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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Limites de suites, cours, terminale, spécialité mathématiques}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Limites de suites, cours, terminale, spécialité mathématiques}}
\end{center}



\section{Convergence de suites}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $(u_n)$ une suite.

On dit que $(u_n)$ \emphref{converge vers un réel} $l$ ou \emphref{a pour limite $l$} lorsque tout intervalle ouvert $A$ contenant $l$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang $N$ c'est à dire que pour tout $n\geq N$, $u_n\in A$. On dit alors que la suite est convergente et que $l$ est sa limite. On note ............................... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors celle-ci est ........... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
En effet, supposons que $(u_n)$ converge vers une limite $l$ et soit $l'$ un réel différent de $l$. On supposera ici que $l'<l$, le cas $l'>l$ se traitant de la même manière. Il existe donc un nombre réel $e$ positif tel que $l'+e<l-e$. Comme $(u_n)$ converge vers $l$, à partir d'un certain rang $N$, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]l-e;l+e[$ et par conséquent les termes de la suite suivant ce rang n'appartiennent pas à l'intervalle $]l'-e;l'+e[$, qui est un intervalle ouvert contenant $l'$. On a trouvé un intervalle ouvert tel que pour n'importe quel rang les termes suivants $N$ ne sont pas tous dans l'intervalle ce qui montre que la suite ne converge pas vers $l'$.
\end{sanscadre}


\section{Convergence de suites de référence}

\begin{encadrer}{Propriété (limites finies de suites de référence)}
Les suites $(\frac{1}{n})$, $\frac{1}{\sqrt{n}})$ et $\frac{1}{n^p}$ où $p$ est un entier naturel non nul sont convergentes et on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=.....$
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=......$
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^p}=......$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem On considère un intervalle ouvert contenant 0. soit $a$ un réel positif strictement de cet intervalle. Alors il existe un nombre entier N tel que $\frac{1}{N}<a$. Comme $(\frac{1}{n})$ est décroissante, pour tout rang $n>N$, on a $\frac{1}{n}<a$ donc $\frac{1}{n}$ qui appartient à l'intervalle. Par conséquent, la suite converge vers 0.
\nouvitem On considère un intervalle ouvert contenant 0. Soit $a$ un réel positif strictement de cet intervalle. On cherche un entier $N$ tel que  $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq a$ ce qui équivaut à $\sqrt{N}\geq \frac{1}{a}$ donc à $N\geq\frac{1}{a^2}$. Soit donc $N$ tel que $N\geq \frac{1}{a^2}$, le calcul précédent montre que $\frac{1}{\sqrt{N}}\leq a$ et, la suite $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ étant décroissante, pour tout $n\geq N$, $\frac{1}{\sqrt{n}}\leq a$. Ceci prouve que la suite a pour limite 0.
\nouvitem Démarche identique aux précédentes.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Divergence de suites}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem On dit qu'une suite est \emphref{divergente} si ............. .............. .\par
\nouvitem On dit que la suite $(u_n)$ \emphref{diverge vers} $+\infty$ ou \emphref{a pour limite} $+\infty$ (resp. $-\infty$) lorsque tout intervalle de la forme $[a;+\infty[ $ où $a$ est un réel (resp. $]-\infty ;a]$), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=...........$
(resp. $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=...........$)
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Une suite peut être divergente et ne pas admettre de limite, par exemple ............. .
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (limites infinies de suites de référence)}
On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=...........$ ;
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n}=...........$ ;
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^p=...........$ avec $p$ entier naturel non nul ;
\nouvitem Pour tous les réels $m$ et $p$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}mx+p=.................$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tout intervalle $]a;+\infty[$, soit $N$ entier naturel tel que $N>a$, alors pour tout rang $n$ tel que $ n\geq N$, $n$ est dans l'intervalle $]a;+\infty[$ donc la suite diverge vers $+\infty$.
\nouvitem Pour tout intervalle $]a;+\infty[$, On cherche $N$ entier naturel tel que $\sqrt{N}>a$ c'est à dire $N>a^2$. Soit donc $N$ tel que $N>a^2$. Alors $\sqrt{N}>a$ et pour tout rang $n\leq N$, on a $\sqrt{n}>a$ donc la suite $(\sqrt{n})$ est divergente vers $+\infty$. 
\nouvitem Même démarche.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Opérations sur les limites de suites}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite.
\begin{itemize}
\nouvitem si $k$ est un réel et si $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors la suite $(ku_n)$ est convergente vers $..........$ ;
\nouvitem si $k$ est un réel et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) alors $ku_n$ diverge vers $..............$ (resp $................$) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $A$ un intervalle ouvert contenant $kl$. Il existe donc un réel $a>0$ tel que $]kl-a;kl+a[$ est inclus dans $A$. Comme $(u_n)$ est convergente vers $l$, il existe un rang $N$ tel que pour tout rang $n\geq N$, $u_n\in ]l-\frac{a}{k};l+\frac{a}{k}[$ qui est un intervalle ouvert contenant $kl$. D'où pour tout $n\geq N$, $ku_n\in ]kl-a;kl+a[$ ce qui assure que la suite converge vers $kl$.
\nouvitem Soit $a>0$ un réel. Alors, puisque $(u_n)$ diverge vers $+\infty$, il existe un rang $N$ tel que pour tous les rangs $n\geq N$, $u_n>\frac{a}{k}$. D'où pour tout $n\geq N$, $ku_n>a$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Propriété}
\pdfrowcolors{}

