
\documentclass[12pt]{article}

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\title{Sommes de variables aléatoires, cours, terminale, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Sommes de variables aléatoires, cours, classe de terminale, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
\textbf{\Large Sommes de variables aléatoires, cours, terminale, spécialité Mathématiques}
\end{center}

\section{Variables aléatoires X+Y et aX}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires sur un même univers $\Omega$.\\
Soit $a_1$, $a_2$,..., $a_n$ avec $n\in\mathbb{N}^{*}$ les valeurs prises par $X$ et $b_1$, $b_2$,..., $b_m$ avec $m\in\mathbb{N}^{*}$ les valeurs prises par $Y$.
\begin{itemize}
\nouvitem La variable aléatoire $X+Y$ est la variable aléatoire qui prend pour valeurs ................... où $i\in\{1;2;...;n\}$ et $j\in\{1;2;...;m\}$.

La loi de probabilité de $X+Y$ est la donnée de l'ensemble des valeurs $w$ prises par ............. et des probabilités .................. égales à la somme des probabilités ............................. avec $i$ et $j$ tels que $a_i+b_j=w$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel non nul. La variable aléatoire $aX$ est la variable aléatoire qui prend pour valeurs .............. avec une probabilité ........................... pour tout $i\in\{1;2;...;n\}$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
On a :
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X+Y)=$............. ;
\nouvitem $E(aX)=$.............. ;
\nouvitem $V(aX)=$.............. ;
\nouvitem $\sigma (aX)=$........... .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Admise.
\nouvitem $E(aX)=$................... \\
...............
\nouvitem $V(aX)=$....................\\
...............
\nouvitem $\sigma(aX)=$.................
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\section{Indépendance de variables aléatoires}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Les deux variables aléatoires $X$ et $Y$ sont dites \emphref{indépendantes} si pour tout $i\in\{1;2;...;n\}$ et tout $j\in\{1;2;...;n\}$, $$...................$$
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ et $Y$ sont indépendantes, alors $$V(X+Y)=........$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admise
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X=X_1+X_2+...+X_n$ où les $X_i$ pour tout $i\in\{1;2;...;n\}$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent la même loi de Bernoulli de paramètre $p\in[0 ; 1]$, alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n;p)$ et :
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=$....... ;
\nouvitem $V(X)=$........... ;
\nouvitem $\sigma(X)=$............ .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=$...................................................... par linéarité de l'espérance.\\
D'où $E(X)=$.............................. les variables aléatoire $X_i$ suivant toutes la même loi de Bernoulli de paramètre $p$ dont l'espérance est ............
\nouvitem $V(X)=V(X_1+X_2+...+X_n)=$................................................ car les $X_i$ sont indépendantes.\\
D'où $V(X)=$................................... car les $X_i$ suivent toutes la même loi de Bernoulli de paramètre $p$ dont la variance est ......................
\nouvitem $\sigma(X)=$.............................
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève $n=100$ produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueux.\\
Pour ce problème, en prélevant $n=100$ produits indépendamment, on appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de produit défectueux. $X$ suit donc la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,05$. On a alors $E(X)=np=$................ ce qui signifie que l'on peut prévoir ......... produits défectueux pour un prélèvement de 100 produits indépendants.
\end{sanscadre}

\section{Moyenne d'un échantillon}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Un échantillon de taille $n$ d'une loi de probabilité est une liste $(X_1;X_2;..;X_n)$ de $n$ variables aléatoires ........................  qui suivent toutes ......... .............. loi.
\nouvitem La moyenne de cet échantillon est la variable aléatoire $M_n=\frac{X_1+X_2+...+X_n)}{n}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(M_n)=$....... ;
\nouvitem $V(M_n)=$........ ;
\nouvitem $\sigma (M_n)=$............. .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(M_n)=$..........\\
.........
\nouvitem $V(M_n)=$................\\
car les variables aléatoires $X_1$, $X_2$,..., $X_n$ sont indépendantes.\\
D'où $V(M_n)=$..............\\
..............
\nouvitem $\sigma(M_n)=$................
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}





\end{document}



