
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{16cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}\par} % boîtes de propriétés

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}} 

\title{Probabilités, expériences répétées, cours, terminale, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Probabilités, expériences répétées, cours, classe de terminale, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
\textbf{\Large Probabilités, expériences répétées, cours, terminale spécialité Mathématiques}
\end{center}



\section{Dénombrements}

\subsection{$k$-uplets}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions}
Soit $E$ un ensemble.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $k$ un entier naturel non nul et $a_1$, $a_2$,...,$a_k$ $k$ éléments de $E$. la suite ordonnée et finie d'éléments $(a_1;a_2;...;a_n)$ est appelé \emphref{$k$-uplet}. En particulier, si $k=2$, $(a_1;a_2)$ est appelé \emphref{couple} d'éléments et si $k=3$, $(a_1;a_2;a_3)$ est appelé \emphref{triplet}.
\nouvitem L'ensemble des $k$-uplets est appelé \emphref{produit cartésien} des $k$ ensembles $E$ et est noté $E^k$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $E$ un ensemble de $n$ éléments et $k$ un entier naturel non nul. Le produit cartésien $E^k$ est constitué de $n^k$ $k$-uplets.
\end{encadrer}
}

\subsection{Combinaisons}



\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1. On appelle \emphref{factorielle $n$} le nombre noté $n!$ défini par $n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$.\par
Par convention $0!=1$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120$.

\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
$n$ et $p$ désignent des entiers tels que $0\leq p\leq n$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. Une combinaison de $p$ éléments de $E$ est un sous ensemble de $E$ à $p$ éléments.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $E=\{1;2;3;4;5\}$, alors $F=\{3;5\}$ et $G=\{1;3\}$ sont des combinaisons de 2 éléments de $E$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $n$ et $p$ deux entiers naturels tels que $0\leq p\leq n$ et $E$ un ensemble à $n$ éléments. Le nombre de combinaisons de $p$ éléments de $E$, noté $\begin{pmatrix} n \\ p\end{pmatrix}$ (lire $p$ parmi $n$) est donné par $$\begin{pmatrix} n \\ p \end{pmatrix}=\dfrac{n(n-1)...(n-p+1)}{p!}=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Nombre de combinaisons de 4 éléments parmi 7  c'est à dire de sous ensembles de 4 éléments dans un ensemble de 7 éléments :\\
$\begin{pmatrix} 7 \\ 4\end{pmatrix} =\dfrac{7!}{4!3!}=\dfrac{7\times 6\times ...\times 2\times 1}{4\times 3\times 2\times 1 \times 3\times 2\times 1}=35$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Utilisation de la calculatrice}
\begin{itemize}
\item[Casio : ] Touche \fbox{nCr}. Taper sur \fbox{OPTN} puis \fbox{PROB} puis \fbox{nCr}.\\
Syntaxe : 7\fbox{nCr}4
\item[TI : ] Touche \fbox{Combinaison}. Taper sur \fbox{math} puis aller dans le menu \fbox{PROB} puis choisir \fbox{Combinaison}.\\
Syntaxe : 7\fbox{Combinaison}4
\item[Numworks : ] menu boîte à outils puis \fbox{Dénombrement} puis \fbox{binomial(n,k)} (Attention : nom mal choisi, cela n'a rien à voir avec une loi binomiale).\\

