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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Produit scalaire dans l'espace et applications, cours,  terminale spécialité mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, classe de terminale spécialité mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Produit scalaire dans l'espace et applications, cours, terminale spécialité mathématiques}}
\end{center}


\section{Produit scalaire dans l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace. Soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$ et $\vec{v}=\vec{AC}$.
Soit $\mathcal{P}$ un plan contenant les trois points. Alors le \emphref{produit scalaire} noté $\vec{u}\cdot \vec{v}$ des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le produit scalaire ........... .......... dans le plan $(\mathcal{P})$.
\end{encadrer}




\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls et soient $A$, $B$ et $C$ trois points tels que $\vec{u}=\vec{AB}$, $\vec{v}=\vec{AC}$. 
\begin{itemize}
 \nouvitem Alors dans un plan $\mathcal{P}$ contenant les trois points :
$$.........$$
\nouvitem Soit $H$ le \emphref{projeté orthogonal} de $C$ sur la droite $(AB)$ c'est  à  dire le point d'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan orthogonal à  $(AB)$ passant par C, alors : 
$$..........$$
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{8cm}
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg2.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Exemple}
 Dans le cube  $ABCDEFGH$ de côté 1 ci-dessous,\\
$\vec{AB}.\vec{CH}=$...................... \\
D'où $\vec{AB}.\vec{CH}=....$\\
...
\end{sanscadre}
\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{espacecubeimg.png}
\end{center}



\begin{encadrer}{Propriétés}
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ des vecteurs et $k$ un réel.
\begin{itemize}
 \nouvitem $\vec{u}.\vec{v}=......$ ;
\nouvitem $(k\vec{u}).\vec{v}=......$ ;
\nouvitem $\vec{u}.(\vec{v}+\vec{w})=.............$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
Dans le cube $ABCDEFGH$ ci-dessus :\\
$\vec{AC}.\vec{BF}=...$\\
...\\
...\\
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Le carré scalaire d'un vecteur $\vec{u}$ est le réel noté $\vec{u}^2$ tel que $\vec{u}^2=\vec{u}.\vec{u}$. On a 
$$\|\vec{u}\|^2=.....$$ et $$AB^2=....$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $||\vec{u}+\vec{v}||^2=$...
\nouvitem $||\vec{u}-\vec{v}||^2=$...
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuves}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize} 
\nouvitem $||\vec{u}+\vec{v}||^2=...$\\
...
\nouvitem De même, $||\vec{u}-\vec{v}||^2=...$\\
...
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Conséquences (formules de polarisation)}
$$....$$
et 
$$....$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuves}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $\frac{1}{2}(||\vec{u}||^2+||\vec{v}||^2-||\vec{u}-\vec{v}||^2)=...$\\
...
\nouvitem $\frac{1}{2}(||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2)=...$\\
...
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\section{Orthogonalité dans l'espace}

\subsection{Vecteurs orthogonaux}

\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace sont dits \emphref{orthogonaux} si .............................. .
\nouvitem Deux droites de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dites orthogonales si .................. ................................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize} 
\nouvitem Dire qu'une base $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ de l'espace est \emphref{orthonormée}  signifie que ses vecteurs sont deux à deux orthogonaux et de même norme égale à 1.
\nouvitem Soit $O$ un point de l'espace. $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un repère \emphref{orthonormé} de l'espace si $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est une base orthonormée de l'espace. 
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé de l'espace  Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ont pour coordonnées $\coordvecespace{x}{y}{z}$ et $\coordvecespace{x'}{y'}{z'}$ alors :
$$....$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormé de l'espace.
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $A(x_A;y_A;z_A)$ et $B(x_B;y_B;z_B)$ deux points. La distance $AB$ de $A$ à $B$ est donnée par :
$$...$$
\nouvitem Le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\coordvecespace{a}{b}{c}$ a pour norme $$....$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Orthogonalité entre une droite et un plan}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Une droite $(d)$ est orthogonale à  toutes les droites d'un plan $(\mathcal{P})$ si et seulement si elle est orthogonale .............. ............. ............... ............... ................ . On dit alors qu'elle est orthogonale au plan $(\mathcal{P})$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Il est évident que si la droite $(d)$ est orthogonale à  toutes les droites du plan $(\mathcal{P})$, alors elle est en particulier orthogonale aux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ du plan.\par 
Montrons la réciproque. Soient $\vec{u_1}$ et $\vec{u_2}$ des vecteurs directeurs de $(d_1)$ et $(d_2)$ respectivement. Soi $\vec{u}$ un vecteur directeur de $(d)$. Alors pour toute droite $(d_3)$ du plan, soit $\vec{w}$ un vecteur directeur de $(d_3)$. $\vec{u_1}$, $\vec{u_2}$ sont des vecteurs directeurs du plan $(\mathcal{P})$ et $\vec{w}$ leur est coplanaire donc il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec{w}$......................... Par ailleurs, $\vec{u}.\vec{u_1}=$......... et $\vec{u}.\vec{u_2}$......... car ............... ................... ....................... .
Donc $\vec{u}.\vec{w}$.................... ........................ .................... donc $(d)$ est orthogonale à  $(d_3)$. Ceci étant valable pour toute droite $(d_3)$ du plan, la propriété est bien vraie.
\end{sanscadre}


