
\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{15cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{minipage}{15cm}\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}\end{minipage}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{\'Equations différentielles, cours, classe de terminale, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{\'Equations différentielles, cours, classe de terminale, spécialité Mathématiques}}
\end{center}


\section{Notion d'équation différentielle}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{équation différentielle} est une équation dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable ou deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et qui fait intervenir sa fonction dérivée et/ou sa fonction dérivée seconde.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
L'équation d'inconnue $y$, $y'(t)=4t$ pour tout $t\in\mathbb{R}$ est une équation différentielle. La fonction $y$ définie sur $\mathbb{R}$ par $y(t)=2t^2$ pour tout $t\in\mathbb{R}$ en est une solution.
\end{sanscadre}



\section{Primitives d'une fonction continue sur un intervalle}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Une fonction $F$ dérivable sur un intervalle $I$ et telle que ....................... est appelée \emphref{primitive} de $f$ sur $I$. C'est une solution à l'équation différentielle d'inconnue $y$, ...................... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $F:x\mapsto $................. est une primitive de $f:x\mapsto x$ car ...................
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Alors $f$ admet ................................ ......................................... : $G$ est une primitive de $f$ si et seulement si il existe un réel $k$ tel que pour tout réel $x$, ........................... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{preuve}
Si $F$ et $G$ sont deux primitives de $f$ sur $I$ alors $(F-G)'=F'-G'=$....................
donc $F-G$ est .............................. ......... .
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$F_1:x\mapsto $...................... et $F_2:x\mapsto $........................... sont deux primitives de $x\mapsto x$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Soit $a$ appartenant à $I$ et $b$ un réel. Alors il existe ............................. ................................. primitive $G$ telle que $G(a)=b$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{preuve}
On a vu qu'il existe une constante $k$ telle que pour tout $x\in I$, ............................... D'où $G(a)=b$ si et seulement si .......................... c'est à dire 
...................................
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Il existe une unique primitive $F$ de $x\mapsto x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=2$. En effet, on a vu que les primitives sont de la forme $x\mapsto $.......................... où $k$ est un réel. $F(1)=2$ impose donc ................................ d'où ............................
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{encadrer}
}

\textbf{Preuve : } admise

\section{Calcul de primitives}

\subsection{Opérations sur les primitives}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$. Soit $F_1$ une primitive de $f_1$ et $F_2$ une primitive de $f_2$. Soit $k$ un réel.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem .................. est une primitive de $kf_1$.
\nouvitem .................. est une primitive de $f_1+f_2$. 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
$(......................)'=........................=kf_1$\\
et $(.......................)'=...............................=f_1+f_2$ d'après les opérations sur les fonctions dérivées.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\subsection{Primitives de fonctions de référence}

\begin{sanscadre}{Exemples fondamentaux}
\begin{onehalfspace}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
$f$ définie sur $I$ par & une primitive $F$ de $f$ sur $I$  & intervalle $I$ \\
\hline
$0$ & ............ & $\mathbb{R}$\\
\hline
$1$ & ............ & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & .............. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & ............. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$, $n\in\mathbb{N^{*}}$ & .................... & $\mathbb{R}$\\
\hline
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & .................... & $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$& ...................... & $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\frac{1}{x^2}$ & ..................... & $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$\\
\hline
$\frac{1}{x^n}$, $n\in\mathbb{N}-\{0;1\}$ & ............................ & $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
\hline
$e^{x}$ &  ...................... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=5x^2+3e^x-6$.\\
Alors les primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ sont définies par ...............
\end{sanscadre}


\subsection{Primitives de fonctions composées}

\begin{sanscadre}{Exemples fondamentaux}
\begin{onehalfspace}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
$f$ définie sur $I$ par & une primitive $F$ de $f$ sur $I$ & intervalle $I$ \\
\hline
$u'u$ & ............................ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$u'u^n,\, n\in\mathbb{N}$ & .............................. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{u'}{u}$ & ....................... & $I$ tel que $u>0$ sur $I$\\
\hline
$\frac{u'}{u^2}$ & ....................... & $I$ tel que $u$ ne s'annule pas sur $I$ \\
\hline
$\frac{u'}{u^n},\, n\in\mathbb{N}-\{0;1\}$ & ............................ & $I$ tel que $u$ ne s'annule pas sur $I$ \\
\hline
$u'e^u$ & ....................... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & ....................... & $I$ tel que $u>0$ \\
\hline
$g'(ax+b)$ & ......................... & $I$ tel que $ax+b\in \mathcal{D}_{g'}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=(2x+1)(x^2+x)$.\\
On a $f(x)=$.................. avec $u(x)=$............ et $u'(x)=$............. .\\
Donc les primitives de $f$ sont définies par .............
\nouvitem Soit $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(6x+3)e^{x^2+x}$.\\
On a $g(x)=$....................... avec $u(x)=$.............., $u'(x)=$............. .\\
Donc les primitives de $g$ sont définies par ...............
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Résolution de y'=ay}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle solution de \emphref{l'équation différentielle} $y'=ay$ toute fonction $f$ dérivable qui vérifie l'égalité .............. .
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Théorème}
$a$ désigne un nombre réel non nul. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay$ sont les fonctions définies par ........................ où $k$ est un réel quelconque.

