
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
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\title{Concentration et loi des grands nombres, cours, terminale, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Concentration et loi des grands nombres, cours, classe de terminale, spécialité Mathématiques}}
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\begin{center}
\textbf{\Large Concentration et loi des grands nombres, cours, terminale, spécialité Mathématiques}
\end{center}

\section{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev et application}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété, Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)=\mu$ et de variance $V(X)=V$.\\
Pour tout réel strictement positif $\delta$, on a :
$$P(|X-\mu|\geq \delta)\leq \frac{V}{\delta^2}$$
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Conséquence}
Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X)=\mu$ et d'écart type $\sigma$\\
Pour tout entier naturel non nul $k$,
$$P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=k\sigma$ :\\
$P( |X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{\sigma^2}{(k\sigma)^2}$\\
D'où $P(|X-\mu|\geq k\sigma)\leq \frac{1}{k^2}$
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Une variable aléatoire $Y$ a pour espérance $E(Y)=2$ et pour variance $V(Y)=0,25$. Cherchons à minorer la probabilité $P(1<Y<3)$ :\\
On remarque que $P(1<Y<3)=P(|Y-E(Y)|<2\sigma)=1-P(|Y-E(Y)|\geq 2\sigma)$ en tenant compte de $\sigma(Y)=\sqrt{V(Y)}=0,5$.\\
D'après la conséquence de l'inégalité de Bienhaymé-Chebychev, on a donc :\\
$P(|Y-E(Y)|\geq 2\sigma)\leq \frac{1}{2^2}$ donc $P(|Y-E(Y)|\geq 2\sigma)\geq 1-\frac{1}{4}$ soit $P(1<Y<3)\geq \frac{3}{4}$ \\ 
\end{sanscadre}

\section{Inégalité de concentration et loi des grands nombres}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété, inégalité de concentration}
Soit $(X_1;X_2;...;X_n)$ une liste de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi d'espérance $\mu$ et de variance $V$. Soit $M_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$ la variable aléatoire moyenne de cet échantillon. Alors pour tout réel $\delta>0$, on a 
$$P(|M_n-\mu|\geq \delta)\leq \frac{V}{n\delta^2}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
D'après les propriétés des sommes de variables aléatoires indépendantes, on a $E(M_n)=\mu$ et $V(M_n)=\frac{V}{n}$.\\
L'inégalité de Bienaymé-Chebychev donne alors :\\
$P(|M_n-\mu|\leq \delta)\leq \frac{V(M_n)}{\delta^2}$ donc $P(|M_n-\mu|\leq \delta)\leq \frac{V}{n\delta^2}$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété, loi(faible) des grands nombres}
Soit $(X_1;X_2;...;X_n)$ une liste de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi d'espérance $\mu$ et soit $M_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}$ la variable aléatoire moyenne de cet échantillon. Pour tout réel $\delta >0$, on a :
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}P(|M_n-\mu|\geq \delta)=0$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}


\end{document}



