\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
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\title{Fonctions trigonométriques, cours,  terminale, spécialité mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions trigonométriques, cours, classe de terminale, spécialité mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Fonctions trigonométriques, cours, terminale S}}
\end{center}


\section{Fonctions trigonométriques}

\begin{encadrer}{Définition}
 \begin{itemize}
 \begin{onehalfspace}
\nouvitem La fonction \emphref{cosinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto ...$.
\nouvitem La fonction \emphref{sinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto ...$.
\end{onehalfspace}
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et :
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
 \nouvitem $\sin'(x)=....$ ;
  \nouvitem $\cos'(x)=....$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
admise
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définitions et propriétés}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $T$ un réel. On dit qu'une fonction définie sur $\mathbb{R}$ est \emphref{périodique de période} $T$ si pour tout réel $x$, .................... .
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{paire} si pour tout réel $x\in I$, ..................... .

Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative d'une fonction paire est ............. .................. ................ .................. .................... .
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{impaire} si pour tout réel .............................. .

Dans un repère du plan, la courbe représentative d'une fonction impaire est ................. ................... ..................... ..................... .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout $x$ réel, $\cos(x+2\pi)=$......... et $\sin(x+2\pi)=$.......... . Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions \emphref{.................} de ...........................
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\cos(-x)=$........... . La fonction cosinus est une fonction \emphref{...............} 
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\sin(-x)=$........... . La fonction sinus est une fonction \emphref{.....................}.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
 Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos(4x)$.\\
Pour tout réel $x$, $f(-x)=$....\\
 donc $f$ est une fonction ................. .\\
Pour tout réel $x$, $f(x+\frac{\pi}{2})=$.....\\
 donc $f$ est ...............
 \end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage

\section{\'Etude des fonctions cosinus et sinus sur $[0;\pi]$}

\subsection{Fonction cosinus}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ & $0$ & & .......... & & $\pi$ \\
\hline
 $\cos(x)$ & & ..... & .... & ..... & \\
\hline
\end{tabular}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $.....$ & & $\pi$ \\
\hline
 & $....$ & & & & \\
$\cos{x}$ & & $......$ & & & \\
 & & & $....$ & & \\
 & & & & $.......$ &  \\
 & & & & & $....$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{sanscadre}{Preuve des variations}
 Pour tout $x\in[0;\pi]$, $\cos'(x)=..........$. Pour tout $x\in]0;\pi[$ $\sin(x)>.....$ donc $\cos'(x)..........$ et la fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0;\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction cosinus est appelée \emphref{....................}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourscosinusimg.png}
\end{center}


\subsection{Fonction sinus}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ & $0$ & & $.........$ & & $\pi$ \\
\hline
 $\sin(x)$ & .... & .... &  & ..... & ..... \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $.....$ & & $\pi$ \\
\hline
 $\sin(x)$& & & $....$ & & \\
&  & $......$ & & $......$ &  \\
 & $....$ & & & & $....$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 Pour tout $x\in [0;\pi]$, $\sin'(x)=........$. Pour tout $x\in]0;\frac{\pi}{2}[$, $\cos(x).....$ et pour tout $x\in]\frac{\pi}{2};\pi[$, $\cos(x).....$ donc la fonction sinus et strictement ................... sur $[0;\frac{\pi}{2}]$ et strictement ..................... sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction sinus est appelée \emphref{sinusoïde}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourssinusimg.png}
\end{center}

\section{Applications}

\subsection{Résolution d'inéquations trigonométriques}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Résolution de l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ sur $[0 ; \pi]$.\\
On sait que l'équation $\sin(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions sur $\mathbb{R}$, ...................... ................ ........................... avec $k_1$ et $k_2$ entiers relatifs.\\
Les solutions sur $[0;\pi]$ sont donc ........................ ...................... .................... .\\
D'après les variations de la fonction sinus sur $[0;\pi]$, l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ a donc pour ensemble de solutions ..................... ....................... sur $[0;\pi]$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg1.png}
\end{center}

\end{sanscadre}


\subsection{Exemple d'étude de fonctions}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; \pi]$ par $f(x)=\frac{x}{2}-\sin(x)$.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, ......................... .................. .\\
$f'(x)\geq 0$ équivaut à ............... ................. c'est  à dire ................. ......................\\
On sait que $\cos(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions ........................... ........................ .............. ................... sur $\mathbb{R}$ où $k_1$ et $k_2$ sont des entiers relatifs.\\
Donc sur $[0;\pi]$, l'unique solution est ...................... .\\
Par lecture du cercle trigonométrique, l'inéquation $\cos(x)\leq \frac{1}{2}$ a pour ensemble de solutions ..................... ............... .\\
Par conséquent, on a le tableau de variations suivant :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & 0 & & ............. & & $\pi$ \\
\hline
$f'(x)$ & & ..... & 0 & ..... & \\
\hline
$f(x)$ & & .......... & & .......... & \\
 & & & ............... & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg2.png}
\end{center}



\end{sanscadre}

\end{document}
