
\documentclass[12pt]{article}

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\title{Sommes de variables aléatoires, cours, terminale, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Sommes de variables aléatoires, cours, classe de terminale, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
\textbf{\Large Sommes de variables aléatoires, cours, terminale, spécialité Mathématiques}
\end{center}

\section{Variables aléatoires X+Y et aX}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires sur un même univers $\Omega$.\\
Soit $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ avec $n\in\mathbb{N}^{*}$ les valeurs prises par $X$ et $b_1$, $b_2$,..., $b_m$ avec $m\in\mathbb{N}^{*}$ les valeurs prises par $Y$.
\begin{itemize}
\nouvitem La variable aléatoire $X+Y$ est la variable aléatoire qui prend pour valeurs $a_i+b_k$ où $i\in\{1;2;...;n\}$ et $j\in\{1;2;...;m\}$.

La loi de probabilité de $X+Y$ est la donnée de l'ensemble des valeurs $w$ prises par $X+Y$ et des probabilités $P(X+Y=w)$ égales à la somme des probabilités $P(X=a_i \cap Y=b_j)$ avec $i$ et $j$ tels que $a_i+b_j=w$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel non nul. La variable aléatoire $aX$ est la variable aléatoire qui prend pour valeurs $aa_i$ avec une probabilité $P(aX=aa_i)=P(X=a_i)$ pour tout $i\in\{1;2;...;n\}$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ ;
\nouvitem $E(aX)=aE(X)$ ;
\nouvitem $V(aX)=a^2V(X)$ ;
\nouvitem $\sigma (aX)=|a|\sigma (X)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Admise.
\nouvitem $E(aX)=\sum_{i=1}^{n}aa_iP(aX=aa_i)=\sum_{i=1}^{n}P(X=a_i)aa_i=a\sum_{i=1}^{n}P(X=a_i)a_i=E(X)$ ;
\nouvitem $V(aX)=\sum_{i=1}^{n}P(ax=aa_i)(aa_i-E(aX))^2=\sum_{i=1}^{n}P(X=a_i)(aa_i-aE(X))^2=\sum_{i=1}^{n}P(X=a_i)a^2(a_i-E(X))^2=a^2\sum_{i=1}^{n}P(X=a_i)(a_i-E(X))^2=a^2V(X)$
\nouvitem $\sigma(aX)=\sqrt{V(aX)}=\sqrt{a^2V(X)}=|a|\sqrt{V(X)}=|a|\sigma (X)$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Indépendance de variables aléatoires}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites \emphref{indépendantes} si pour tout $i\in\{1;2;...;n\}$ et tout $j\in\{1;2;...;n\}$, $$P(X=a_i \cap Y=b_j)=P(X=a_i)P(Y=b_j)$$
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X=X_1+X_2+...+X_n$ où les $X_i$ pour tout $i\in\{1;2;...;n\}$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi de Bernoulli de paramètre $p\in[0 ; 1]$, alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et :
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=np$ ;
\nouvitem $V(X)=np(1-p)$ ;
\nouvitem $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève $n=100$ produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueux.\\
Pour ce problème, en prélevant $n=100$ produits indépendamment, on appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de produit défectueux. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,05$. On a alors $E(X)=np=100\times 0,05=5$ ce qui signifie que l'on peut prévoir 5 produits défectueux pour un prélèvement de 100 produits indépendants.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=E(X_1+X_2+...+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n)$ par linéarité de l'espérance.\\
D'où $E(X)=nE(X_1)$ les variables aléatoire $X_i$ suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre $p$ dont l'espérance est $p$.
\nouvitem $V(X)=V(X_1+X_2+...+X_n)=V(X_1)+V(X_2)+...+V(X_n)$ car les $X_i$ sont indépendantes.\\
D'où $V(X)=nV(X_1)=np(1-p)$ car $X_i$ suivent toutes la même loi de Bernoulli de paramètre $p$ dont la variance est $p(1-p)$.
\nouvitem $\sigma(X)=\sqrt{V(X)}=\sqrt{np(1-p)}$
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Moyenne d'un échantillon}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_1;X_2;..;X_n)$ de $n$ variables aléatoires indépendantes et identiques qui suivent toutes cette loi.
\nouvitem La moyenne de cette échantillon est la variable aléatoire $M_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n)}{n}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(M_n)=E(X)$ ;
\nouvitem $V(M_n)=\frac{V(X)}{n}$ ;
\nouvitem $\sigma (M_n)=\frac{\sigma (X)}{\sqrt{n}}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(M_n)=E(\frac{1}{n}(X_1+X_2+...+X_n))=\frac{1}{n}E(X_1+X_2+...+X_n)=\frac{1}{n}(E(X_1)+E(X_2)+...+E(X_n))=\frac{1}{n}nE(X)=E(X)$
\nouvitem $V(M_n)=V(\frac{1}{n}(X_1+X_2+...+X_n))=(\frac{1}{n})^2V(X_1+X_2+...+X_n)=\frac{1}{n^2}(V(X_1)+V(X_2)+...+V(X_n))$ car les variables aléatoires $X_1$, $X_2$,..., $X_n$ sont indépendantes.\\
D'où $V(M_n)=\frac{1}{n^2}nV(X)=\frac{1}{n}V(X)$
\nouvitem $\sigma(M_n)=\sqrt{V(M_n)}=\sqrt{\frac{1}{n}V(X)}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sigma(X)$
\end{itemize}
\end{sanscadre}





\end{document}