\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
La fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=$................. est dérivable sur $\mathbb{R}$.\\
On a pour tout réel $x$ $f_k'(x)=$.............................................. .\\
Donc $f_k$ est une solution particulière de l'équation.\\
Démontrons ensuite que les fonctions $f_k$ sont les seules solutions.\\
On considère pour cela une fonction $g$ solution de l'équation $y'=ay$ sur $\mathbb{R}$ et la fonction $h$ définie par $h(x)=g(x)e^{-ax}$.\\
$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$\\
et $h'(x)=$.....\\
.......
Comme $g$ vérifie $g'=ag$ on a donc $h'=$...... donc $h$ est .................... ...................... .\\
Il existe donc un réel $k$ tel que pour tout réel $x$, $h(x)=$............, c'est à dire $g(x)e^{-ax}=$...... donc $g(x)=$..............
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem L'équation $y'=3y$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par ..........................
\nouvitem L'équation différentielle $5y'-2y=0$ équivaut à $y'=.........$\\
Elle a donc pour solutions les fonctions définies par .....................
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{\'Equation différentielle $y'=ay+b$}

\cadre{
\begin{encadrer}{Théorème}
$a$ et $b$ sont des réels non nuls. Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'=ay+b$ sont les fonctions $f_k$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=$.................................................. où $k$ est un réel fixé.
\end{encadrer}
}

\textbf{Preuve :}\\
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Montrons que la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f_k(x)=$................................... avec $k$ réel, est une solution.

Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$ et\\
$f_k'(x)=$.....\\
donc $af_k(x)+b=$...\\
c'est à dire que $f_k$ est solution de l'équation différentielle $y'=ay+b$.
\nouvitem Montrons que toute solution s'écrit de cette forme.\\
Soit $f$ une solution sur $\mathbb{R}$ de $y'=ay+b$.\\
On note $g$ la fonction définie par $g(x)=f(x)+\frac{b}{a}$.\\
$g$ est dérivable et $g'(x)=$...........\\
Or $f'(x)=af(x)+b$ donc $g'(x)=$............\\
d'où $g$ est une solution de l'équation $y'=ay$ et il existe donc un réel $k$ tel que pour tout réel $g(x)=$...................... \\
d'où $f(x)=$................................................. ce qui montre que $f$ est de la forme voulue.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}

\begin{sanscadre}{Exemple}
L'équation $y'=3y-4$ a pour solutions les fonctions $f$ définies sur $\mathbb{R}$ par\\
...............
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tout couple de réels $(x_0;y_0)$, l'équation différentielle $y'=ay+b$ (avec $a\neq 0$) admet une unique solution $f$ telle que $f(x_0)=y_0$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
On a vu que les solutions de $y'=ay+b$ sont de la forme ......................................... où $k$ est un réel.\\
On a alors $f(x_0)=y_0$ si et seulement si ....................................... ce qui équivaut à \\ ........................................... ce qui fixe le réel $k$ de manière unique.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
On recherche la solution de l'équation $y'=3y-4$ qui vérifie $y(0)=1$.\\
On a vu précédemment que l'équation $y'=3y-4$ a pour solutions les fonctions définies par .................................... où $k$ est une constante réelle. $y$ vérifie $y(0)=1$ si et seulement si ............................ c'est à dire ..............................
L'unique solution est donc la fonction $f$ définie par ........................................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\section{Résolution d'équations différentielles $y'=ay+f$}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$. \'Etant donné une solution particulière $y_0$ de l'équation différentielle $y'=ay+f$, les solutions de cette équation sont les fonctions de la forme :
$$.......$$ 
avec $k\in\mathbb{R}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Même principe que la preuve précédente en utilisant la fonction $g$ définie par $g(x)=f(x)-y_0(x)$ au lieu de $g(x)=f(x)+\frac{b}{a}$ pour l'unicité.
\end{sanscadre}

\end{document}