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  $\lim u_n$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $l$ & $l$ \\
\hline
 $\lim v_n$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim u_n+v_n$ & $.......$& $........$ & ................ & ................ & $.........$ & $.......$ \\
\hline
$\lim u_n\times v_n$ & $.......$& $........$ & $.........$ & $..........$ & .......... & ......... \\
\hline
$\lim \frac{u_n}{v_n}$ & si $l'\neq0$, ........... & ............ & ............ & ........... & ..... & ...... \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuves}
Admises
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $v_n$ définie par $v_n=5n^2-6n$ pour tout $n\geq 0$. On a alors $v_n=n(5n-6)$. Or $\lim_{n\rightarrow+\infty}n=...............$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}5n-6=............$ donc $(v_n)$ ................. vers $........$.
\nouvitem Soit $u_n$ définie par $u_n=\frac{3n^4+n}{n^3+1}$ pour tout $n\geq 1$. On a alors $u_n=\frac{n^4(3+\frac{1}{n^3})}{n^3(1+\frac{1}{n^3})}=\frac{n(3+\frac{1}{n^3}}{1+\frac{1}{n^3})}$. Comme $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^3}=0$ on a $\lim_{n\rightarrow+\infty}3+\frac{1}{n^3}=3$ et $\lim_{n\rightarrow +\infty}1+\frac{1}{n^3}=1$ donc $\lim_{n\rightarrow+\infty}u_n=+\infty$ par produit et quotient c'est à dire que la suite $(u_n)$ ............... donc vers $.............$.

\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Inégalités et limites de suites}