\subsection{Vecteur normal à  un plan}

\begin{encadrer}{Définition}
 Un vecteur non nul $\vec{n}$ est normal à  un plan $(\mathcal{P})$ lorsque ce vecteur est un vecteur directeur d'une droite ............... ...................... ................. .
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple : démontrer qu'un vecteur est normal à un plan}
 Soient $A(1;1;4)$, $B(-1;1;2)$ et $C(2;2;8)$ trois points et $\vec{u}(1;3;-1)$ un vecteur.\\
$\vec{AB}$ a pour coordonnées .............. et $\vec{AC}$ a pour coordonnées ............ . Ils ne sont de manière évidente pas .................. et définissent donc un plan $(ABC)$.\\
\'Etudions si le vecteur $\vec{u}$ est normal au plan $(ABC)$.\\
D'une part $\vec{u}.\vec{AB}=$................................... donc $\vec{u}$ et $\vec{AB}$ sont ................ .\\
D'autre part, $\vec{u}.\vec{AC}=$................................. donc $\vec{u}$ et $\vec{AC}$ sont ................ .\\
Par conséquent, $\vec{u}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, il est donc orthogonal à tout vecteur du plan, c'est à dire qu'il est ..................... au plan.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ des plans et $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ des vecteurs normaux à  ces deux plans respectivement. $(\mathcal{P})$ et $(\mathcal{P'})$ sont dits \emphref{perpendiculaires} si $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ sont .................. .
\end{encadrer}


\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg4.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemple d'étude de position relative de plans}
On considère les plans $\mathcal{P}_1$ et $\mathcal{P}_2$ de vecteurs normaux respectifs $\vec{n_1}(2;-5;9)$ et $\vec{n_2}(4 ; -9 ; 3)$.\\
$\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ ne sont pas ................ donc les plans ne sont pas ............. et sont donc sécants selon une droite.
En outre, $\vec{n_1}.\vec{n_2}=$.......... donc les plans ne sont pas .................. .
\end{sanscadre}



\section{Projections orthogonales dans l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(d)$} est le point d'intersection de $(d)$ avec ...................... ..................................... .......................... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le projeté orthogonal $H$ d'une point $M$ sur une droite $(d)$ est le point de $(d)$ ........ ............ ............... de $M$. On dit que $MH$ est la \emphref{distance de $M$ à la droite $(d)$}.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{projeteOrthogonalDroiteFig.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $M$ appartient à la droite $(d)$ alors $M=H$ et $MH=0$ ce qui est évidemment la plus courte distance possible.
\nouvitem Si $M$ n'appartient pas à $(d)$, pour tout point $K$ de la droite $(d)$, le triangle $MHK$ est un triangle rectangle en $H$. Par le théorème de Pythagore, on a donc $MK^2=MH^2+HK^2$ donc $MK^2>MH^2$ et $MK>MH$ ce qui signifie que la distance $MH$ est la distance la plus courte par rapport à n'importe quel point de la droite $(d)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$} est le point d'intersection $H$ du plan $\mathcal{P}$ et de ............ ..................... ....................... passant par $M$.

\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ ..... ........ ............  de $M$. On dit que $MH$ est \emphref{la distance du point M au plan $\mathcal{P}$}.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{projeteOrthogonalPlanFig.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $M$ appartient au plan $(\mathcal{P})$ alors $M=H$ et $MH=0$ ce qui est évidemment la plus courte distance possible.
\nouvitem Si $M$ n'appartient pas à $(\mathcal{P})$, pour tout point $K$ du plan $(\mathcal{P})$, le triangle $MHK$ est un triangle rectangle en $H$. Par le théorème de Pythagore, on a donc $MK^2=MH^2+HK^2$ donc $MK^2>MH^2$ et $MK>MH$ ce qui signifie que la distance $MH$ est la distance la plus courte par rapport à n'importe quel point du plan $(\mathcal{P})$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{document}
