
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage[left=1.5cm, right=1.5cm, top=1.5cm, bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{eurosym}
\usepackage{setspace}

%\setlength\textwidth{15cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{22.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0.5cm} 

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadresansflush}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}
\newenvironment{paragraphe}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par \noindent}{\bigskip\par}



\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}
\newcommand{\coordvecespace}[3]{\begin{pmatrix} #1\\#2\\#3\end{pmatrix}}


\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Compéments de géométrie dans l'espace, cours, terminale, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Compléments de géométrie dans l'espace, cours, classe de terminale, Spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
\textbf{\Large Compléments de géométrie dans l'espace, cours, terminale, spécialité Mathématiques}
\end{center}

\section{Représentations paramétriques de droite}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère de l'espace. Soit $d$ une droite de l'espace passant par un point $A$ de coordonnées $(x_A;y_A;z_A)$ et admettant le vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $(a;b;c)$ pour vecteur directeur.\\
Un point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ appartient à la droite $d$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\vec{AM}=t\vec{u}$ c'est  à dire si et seulement si 
$$\left\{ \begin{array}{cc} x&=x_A+ta\\ y&=y_A+tb\\ z&=z_A+tc\\ \end{array}\right.$$
Ce système est appelé \emphref{représentation paramétrique} de la droite $d$ et $t$ est appelé \emphref{paramètre} de cette représentation.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir obtenir et utiliser une représentation paramétrique de droite]}
 Soit $A$ le point de coordonnées $(1;-4;3)$ et $\vec{u}$ le vecteur de coordonnées $(5;1;-2)$. Alors la droite $(d)$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ admet pour représentation paramétrique :
$$\left\{ \begin{array}{cc} x&=1+5t\\ y&=-4+t \\ z&=3-2t\end{array}\right.$$
c'est  à dire qu'un point $M(x;y;z)$ appartient à cette droite si et seulement si ses coordonnées $(x;y;z)$ vérifient le système précédent.\\
On cherche si $B(14;-7;9)$ appartient à la droite :\\
$B$ à la droite si et seulement il existe un réel $t$ tel que $$\left\{ \begin{array}{l} 14=1+5t\\ -7=-4-t\\9=3-2t\end{array}\right.$$
Le système n'a pas de solution donc $B$ n'appartient pas à la droite.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Pour une droite donnée, il existe une infinité de représentations paramétriques de cette droite.
\end{sanscadre}

\newpage


\section{\'Equations cartésiennes de plan}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $(\mathcal{P})$ un plan, A un point de $\mathcal{P}$ et $\vec{n}$ un vecteur normal au plan $(\mathcal{P})$.Le plan est l'ensemble des points M tels que $\vec{AM}.\vec{n}=0$.
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{produitscalaireimg3.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $(O;\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ un repère orthonormal. 
\begin{itemize}
 \nouvitem Soit $(\mathcal{P})$ un plan de vecteur normal $\vec{n}$ de coordonnées $\coordvecespace{a}{b}{c}$. Un point $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ appartient à $(\mathcal{P})$ si et seulement $ax+by+cz+d=0$ où $d$ est un réel fixé.
Cette équation est appelée \emphref{équation cartésienne} du plan $(\mathcal{D})$.
\nouvitem Réciproquement, soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des réels avec $(a;b;c)\neq (0;0;0)$. Alors l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;y;z)$ tels que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal le vecteur $\vec{n}$ de coordonnées $\coordvecespace{a}{b}{c}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ un point du plan $(\mathcal{P})$.\par 
$M(x;y;z)\in(\mathcal{P})\Leftrightarrow \vec{AM}.\vec{n}=0\Leftrightarrow(x-x_A)a+(y-y_A)b+(z-z_A)c=0\Leftrightarrow ax+by+cz+(-ax_A+by_A+cz_A)=0$ ce qui montre que la relation $ax+by+cz+d=0$ caractérise le plan $(\mathcal{P})$.
\nouvitem On peut supposer $a\neq 0$, la démonstration serait identique dans les cas où $b\neq$ ou $c\neq$. Le point $A(\frac{-d}{a};0;0)$ est un point de l'ensemble $\mathcal{E}$ cherché. Soit $M(x;y;z)$  un autre point de $\mathcal{E}$. Alors  $ax+by+cz+d=0$ et $-\frac{d}{a}a+0b+0c+d=0$ donnent $a(x+\frac{d}{a})+by+cz=0$ ce qui équivaut à $\vec{AM}.\vec{n}=0$ où $\vec{n}$ a pour coordonnées $\coordvecespace{a}{b}{c}$. $\mathcal{E}$ est donc bien le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}$.
\end{itemize}

