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\title{Dénombrement, cours, terminale, spécialité Mathématiques}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Dénombrement, cours, terminale, spécialité Mathématiques}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Dénombrement, cours, terminale, spécialité Mathématiques}}
\end{center}

\section{Ensembles}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem Un \emphref{ensemble} $E$ est ..................................... ............................. .................................... que l'on peut énumérer lorsqu'ils sont en nombre fini. On note alors $E=\{a;b;c;d;e\}$. 

\nouvitem Un \emphref{sous-ensemble}, ou une \emphref{partie}, d'un ensemble $E$ est un ensemble $F$ tel que ........... .............. ................. ........................ ................... . On dit alors que $F$ est ................................. dans $E$ et on note alors ................... .
\nouvitem \emphref{La réunion} $A\cup B$ de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ........................... $B$.
\nouvitem \emphref{L'intersection} $A\cap B$ de deux ensembles $A$ et $B$ est l'ensemble des éléments appartenant à $A$ ...................... $B$.
\nouvitem Deux ensembles $A$ et $B$ dont l'intersection $A\cap B$ est vide sont dits ......................... ou ............................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $E=\{1;2;3;4;5\}$ est un ensemble fini d'entiers ;
\nouvitem $\mathbb{R}$, $\mathbb{Z}$ ont une infinité d'éléments ;
\nouvitem $F=\{3;5\}$ .......................... $E$ ;
\nouvitem Avec $A=\{a;b;c;d\}$ et $B=\{a;c;e;f\}$, $A \cup B=$....................... et $A\cap B=$.................... .
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
L'ensemble $\mathcal{P}(E)$ est l'ensemble des parties de $E$, c'est à dire ........................ .......................... ................................. de $E$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $E=\{a;b;c\}$ alors $\mathcal{P}(E)=$............ .
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $\in\mathbb{N}^{*}$. On appelle $p$-uplet ou $p$-liste d'un ensemble $E$ une .................... ............................. d'éléments  de 
$E$. On note les $p$-uplet à l'aide de parenthèses.

En particulier, un 2-uplet s'appelle un ......................... et un 3-uplet s'appelle un ....................... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$(2;3)$, $(3;3)$ et $(3;2)$ sont des 2-uplets donc des couples d'éléments de l'ensemble $E=\mathbb{N}$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition : produit cartésien}
\begin{itemize}
\nouvitem Le produit cartésien $E\times F$ où $E$ et $F$ sont deux ensembles, est l'ensemble des ................ .......................... où $x\in E$ et $y\in F$.
\nouvitem Plus généralement, le produit cartésien $E_1\times E_2\times ...\times E_p$ où $E_1$, $E_2$, ..., $E_p$ sont $p$ ensembles avec $p$ entier non nul, est l'ensemble des .......................... .................................... avec $x_i\in E_i$ pour tout $i\in\{1;2;...;p\}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\section{dénombrement}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Le \emphref{cardinal} d'un ensemble $E$ est le ..................... ........................... de $E$. On le note ............. .
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété : principe additif}
Si $E_1$, $E_2$,...$E_n$ avec $n\in\mathbb{N}^{*}$ sont des ensembles finis deux à deux disjoints, alors card($E_1\cup E_2\cup E_3\cup ..\cup E_n$)=....................
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété : principe multiplicatif}
Le nombre d'éléments de l'ensemble $E_1\times E_2\times ...\times E_p$, où $E_i$ est un ensemble à $n_i$ éléments avec $n_i$ entier naturel pour tout $i\in\{1;2;...;p\}$, est .............................................. .
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Le nombre de $p$-uplets d'un ensemble à $n$ éléments est ............. .
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{permutation} d'un ensemble à $n$ éléments, tout .................... d'éléments distincts de cet ensemble.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Le nombre de permutations d'un ensemble à $n$ éléments est égale  à .................................................. . On note ..................... , lire \og{} ........................... $n$\fg{}, ce nombre. On a donc :
$$........................$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Le nombre d'anagrammes (ayant un sens ou non) du mot \og{maths}\fg{} est égal au nombre de 5-uplets de l'ensemble $E=\{m,a,t,h,s\}$ et est donc égal au nombre de permutations d'un ensemble de 5 éléments, c'est à dire .......................................... .
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Le nombre de $p$-uplets d'éléments distincts d'un ensemble à $n$ éléments est ........................ 

