
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}


\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}


\newcommand{\limg}[2]{\lim_{#1_{\stackrel{\rightarrow}{<}}#2}}
\newcommand{\limd}[2]{\lim_{#1_{\stackrel{\rightarrow}{>}}#2}}


\title{Fonctions trigonométriques, cours, terminale, spécialité mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Etude des fonctions trigonométriques, cours, classe de terminale, spécialité mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\pdfrowcolors{lightgray}


\section{Fonctions trigonométriques}

\begin{encadrer}{Définition}
 \begin{itemize}
\nouvitem La fonction \emphref{cosinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \cos(x)$.
\nouvitem La fonction \emphref{sinus} est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x\mapsto \sin(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\sin'(x)=\cos(x)$ ;
  \nouvitem $\cos'(x)=-\sin(x)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{paire} si pour tout $x\in I,\, f(-x)=f(x)$ c'est à dire si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ symétrique par rapport à 0 est \emphref{impaire} si pour tout $x\in I,\, f(-x)=-f(x)$ c'est à dire si sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'origine du repère.
\nouvitem On dit qu'une fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ est \emphref{périodique} de période $T$ si pour tout réel $x\in \mathbb{R}, f(x+T)=f(x)$. 
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout $x$ réel, $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$. Les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions \emphref{périodiques} de période $2\pi$.
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\cos(-x)=\cos(x)$. La fonction cosinus est une fonction \emphref{paire}.
\nouvitem Pour tout réel $x$, $\sin(-x)=-\sin(x)$. La fonction sinus est une fonction \emphref{impaire}.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=\cos(4x)$.\\
Pour tout réel $x$, $f(-x)=\cos(-4x)=\cos(4x)=f(x)$ donc $f$ est une fonction paire.\\
Pour tout réel $x$, $f(x+\frac{\pi}{2})=\cos(4(x+\frac{\pi}{2}))=\cos(4x+2\pi)=\cos(4x)=f(x)$ donc $f$ est périodique de période $\frac{\pi}{2}$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{\'Etude des fonctions cosinus et sinus sur $[0;\pi]$}

\subsection{Fonction cosinus}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ & $0$ & & $\frac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\
\hline
 $\cos(x)$ & & + & 0 & - & \\
\hline
\end{tabular}

\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $\frac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\
\hline
 & $1$ & & & & \\
$\cos{x}$ & & $\searrow$ & & & \\
 & & & $0$ & & \\
 & & & & $\searrow$ &  \\
 & & & & & $-1$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{sanscadre}{Preuve des variations}
 Pour tout $x\in[0;\pi]$, $\cos'(x)=-\sin(x)$. Pour tout $x\in]0;\pi[$ $\sin(x)> 0$ donc $\cos'(x)< 0$ et la fonction cosinus est strictement décroissante sur $[0;\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction cosinus est appelée \emphref{cosinusoïde}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourscosinusimg.png}
\end{center}


\subsection{Fonction sinus}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Signe :}
 \pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
 $x$ & $0$ & & $\frac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\
\hline
 $\sin(x)$ & 0 & + &  & + & 0 \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\subsubsection*{Variations :}

\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcccr|}
\hline
$x$ & $0$ & & $\frac{\pi}{2}$ & & $\pi$ \\
\hline
 $\sin(x)$& & & $1$ & & \\
&  & $\nearrow$ & & $\searrow$ &  \\
 & $0$ & & & & $0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Preuve}
 Pour tout $x\in [0;\pi]$, $\sin'(x)=\cos(x)$. Pour tout $x\in]0;\frac{\pi}{2}[$, $\cos(x)>0$ et pour tout $x\in]\frac{\pi}{2};\pi[$, $\cos(x)<0$ donc la fonction sinus et strictement croissante sur $[0;\frac{\pi}{2}]$ et strictement décroissante sur $[\frac{\pi}{2};\pi]$.
\end{sanscadre}

\subsubsection*{Représentation graphique :}

La représentation graphique de la fonction sinus est appelée \emphref{sinusoïde}.

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{fonctionstrigocourssinusimg.png}
\end{center}

\section{Applications}

\subsection{Résolution d'inéquations trigonométriques}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Résolution de l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ sur $[0 ; \pi]$.\\
On sait que l'équation $\sin(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions sur $\mathbb{R}$, $\frac{\pi}{6}+2k_1\pi$ et $\pi-\frac{\pi}{6}+2k_2\pi$ avec $k_1$ et $k_2$ entiers relatifs.\\
Les solutions sur $[0;\pi]$ sont donc $\frac{\pi}{6}$ et $\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$.\\
D'après les variations de la fonction sinus sur $[0;\pi]$, l'inéquation $\sin(x)\geq \frac{1}{2}$ a donc pour solutions $[\frac{\pi}{6};\frac{5\pi}{6}]$ sur $[0;\pi]$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg1.png}
\end{center}

\end{sanscadre}


\subsection{Exemple d'étude de fonctions}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; \pi]$ par $f(x)=\frac{x}{2}-\sin(x)$.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$, $f'(x)=\frac{1}{2}-\cos(x)$.\\
$f'(x)\geq 0$ équivaut à $\frac{1}{2}-\cos(x)\geq 0$ c'est  à dire $\frac{1}{2}\geq \cos(x)$\\
On sait que $\cos(x)=\frac{1}{2}$ a pour solutions $\frac{\pi}{3}+2k_1\pi$ et $-\frac{\pi}{3}+2k_2\pi$ sur $\mathbb{R}$ où $k_1$ et $k_2$ sont des entiers relatifs.\\
Donc sur $[0;\pi]$, l'unique solution est $\frac{\pi}{3}$.\\
Par lecture du cercle trigonométrique, l'inéquation $\cos(x)\leq \frac{1}{2}$ a pour solutions $[\frac{\pi}{3};\pi]$.\\
Par conséquent, on a le tableau de variations suivant :
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
 \hline
$x$ & 0 & & $\frac{\pi}{3}$ & & $\pi$ \\
\hline
$f'(x)$ & & - & 0 & + & \\
\hline
$f(x)$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\
 & & & $\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$ & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{center}
 \includegraphics[scale=1]{fonctionstrigocoursimg2.png}
\end{center}



\end{sanscadre}

\end{document}