\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple de recherche d'équation cartésienne d'un plan :}
On considère le plan $\mathcal{P}$ passant par le point $A(6;4;-5)$ et de vecteur normal $\vec{n}$ de coordonnées $\coordvecespace{-2}{3}{5}$.\\
Alors $M(x;y;z)\in \mathcal{P}\Leftrightarrow \vec{AM}.\vec{n}=0\Leftrightarrow -2(x-6)+4(y-4)+5(y-5)=0\Leftrightarrow -2x+4y+5y-29=0$.
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $I(x_I;y_I;z_I)$ un point et $R$ un réel positif.\\
Alors la sphère $(\mathcal{S})$ de centre $I$ et de rayon $R$ est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que $(x-x_I)^2+(y-y_I)^2+(z-z_I)^2=R^2$.\\
Cette équation est une \emphref{équation cartésienne} de la sphère de centre $I$ et de rayon $R$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
$M(x;y;z)\in(\mathcal{S})\Leftrightarrow IM^2=R^2\Leftrightarrow (x-x_I)^2+(y-y_I)^2+(z-z_I)^2=R^2$
\end{sanscadre}


\section{Projections orthogonales dans l'espace}

\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{projeté orthogonal d'un point $M$ sur une droite $(d)$} est le point d'intersection de $(d)$ avec le plan passant par $M$ et orthogonal à $(d)$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le projeté orthogonal $H$ d'une point $M$ sur une droite $(d)$ est le point de $(d)$ le plus proche de $M$. On dit que $MH$ est la \emphref{distance de $M$ à la droite $(d)$}.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{projeteOrthogonalDroiteFig.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $M$ appartient à la droite $(d)$ alors $M=H$ et $MH=0$ ce qui est évidemment la plus courte distance possible.
\nouvitem Si $M$ n'appartient pas à $(d)$, pour tout point $K$ de la droite $(d)$, le triangle $MHK$ est un triangle rectangle en $H$. Par le théorème de Pythagore, on a donc $MK^2=MH^2+HK^2$ donc $MK^2>MH^2$ et $MK>MH$ ce qui signifie que la distance $MH$ est la distance la plus courte par rapport à n'importe quel point de la droite $(d)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{projeté orthogonal d'un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$} est le point d'intersection $H$ du plan $\mathcal{P}$ et de la droite orthogonale à $\mathcal{P}$ passant par $M$.

\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Le projeté orthogonal $H$ d'un point $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ est le point de $\mathcal{P}$ le plus proche de $M$. On dit que $MH$ est \emphref{la distance du point M au plan $\mathcal{P}$}.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{projeteOrthogonalPlanFig.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $M$ appartient au plan $(\mathcal{P})$ alors $M=H$ et $MH=0$ ce qui est évidemment la plus courte distance possible.
\nouvitem Si $M$ n'appartient pas à $(\mathcal{P})$, pour tout point $K$ du plan $(\mathcal{P})$, le triangle $MHK$ est un triangle rectangle en $H$. Par le théorème de Pythagore, on a donc $MK^2=MH^2+HK^2$ donc $MK^2>MH^2$ et $MK>MH$ ce qui signifie que la distance $MH$ est la distance la plus courte par rapport à n'importe quel point du plan $(\mathcal{P})$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $A$ un point de l'espace et $\mathcal{P}$ un plan. Soit $B$ un point du plan $\mathcal{P}$ et $\vec{n}$ un vecteur normal à $\mathcal{P}$. Soit $H$ le projeté orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$.
 Alors :
 $$AH=\frac{|\vec{AB}.\vec{n}|}{\|\vec{n}\|}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$\vec{AB}.\vec{n}=(\vec{AH}+\vec{HB}).\vec{n}=\vec{AH}.\vec{n}+\vec{HB}.\vec{n}$.\\
Or $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ et $H$ et $B$ sont des points de $\mathcal{P}$ donc $\vec{HB}.\vec{n}=0$.\\
D'où $\vec{AB}.\vec{n}=\vec{AH}.\vec{n}$ et $|\vec{AB}.\vec{n}|=|AH\times \|\vec{n}\| \cos (\vec{AH};\vec{n})|$.\\
Mais $\vec{AB}$ et $\vec{n}$ sont colinéaires donc $\cos (\vec{AH};\vec{n})$ est égal à 1 ou -1.\\
D'où $|\vec{AB}.\vec{n}|=AH\times \|\vec{n}\|$. D'où la formule.

\end{sanscadre}



\end{document}
