Limites de fonctions, cours, terminale, spécialité Mathématiques
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I - Limites finies à l'infini
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;+\infty [$ ou $]-\infty;a]$ avec $a\in \mathbb{R}$.
Définition :
Soit $l$ un réel.
$f$ admet pour limite $l$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si ____ pour tout intervalle contenant $l$, il existe un réel $x_0$ tel que pour tous les réels $x$ supérieurs à $x_0$ (resp. pour tous les réels $x$ inférieurs à $x_0$) , $f(x)$ appartient à cet intervalle.
On note alors ____ $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l$).
On dit aussi que $f(x)$ tend vers ou converge vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ (resp. tend vers $-\infty$).
Propriétés :
- $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=$____$0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=$____$0$
- Pour tout entier naturel $k>0$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x^k}=$____$0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^k}=$____$0$
- Pour tout entier naturel non nul $k$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-k}=$____$0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x-k}=$____$0$
Définition :
Soit $l\in \mathbb{R}$ et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère.
On dit que la droite d'équation $y=l$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si ____ $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=l$).
Exemple :
____ $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=0$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=0$ donc la droite d'équation ____ $y=0$ est une asymptote horizontale à l'hyperbole en $+\infty$ et en $-\infty$.
II - Limites infinies à l'infini
Définition :
$f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$ (resp. en $-\infty$ en $+\infty$) si ____ pour tout intervalle $]M;+\infty[$ (resp. $]-\infty; M]$) où $M$ est un réel, il existe un réel $x_0$ tel que pour tous les réels $x$ supérieurs à $x_0$, $f(x) \in ]M;+\infty[$ (resp. $f(x)\in ]-\infty;M]$).
On note alors ____ $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$ (resp. $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$).
On dit aussi que $f(x)$ tend vers $+\infty$ (resp. tend vers $-\infty$) quand $x$ tend vers $+\infty$ .
Remarque :
On définit de même les limites en $-\infty$.
Propriétés :
Pour tout entier naturel $k$ non nul,
- $\lim_{x \rightarrow +\infty}x^k=$ ____$+\infty$
- $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=$ ____$-\infty$
- $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=$ ____$+\infty$
- $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=$ ____$-\infty$
- $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}=$ ____$+\infty$
On considère dans ce paragraphe une fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f$ et $a\in D_f$ où $a$ est l'extrémité d'un intervalle de $D_f$.
Définition :
- $f$ admet pour limite à droite $l\in\mathbb{R}$ (resp. $+\infty$) en $a$ si
pour tout intervalle $]u;v[$ contenant $l$ il existe un réel $x_0>a$ tel que pour tout $x\in ]a;x_0[$ on a $f(x)\in ]u;v[$ (resp. si pour tout intervalle $]u;+\infty[$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x\in ]a;x_0[$ on a $f(x)\in ]u;+\infty[$).
On note alors ____$\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{>}}a}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{>}}a}f(x)=+\infty$).
- $f$ admet pour limite à gauche $l\in \mathbb{R}$ (resp. $+\infty$) en $a$ si pour tout intervalle $]u;v[$ contenant $l$, il existe un réel $x_0\prec a$ tel que pour tout $x\in ]x_0;a[$ on a $f(x)\in ]u;v[$ (resp. si pour tout intervalle $]u;+\infty[$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x\in ]x_0;a[$ on a $f(x)\in ]u;+\infty[$).
On note alors ____ $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{\prec}}a}f(x)=l$ (resp. $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{\prec}}a}f(x)=+\infty$).
Exemple :
$\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{>}}0} \frac{1}{x}=$____$+\infty$ et $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{\prec}}0} \frac{1}{x}=$____$-\infty$.
Définition :
Soit $a$ un réel, $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère. On dit que la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à $\mathcal{C}$ si ____ la limite à droite ou la limite à gauche de $f$ en $a$ est $+\infty$ ou $-\infty$.
Exemple :
La courbe de la fonction $x\mapsto \frac{1}{x}$ admet ____ une asymptote verticale d'équation $x=0$.
Définition
On dit que $f$ admet pour limite $+\infty$ en $a$ lorsque pour tout intervalle de la forme $]u;+\infty[$, contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$. On écrit $\lim_{x\mapsto a}f(x)=+\infty$.
Remarque :
On définit de même $\lim_{x\mapsto a}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\mapsto a}f(x)=l$ où $l$ est un réel.
IV - Opérations sur les limites
Addition, multiplication, quotient :
Dans ce qui suit, $a$ est un réel ou $a=+\infty$ ou $a=-\infty$.
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$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ | $l\in\mathbb{R}$ | $l\in \mathbb{R}$ | $l\in \mathbb{R}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ |
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$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ | $l'\in\mathbb{R}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
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$\lim_{x\rightarrow a}(f+g)(x)$ | ____ $l+l'$ | ____ $+\infty$ | ____ $-\infty$ | ____ $+\infty$ | ____ $-\infty$ | ____ indéterminée |
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$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ | $l\in\mathbb{R}$ | $l\in \mathbb{R}*$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ |
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$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ | $l'\in\mathbb{R}$ | $\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $\infty$ |
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$\lim_{x\rightarrow a}(fg)(x)$ | ____ $ll'$ | ____ $\infty$ | ____ $-\infty$ | ____ $+\infty$ | ____ indéterminée |
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$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ | $l\in\mathbb{R}$ | $+\infty$ ou $-\infty$ | $l\in\mathbb{R}$ |
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$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ | $l'\in\mathbb{R*}$ | $+\infty$ ou $-\infty$ | $+\infty$ ou $-\infty$ |
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$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f}{g}(x)$ | ____$\frac{l}{l'}$ | ____ indéterminée | ____ 0 |
Propriété :
Soit $f$ une fonction telle que $f=\frac{g}{h}$ où $g$ et $h$ sont deux autres fonctions. Si $g$ tend vers une limite non nulle et $h$ tend vers $0$ en un réel $a$, alors $f$ tend vers ____ l'infini, le signe restant à déterminer.