\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Dans une course comportant 10 participants le nombre de possibilités de classement des 3 premiers arrivés est le nombre de triplets distincts d'un ensemble à 10 éléments et est donc égal à ...........................
\end{sanscadre}

\section{Combinaisons}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{combinaison} de $p$ éléments parmi $n$ éléments, avec $p$ et $n$ entiers naturels, et on note $\begin{pmatrix}n \\ p\end{pmatrix}$, le nombre de ................. .......................... incluses dans un ensemble de $n$ éléments.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Le nombre de combinaisons de $p$ éléments parmi $n$ éléments est donné par
$$...........$$
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem $\begin{pmatrix}
n\\0
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\n\end{pmatrix}=$......
\nouvitem $\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\n-1\end{pmatrix}=$.........
\nouvitem $\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}.....\\....\end{pmatrix}$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve du dernier point}
Soit $E$ un ensemble à $n$ élément. \'A toute partie de $E$ on associe de manière unique sa partie complémentaire $\bar{A}$. $A$ contient $p$ éléments si et seulement si $\bar{A}$ contient $n-p$ éléments. Il y a donc autant de parties à $p$ éléments dans $E$ que de parties à $n-p$ éléments.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les entiers $n$ et $p$ tels que $1\leq p\leq n-1$, 
$$\begin{pmatrix}n-1\\p-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n-1\\p\end{pmatrix}=....$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $E$ un ensemble à $n$ éléments. Soit $a$ un élément de $E$. Les parties de $E$ à $p$ éléments se répartissent en deux catégories :
\begin{itemize}
\nouvitem les parties $F$ à $p$ éléments qui ne contiennent pas l'élément $a$ : il y en a donc autant que de parties à $p$ éléments dans un ensemble à $n-1$ éléments, c'est à dire $\begin{pmatrix} n-1\\p\end{pmatrix}$
\nouvitem les parties $G$ à $p$ éléments qui contiennent l'élément $a$ : il en a autant que de parties à $p-1$ éléments dans un ensemble à $n-1$ éléments, c'est à dire $\begin{pmatrix}
 n-1\\p-1\end{pmatrix}$.
\end{itemize}
Comme il y a au total $\begin{pmatrix}n\\p\end{pmatrix}$ parties à $p$ éléments dans $E$, on obtient le résultat.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Triangle de Pascal}
 Le triangle de Pascal, du nom de Blaise Pascal, mathématicien français du XVII\up{e} siècle qui le\og{}redécouvra\fg{} en Occident (car il était connu avant en Orient et au Moyen-Orient) est une disposition permettant de visualiser et de calculer les coefficients binomiaux et qui s'appuie sur la formule précédente.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
  $\binom{0}{0}=1$ & & & & &\\
\hline
$\binom{1}{0}=1$ & $\binom{1}{1}=1$ & & & &\\
\hline
$\binom{2}{0}=1$ & $\binom{2}{1}=2$ & .... & & &\\
\hline
$\binom{3}{0}=1$ & $\binom{3}{1}=3$ & .... & .... & & \\
\hline
1 & .... & .... & .... & 1 &\\
\hline
1 & .... & .... & .... & .... & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
Explication de la construction : le nombre de la ligne $n$ et de la colonne $k$ est le coefficient binomial $\binom{n-1}{k-1}$. Il est obtenu en ajoutant le nombre situé au dessus (ligne $n-1$ et colonne $k$) au nombre de la colonne et de la ligne précédente (ligne $n-1$ et colonne $k-1$).\\
Par exemple, $\binom{3}{1}=3$ est la somme de $\binom{2}{1}=2$ et de $\binom{2}{0}=1$.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  1 & & & & &\\
\hline
1 & 1 & & & &\\
\hline
1 & .... & 1 & & &\\
\hline
1 & .... & .... & 1 & & \\
\hline
1 & .... & .... & .... & 1 &\\
\hline
1 & .... & .... & .... & .... & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation du triangle de Pascal en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def trianglePascal(n):
	L=[1]
	L=L+[0 for k in range(n)]
	t=[L]
	for k in range(1,n+1):
		L=[1]
		for l in range(1,k+1):
			L.append(t[k-1][l]+t[k-1][l-1])
		L=L+[0 for l in range(k,n)]
		t=t+[L]
	return t
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}
 

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Le nombre de parties d'un ensemble à $n$ éléments est ............. .\\
En outre : 
$$\sum_{p=0}^{p=n}\begin{pmatrix} n\\p\end{pmatrix}=....$$
\end{encadrer}
}


\end{document}