\end{itemize}
\end{sanscadre} 


\subsection{Propriétés des combinaisons}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les entiers $n$ et $p$ tels que $0\leq p\leq n$, 
$$\begin{pmatrix} n \\ p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n \\ n-p\end{pmatrix}$$
\end{encadrer}
}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $E$ un ensemble à $n$ élément. \'A toute partie de $E$ on associe de manière unique sa partie complémentaire $\bar{A}$. $A$ contient $p$ éléments si et seulement si $\bar{A}$ contient $n-p$ éléments. Il y a donc autant de parties à $p$ éléments dans $E$ que de parties à $n-p$ éléments.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les entiers $n$ et $p$ tels que $1\leq p\leq n-1$, 
$$\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n-1\\p-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\p\end{pmatrix}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Soit $a$ un élément de $E$. Les parties de $E$ à $p$ éléments se répartissent en deux catégories :
\begin{itemize}
\nouvitem les parties $F$ à $p$ éléments qui ne contiennent pas l'élément $a$ : il y en a donc autant que de parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n-1$ éléments, c'est à dire $\begin{pmatrix} n-1\\p\end{pmatrix}$
\nouvitem les parties $G$ à $p$ éléments qui contiennent l'élément $a$ : il en a autant que de parties à $p-1$ éléments dans un ensemble à $n-1$ éléments, c'est à dire $\begin{pmatrix}
 n-1\\p-1\end{pmatrix}$.
\end{itemize}
Comme il y a au total $\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}$ parties à $p$ éléments dans $E$, on obtient le résultat.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Triangle de Pascal}
 Le triangle de Pascal, du nom de Blaise Pascal, mathématicien français du XVII\up{e} siècle qui le\og{}redécouvra\fg{} en Occident (car il était connu avant en Orient et au Moyen-Orient) est une disposition permettant de visualiser et de calculer les coefficients binomiaux et qui s'appuie sur la formule précédente.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
  $\binom{0}{0}=1$ & & & & &\\
\hline
$\binom{1}{0}=1$ & $\binom{1}{1}=1$ & & & &\\
\hline
$\binom{2}{0}=1$ & $\binom{2}{1}=2$ & 1 & & &\\
\hline
$\binom{3}{0}=1$ & $\binom{3}{1}=3$ & 3 & 1 & & \\
\hline
1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
\hline
1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
Explication de la construction : le nombre de la ligne $n$ et de la colonne $k$ est le coefficient binomial $\binom{n-1}{k-1}$. Il est obtenu en ajoutant le nombre situé au dessus (ligne $n-1$ et colonne $k$) au nombre de la colonne et de la ligne précédente (ligne $n-1$ et colonne $k-1$).\\
Par exemple, $\binom{3}{1}=3$ est la somme de $\binom{2}{1}=2$ et de $\binom{2}{0}=1$.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  1 & & & & &\\
\hline
1 & 1 & & & &\\
\hline
1 & 2 & 1 & & &\\
\hline
1 & 3 & 3 & 1 & & \\
\hline
1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
\hline
1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple de programmation du triangle de Pascal en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def trianglePascal(n):
	L=[1]
	L=L+[0 for k in range(n)]
	t=[L]
	for k in range(1,n+1):
		L=[1]
		for l in range(1,k+1):
			L.append(t[k-1][l]+t[k-1][l-1])
		L=L+[0 for l in range(k,n)]
		t=t+[L]
	return t
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

 




\section{Schéma et loi de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une expérience aléatoire ne comportant que deux issues ; l'une appelée \og{}succès\fg{} et l'autre appelée \og{}échec\fg{}. On note $p$ la probabilité de succès avec $p\in[0;1]$ et $q$ la probabilité d'échec ($q=1-p$). Soit $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs $0$ et $1$ avec pour probabilités respectives $p$ et $q=1-p$. On dit que $X$ suit la loi de Bernoulli de paramètre $p$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Deux expériences sont dites \emphref{indépendantes} si le résultat de l'une n'influe pas sur le résultat de l'autre.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
il y a indépendance lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une expérience de Bernoulli de probabilité de succès $p$.
 La répétition de cette expérience $n$ fois de manière indépendante constitue \emphref{un schéma de Bernoulli} de paramètres $n$ et $p$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{8cm}
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève 3 produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueux.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{arbre.png}
 \end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

