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\title{Calcul intégral, cours, Terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Calcul intégral, cours, classe de terminale S}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. ortogonal.
On appelle \emphref{intégrale} de $a$ à $b$ de la fonction $f$ la mesure de l'aire en unité d'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan délimitée par l'axe des abscisses, les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ et la courbe $\mathcal{C}$.\\
On note $\int_{a}^{b}f(t)dt$ cette aire.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{integrationairesouscourbeimg.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Remarques}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Pour toute fonction continue et positive sur $[a;b]$, on a $\int_{a}^{b}f(t)dt\geq 0$ ;
  \nouvitem Si $b=a$, on a $\int_{a}^{a}f(t)dt=0$ ;
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Relation de Chasles}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I=[a;c]$ et $b$ un réel de $I$. Alors :
$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx$$
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété de conservation de l'ordre}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a;b]$ telles que pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$.\\
Alors $\int_{a}^{b}f(x)\, dx\leq\int_{a}^{b}g(x)\, dx$
\end{encadrer}
\newpage

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{valeur moyenne} de $f$ sur $[a;b]$, le réel $$\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\ dx$$
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{integrationVMoy.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $f$ est positive sur $[a;b]$, la valeur moyenne s'interprète géométriquement comme la hauteur du rectangle de côté $b-a$ et de même aire que l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe de la fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{sanscadre}


\section{Primitives d'une fonction continue sur un intervalle}


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ dérivable sur un intervalle $I$ et  de dérivée $F'=f$ est appelée \emphref{primitive} de $f$ sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $F:x\mapsto \frac{x^2}{2}$ est une primitive de $f:x\mapsto x$ car $F'(x)=x$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Alors $f$ admet une infinité de primitives : $G$ est une primitive de $f$ si et seulement si il existe un réel $k$ tel que pour tout réel $x$, $G(x)=F(x)+k$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{preuve}
Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$ alors $(F-G)'=F'-G'=f-f=0$ donc $F-G$ est une constante $k$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $F_1:x\mapsto \frac{x^2}{2}-4$ et $F_2:x\mapsto \frac{x^2}{2}+2,5$ sont deux primitives de $x\mapsto x$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Soit $a$ appartenant à $I$ et $b$ un réel. Alors il existe une et une seule primitive $G$ telle que $G(a)=b$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{preuve}
On a vu qu'il existe une constante $k$ telle que pour tout $x\in I$, $G(x)=F(x)+k$. D'où $G(a)=b$ si et seulement si $F(a)+k=b$ c'est à dire $k=b-F(a)$.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
 Il existe une unique primitive $F$ de $x\mapsto x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=2$. En effet, on a vu que les primitives sont de la forme $x\mapsto \frac{x^2}{2}+k$ où $k$ est un réel. $F(1)=2$ impose donc $\frac{1}{2}+k=2$ d'où $k=\frac{3}{2}$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Admis
\end{sanscadre}



\section{Calcul de primitives}

\subsection{Primitives de fonctions de référence}

\begin{sanscadre}{Exemples fondamentaux}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
$f$ définie sur $I$ par & primitives $F$ de $f$ sur $I$  & intervalle $I$ \\
\hline
$0$ & $C\in \mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$\\
\hline
$1$ & $x+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & $\frac{x^2}{2}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & $\frac{x^3}{3}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$, $n\in\mathbb{N^{*}}$ & $\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$\\
\hline
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & $\sqrt{x}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ & $\ln (x)+C,\, C\in\mathbb{R}$& $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\frac{1}{x^2}$ & $-\frac{1}{x}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$\\
\hline
$\frac{1}{x^n}$, $n\geq 2$ & $-\frac{1}{(n-1)x^{n-1}}+C, C\in\mathbb{R}$ & $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\sin (x)$  & $-\cos (x)+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\cos (x)$ & $\sin (x)+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\ 
\hline
$e^{x}$ &  $e^{x}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\subsection{Primitives de fonctions composées}

