq 1$) :
$$u_{n+1}=qu_n$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite \faireref{géométrique}{géométrique} de raison $q$ et de premier \faireref{terme} :
\begin{itemize}
\nouvitem $u_0$, alors $u_n=q^nu_0$ ;
\nouvitem $u_1$, alors $u_n=q^{n-1}u_1$.
\end{itemize}
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p<n$, on a :
$$u_n=u_p\times q^{n-p}$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Pour tout réel $q\neq1$ on a :
$$1+q+q^2+...+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)_n$ est une suite \emphref{géométrique} de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si $q\neq 1$, $$u_0+u_1+\ldots+u_n=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$$ 
ou
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$
\nouvitem si $q=1$, $u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)u_0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\end{document}