Exemple :
____$\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{>}}1} x+1=2$ et $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{>}}1} x-1=0^{+}$.
$\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{\prec}}1} x+1=2$ et $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{\prec}1}} x-1=0^{-}$.
donc
$\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{>}}1} \frac{x+1}{x-1}=+\infty$ et $\lim_{x_{\stackrel{\rightarrow}{\prec}}1} \frac{x+1}{x-1}=-\infty$
D'où la droite d'équation $x=1$ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
Limites de fonctions composées
Théorème :
$a$, $b$ et $c$ désignent des réels ou $+\infty$ ou $-\infty$. Soient $f$ et $g$ des fonctions.
Si $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ et $\lim_{X \rightarrow b}g(X)=c$ alors ____ $\lim_{x \rightarrow a} g(f(x))=c$.
Exemple : [Déterminer une limite de fonction composée]
Soit $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $-\sqrt{3x^2+4}$.
____ On a $\lim_{x\mapsto+\infty}3x^2+4=+\infty$ et $\lim_{X\mapsto+\infty}-\sqrt{X}=-\infty$ donc $\lim_{x\mapsto+\infty}h(x)=-\infty$.
V - Comparaison et limites
Propriétés :
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions telles que pour $x$ assez grand, $f(x)\geq g(x)$ et $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$, alors ____ $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$.
Remarque :
Si pour $x$ assez grand, $f(x)\leq g(x)$ et si $\lim_{x \rightarrow+\infty}g(x)=-\infty$ alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$
Preuve :
____
Soit $[A;+\infty[$ avec $A$ un nombre réel. Puisque $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=+\infty$, il existe $x_O$ tel que pour tout $x\geq x_0$, $g(x)\in [A;+\infty[$.\\
Comme, pour $x$ assez grand $f(x)\geq g(x)$, il existe un réel $x_1$ tel que pour tout $x\geq x_1$, $f(x)\geq g(x)$. 0n en déduit que pour $x\geq max(x_0;x_1),\,f(x)\in[A;+\infty[$ ce qui justifie que $\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$.
Théorème des gendarmes :
Si $f$, $g$ et $h$ sont des fonctions et $l$ est un nombre réel tel que :
- pour $x$ assez grand, $g(x)\leq f(x)\leq h(x)$ ;
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}g(x)=l$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}h(x)=l$.
____
Alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=l$.
VI - Cas des fonctions exponentielles et logarithme népérien
Exponentielle
Propriétés :
- $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=$____ $+\infty$
- $\lim_{x\rightarrow -\infty}e^x=$____ $0$.
Preuve :
- ____ Soit $h$ définie sur $[0 ; +\infty[$ par $h(x)=e^x-x$.
On a pour tout $x>0$, $h'(x)=e^x-1$.
$h'(x)>0$ si et seulement si $e^x-1>0$ c'est à dire $e^x>1$ donc $x>0$.
On en déduit que $h$ est croissante sur $[0 ; +\infty[$. Comme par ailleurs $h(0)=0$, on a donc pour tout $x>0$, $h(x)\geq 0$ c'est à dire $e^x\geq x$.
Comme $\lim_{x\rightarrow +\infty}x=+\infty$, par comparaison on obtient $\lim_{x\rightarrow+\infty}e^x=+\infty$.
- ____On pose $X=-x$. On a $\lim_{x\rightarrow-\infty}e^x=\lim_{X\rightarrow +\infty}e^{-X}=\lim_{X\rightarrow +\infty}\frac{1}{e^X}$. D'après le cas précédent, $\lim_{X\rightarrow +\infty}e^X=+\infty$ donc $\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{1}{e^X}=0$.
Propriété (croissances comparées) :
- $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{e^x}{x}=$____$+\infty$
- $\lim_{x\rightarrow-\infty}xe^{x}=$____$0$
- $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=$____$1$
Remarque :
Pour tout entier naturel $k$ non nul, $\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x^k}=$____$+\infty$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^ke^{x}=$____$0$.
Preuves :
admises
Fonction logarithme népérien
Propriétés :
- $\lim_{x\rightarrow +\infty}\ln(x)=$____$+\infty$
- $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)=$____ $-\infty$
- $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=$____$0$
- $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=$____$1$
Preuves :
____
- On pose $x=e^X$ pour $x>0$.
On a alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}ln(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\ln(e^X)=\lim_{X\rightarrow +\infty}X=+\infty$.
- On pose $x=\frac{1}{X}$ pour $x\neq 0$
On a alors $\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\ln(x)=\lim_{X\rightarrow +\infty}\ln(\frac{1}{x})=\lim_{X\rightarrow +\infty}-\ln(X)=-\infty$.
- On pose $X=\ln(x)$ ce qui équivaut à $x=\exp(X)$.
On a alors $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{\ln(x)}{x}=\lim_{X\rightarrow+\infty}\frac{X}{e^X}=\lim{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{\frac{e^X}{X}}=0$.
- $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)-\ln(1)}{x-0}=f'(0)=1$ avec $f(x)=\ln(1+x)$ et $f'(x)=\frac{1}{1+x}$.