\begin{sanscadre}{Exemples fondamentaux}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
$f$ définie sur $I$ par & Primitives $F$ de $f$ sur $I$ & intervalle $I$ \\
\hline
$u'u$ & $\frac{1}{2}u^2+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$u'u^n, n\in\mathbb{N}^{*}$ & $\frac{1}{n+1}u^{n+1}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{u'}{u^2}$ & $-\frac{1}{u}+C,\, C\mathbb{R}$ & $I$ tel que $u$ ne s'annule pas sur $I$ \\
\hline
$\frac{u'}{u^n}$, $n\in \mathbb{N}-{0;1}$ & $-\frac{1}{(n-1)u^{n-1}}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $I$ tel que $u$ ne s'annule pas sur $I$ \\
\hline
$u'e^u$ & $e^u+C,\,C\in\mathbb{R}$ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & 2$\sqrt{u}+C,\, C\in\mathbb{R}$ & $I$ tel que $u>0$ \\
\hline
$\frac{u'}{u}$ & $\ln u+C,\, C\in \mathbb{R}$ & $I$ tel que $u>0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\subsection{Lien entre intégrale et primitives}


\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$. $F$ est donc l'unique primitive de $f$ qui s'annule en $a$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve (cas où $f$ est croissante) }
Pour tout $x_0\in [a;b]$, $F(x)$ est l'aire sous la courbe $\mathcal{C}$ entre $a$ et $x_0$. Soit $h>0$ tel que $x_0+h$ appartient à $[a;b]$. On a $F(x_0+h)=\int_{a}^{x_0+h}f(t)dt$.\\
$F(x_0+h)-F(x_0)$ est l'aire sous la courbe comprise entre l'axe $(Ox)$ et les droites d'équation $x=x_0$ et $x=x_0+h$.\\
Cette aire est comprise entre l'aire du rectangle de hauteur $f(x_0)$ et de largeur $h$ et l'aire du rectangle de hauteur $f(x_0+h)$ et de largeur $h$.\\
D'où $$h\times f(x_0)\leq F(x_0+h)-F(x_0)\leq h\times f(x_0+h)$$
et $$f(x_0)\leq\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leq f(x_0+h)$$.
Or $f$ est continue en $x_0$ d'où $\lim_{h\rightarrow 0,h>0}f(x_0+h)=f(x_0)$ et d'après le théorème des gendarmes,
$$\lim_{h\rightarrow 0,h>0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$$
Par le même raisonnement on montre que $$\lim_{h\rightarrow 0,h<0}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=f(x_0)$$

ce qui montre que $F$ est dérivable en $x_0$ de nombre dérivé $f(x_0)$ et ceci pour tout $x_0$ de $[a;b]$.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ est continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ alors
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$$
où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a;b]$. On note alors :
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=[F(x)]_{a}^{b}$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
$\int_{1}^{2}x^2dx=[\frac{x^3}{3}]_{1}^{2}=\frac{2^3}{3}-\frac{1}{3}=\frac{8}{3}-\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.
\end{sanscadre}




\section{Intégrale d'une fonction de signe quelconque}


\begin{encadrer}{Théorème}
Toute fonction continue sur un intervalle $I=[a;b]$ admet une primitive sur $I$.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Théorème et définition}
 Pour toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ et pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$, on définit l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ par $$\int_{a}^{b}f(t)dt=F(b)-F(a)$$
 où $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $F_1$ et $F_2$ deux primitives de $f$. Alors il existe un réel $C$ tel que $F_2=F_1+C$. $F_2(b)-F_2(a)=F_1(b)+C-(F_1(a)+C)=F_1(b)-F_1(a)$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Notation}
On note aussi $\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x)]_{a}^{b}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\int_{0}^{1}\frac{-5x}{x^2+3}dx=\int_{0}^{1}\frac{-5}{2}\frac{2x}{x^2+3}dx=[\frac{-5}{2}\ln(x^2+3)]_0^{1}$\\
$=\frac{-5}{2}\ln(1^2+3)-\frac{-5}{2}\ln(0^2+3)=\frac{-5}{2}\ln(4)-\frac{-5}{2}\ln(3)$
$=\frac{-5}{2}\ln(\frac{4}{3})$
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée $f$.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété (relation de Chasles)}
 Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $a$, $b$ et $c$ trois réels de $I$. Alors :
$$\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soit $F$ une primitive de $f$. On a
\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx&=F(b)-F(a)+F(c)-F(b)\\
 &=F(c)-F(a)\\
 &=\int_{a}^{c}f(x)\,dx
\end{align*}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Conséquences}
Avec les mêmes hypothèses que précédemment, 
\begin{itemize}
\nouvitem $\int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
 \nouvitem $\int_{b}^{a}f(x)\,dx=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$