Sur l'arbre ci-dessus représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$, la probabilité d'avoir les deux premières expériences qui donnent un succès et la dernière qui donne un échec est $P(SS\bar{S})=0,05^2\times 0,95\approx 0,002$\\
soit 0,2 \% de chances d'avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli de paramètre$p\in[0;1]$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=p$ ;
\nouvitem $V(X)=p(1-p)$ ;
\nouvitem $\sigma(X)=\sqrt{p(1-p)}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=x_1P(X=x_1)+x_2P(X=x_2)=1P(X=1)+0P(X=0)=1p+0(1-p)=p$
\nouvitem $V(X)=P(X=x_1)(x_1-E(X))^2+P(X=x_2)(x_2-E(X))^2=p(1-p)^2+(1-p)(0-p)^2=p(1-2p+p^2)+(1-p)p^2=p-2p^2+p^3+p^2-p^3=p-p^2=p(1-p)$
\nouvitem $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{p(1-p)}$
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ;}
\Traitement{
$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;\\
\Si{$t<p$}{Renvoyer "Succès" ; }
\Sinon{Renvoyer "\'Echec" ;}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
import random
def bernoulli(p):
	t=random.random()
	if t<p:
		return 1
	else:
		return 0
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Loi binomiale}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $k\leq n$. Le nombre de manières d'obtenir $k$ succès et $n-k$ échecs pour $n$ répétitions indépendantes de la même expérience de Bernoulli est $\binom{n}{k}$.
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{arbre.png}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{9cm}
\noindent $\binom{3}{3}=1$ : il y a une seule manière d'obtenir 3 succès lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes.\\
$\binom{3}{2}=3$ : il y a trois manières d'obtenir 2 succès et un échec lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes ($SSE$ ; $SES$ ; $ESS$).
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in [0;1]$. On répète $n$ fois ($n\geq 1$) cette expérience indépendamment et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succés. On dit alors que la variable aléatoire $X$ suit une loi \emphref{binomiale} de paramètres $n$ et $p$ et on note $X\sim \mathcal{B}(n;p)$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $k\in\{0;1;2;...;n\}$ est 
 $$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
\end{encadrer}
}
\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
Il y a $\binom{n}{k}$ manières d'obtenir $k$ succès dans $n$ répétitions d'expériences identiques et indépendantes. La probabilité de chacune de ces événements qui sont évidemment incompatibles est $p^k(1-p)^{n-k}$ d'où le résultat.
\end{sanscadre} 

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère le problème précédent de test des produits d'une chaîne de production. Les prélèvements étant supposés indépendants les uns des autres, l'expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,05$.\\
On a $P(X=2)=P(SS\bar{S}\cap S\bar{S}S\cap \bar{S}SS)$\\
 car trois chemins permettent d'obtenir deux succès c'est à dire deux objets défectueux.\\
D'où $P(X=2)=P(SS\bar{S})+P(S\bar{S}S)+P(\bar{S}SS)$\\
donc $P(X=2)=0,05^2\times 0,95+0,95\times 0,05\times 0,95+0,95\times 0,05^2=3\times 0,05^2\times 0,95=0,007$\\
soit une probabilité très faible de 0,007 d'avoir deux produits défectueux.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Calcul pratique de $P(X=k)$ et $P(X\leq k)$}
Soit $X$ une variable aléatoire de paramètres $n$ et $p$. Pour $k$ allant de 0 à $n$, pour calculer $P(X=k)$ ou $P(X\leq k)$, on utilise une calculatrice :
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas instrument : aller dans le menu \fbox{2nd}\fbox{distrib}, choisir \fbox{binomFdp} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X=k)$ et choisir \fbox{binomFRép} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X\leq k)$.
\nouvitem Sur Casio : aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{DIST} puis \fbox{BINM}. Sélectionner alors \fbox{Bpd} puis \fbox{Var} pour variable, puis entrer alors $k$  dans la ligne \og{}x\fg{}, $n$ dans la ligne \og{}numtrial\fg{} et $p$ dans la ligne \og{}p\fg{} puis aller sur \og{}execute\fg{} pour valider et calculer ainsi $P(X=k)$. Pour le calcul de  $P(X\leq k)$, on utilisera \fbox{Bcd} au lieu de \fbox{Bpd}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,4$.\\
Sur TI, la probabilité $P(X\leq 3)$ est donnée par \texttt{binomFrép(4,0.4,3)}.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem On a $P(X<3)=P(X\leq 2)$\\
\nouvitem pour calculer $P(X>k)$, on calcule $1-P(X\leq k)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ; $n$ : entier naturel ;}
\Traitement{
$c\leftarrow 0$;\\
\Pour{$k$ de 1 jusque $n$}
  {$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu;\\
  \Si{$t<p$}{$c\leftarrow c+1$;\\}
  }
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
import random
def simulBinomiale(n,p):
	c=0
	for k in range(1,n+1):
  		t=random.random()
  		if t<p:
    		c=c+1
	return c
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

\end{document}