\begin{encadrer}{Propriété (théorème de ...............)}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $+\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\geq u_n$. Alors $(v_n)$ est .............. vers $........$.
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $-\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\leq u_n$. Alors $(v_n)$ .............. vers $.........$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve }
On considère un intervalle de la forme $]a;+\infty[$ où $a$ est un réel. $(u_n)$ ............... vers $..........$ donc à partir d'un certain rang $N$ les termes de la suite $(u_n)$ sont dans l'intervalle ................. . A partir d'un certain rang $N'$, $................$ donc à partir du plus grand des rang $N$ et $N'$, les termes de la suite $(v_n)$ sont dans ................. ce qui démontre que la suite $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Théorème (dit \og{}théorème des gendarmes\fg{})}
Soient $u$, $v$ et $w$ des suites avec $v$ et $w$ convergentes vers une même limite $l$. Si, à partir d'un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$, alors la suite $u$ est .................. ....................
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère un intervalle ouvert contenant $l$. Il existe donc un nombre réel $e$ strictement positif tel sue $]l-e;l+e[$ est inclus dans cet intervalle. La suite $(v_n)$ converge vers $l$ donc à partir d'un certain rang $N$, $v_n$ est supérieur à $l-e$. La suite $(w_n)$ est convergente donc à partir à partir d'un certain rang $N'$, $w_n<l+e$. En outre, à partir d'un certain rang $N''$, on a $ v_n\leq u_n\leq w_n$, donc à partir du plus grand des trois rangs $N$, $N'$ et $N''$, on a $u_n\leq v_n> l-e$ et $u_n\geq w_n \leq l+e$ donc $w_n$ est dans l'intervalle considéré. Ceci montre que la suite converge vers $l$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $(u_n)$ une suite croissante et convergente vers un réel $l$. Alors tous les termes de la suite $(u_n)$ sont .................. .................... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve }
 Démontrons ce résultat par l'absurde. Pour cela, on suppose qu'il existe un terme de la suite, appelons le $(u_N)$, qui est supérieur strictement à $l$. Soit $d=u_N-l$. On a donc $d>0$.\\
On considère l'intervalle $]l-d;l+d[$. $u_N$ n'appartient donc pas à cet intervalle. $(u_n)$ étant une suite croissante, pour tout entier naturel $n\geq N$, $u_n>u_N>l+d$ et donc $u_n\notin ]l-d;l+d[$.\\
On vient donc de trouver un intervalle pour lequel quelque soit le rang $p$ choisi, il existe des termes de la suite plus grand que $p$ (les termes de rang $n$ supérieur au maximum de $p$ et $N$) qui n'appartiennent pas à cet intervalle : cela contredit la définition de la convergence de la suite vers $l$.\\
Cette contradiction montre que la supposition faite au départ est absurde, on ne peut donc pas trouver de terme de la suite qui soit supérieur strictement à $l$. D'où le résultat.
\end{sanscadre}

\section{Convergence des suites monotones}

\begin{encadrer}{Théorème (théorème de la limite monotone)}
 Toute suite monotone et bornée est .............. .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Admise
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{conséquence}
Soit $(u_n)$ une suite croissante.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $(u_n)$ n'est pas majorée alors elle est ....................... .................... .
\nouvitem Si $(u_n)$ est majorée, alors elle est ..................... .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite croissante et non majorée. Soit $M$ un réel. Il s'agit de montrer qu'à partir d'un certain rang, tous les termes de la suite sont dans l'intervalle $]M:+\infty[$.\\
La suite n'est pas majorée par $M$ donc il existe un rang $N$ tel que $u_N$ soit supérieure strictement à $M$, c'est à dire $u_N\in]M;+\infty[$. Puisque la suite est croissante, pour tout $n\geq N$, $u_n\geq u_N>M$ donc $u_n\in]M;+\infty[$.\\
Cela signifie que la suite admet pour limite $+\infty$.
\nouvitem Application du théorème précédent.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Limites de suites géométriques}

\begin{encadrer}{Propriété (limite des suites géométriques)}
 Soit $q$ un réel. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem Si ..........., alors la suite $(q^n)$ a pour limite ........... ;
\nouvitem si ..........., alors la suite $(q^n)$ a pour limite ....... ;
\nouvitem si ............, alors la suite $(q^n)$ .......... ............ .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve  }
 \begin{itemize}
\nouvitem Si $q>1$ alors $q=..........$ avec $x>.....$. Considérons la fonction $h$ définie par $h(x)=$..................\\
La fonction $h$ est définie et dérivable sur $[0;+\infty[$ et $h'(x)=$.................. .\\
Pour tout $x\geq 0$, on a $h'(x)\geq $.......... donc $h$ est .................... et de $h(0)=.....$ on déduit donc $(1+x)^n....... 1+nx$.\\
Puisque $\lim_{n\rightarrow +\infty}(1+nx)=+\infty$, on a donc $q^n=(1+x)^n$ qui tend vers $+\infty$.
\nouvitem Si $-1<q<1$, alors $|q|<1$ donc $\frac{1}{|q|}>.....$ et d'après le cas précédent $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{|q|^n}=..........$ d'où $(|q|^n)$ tend vers ...... .\\
Par suite, $|q|^n=q^n$ si $q>0$ ou si $n$ est pair et $|q|^n=-q^n$ sinon,  d'où $-|q|^n\leq q^n\leq |q|^n$ et par le théorème des gendarmes $(q^n)$ tend vers 0.
\nouvitem Si $q=-1$, la suite des termes impaires est dans $]................[$ et la suite des termes paires est dans $[...............[$ donc la suite $(q^n)$ ne peut pas converger. 
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\end{document}