 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
D'une part, $\int_{a}^{a}f(x)\,dx=F(a)-F(a)=0$ et d'autre part, 
$\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{a}f(x)\,dx=\int_{a}^{a}f(x)\,dx$ d'où les deux résultats.
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété de linéarité de l'intégrale}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$ et $k$ un réel. Alors
$$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx$$
et
$$\int_{a}^{b}kf(x)\, dx=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soient $F$ et $G$ des primitives de $f$ et $g$ respectivement.\\
Alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ car $(F+G)'=F'+G'=f+g$\\
et on a $\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=(F+G)(b)-(F+G)(a)=F(b)+G(b)-F(a)-G(a)=F(b)-F(a)+G(b)-G(a)=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g()x\,dx$.

\noindent De même, $kF$ est une primitive de $kf$ et $\int_{a}^{b}kf(x)\,dx=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=k\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
\end{sanscadre}




\begin{encadrer}{Propriété de positivité de l'intégrale}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
\begin{itemize}
 \nouvitem Si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$, alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq 0$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$, alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int_{a}^{b}g(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est positive, alors, $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ est l'aire de la partie de plan comprise entre les droites d'équation $x=a$, $x=b$, $y=0$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ donc est positive.
\nouvitem Si pour tout $x$ réel de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$ implique $g(x)-f(x)\geq 0$ c'est à dire que $g-f$ est positive. D'où $\int_{a}^{b}(g(x)-f(x))\,dx\geq 0$ d'après le point précédent ce qui s'écrit encore $\int_{a}^{b}g(x)\,dx\geq\int_{a}^{b}f(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est continue et négative sur $[a;b]$, l'aire exprimée en unités d'aire de la surface plane délimitée par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $-\int_{a}^{b}f(x)dx$.
\nouvitem Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues positives sur $[a;b]$ telles que $f\leq g$, alors l'aire, exprimée en unités d'aire, de la surface comprise entre les deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$ est égale à $\int_{a}^{b}g(x)-f(x)dx$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{integrationCoursFigAireTS.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{valeur moyenne} de $f$ sur $[a;b]$, le réel $$\mu=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$
\end{encadrer}

\section{Intégration par parties}

\begin{encadrer}{Théorème}
$u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$. On suppose que leurs fonctions dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $I$. Alors, pour tous les nombres réels $a$ et $b$ de $I$ :
$$\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, donc le produit $uv$ est dérivable sur $I$ et $(uv)'=u'v+v'u$.\\
Les fonctions $u$, $v$, $u'$ et $v'$ étant continues sur $I$, la fonction $u'v+v'u$ l'est aussi.\\
Alors $\int_{a}^{b}(uv)'(x)dx=\int_{a}^{b}(u'(x)v(x)+u(x)v'(x))dx=\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx+\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx$ d'après la propriété de linéarité de l'intégrale.\\
La fonction $uv$ est évidemment une primitive de la fonction $(uv)'$, donc $\int_{a}^{b}(uv)'(x)dx=[u(x)v(x)]_{a}^{b}$.\\
On obtient $[u(x)v(x)]_{a}^{b}=\int_{a}^{b}u'(x)v(x)dx+\int_{a}^{b}u(x)v'(x)dx$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Utilisation d'une intégration par parties]}
Cherchons la primitive de $f:t\mapsto \ln(t)$ qui s'annule en 1.\\
On pose $u(t)=\ln(t)$ et $v'(t)=1$. On a donc $u'(t)=\frac{1}{t}$ et on peut poser $v(t)=t$.\\
On a alors $\int_{1}^{x}1\ln(t)dt=[t\ln(t)]_{1}^{x}-\int_{1}^{x}\frac{1}{t}tdt=x\ln(x)-1\ln(1)-\int_{1}{x}dt=x\ln(x)-[t]_{1}^{x}=x\ln(x)-x+1.$
\end{sanscadre}

\end{document}

