Compléments sur la dérivation, terminale, spécialité Mathématiques
1 - Fonction dérivée, tangente
Définition :
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$.
Dire que $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, signifie que le taux d'accroissement $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ tend vers $f'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
Lorsque $f$ est dérivable en tout réel $a$ de $I$, $f$ est dite dérivable sur $I$ et $f':x\mapsto f'(x)$ pour tout $x\in I$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur $I$.
Remarque :
On définit de même la dérivée seconde $f''$ comme dérivée de $f'$, puis la dérivée troisième $f^{(3)}$ et ainsi de suite.
Propriété :
Dire que $f$ est dérivable en $a$, signifie que la courbe représentative de $f$ dans un repère admet au point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ une tangente $\mathcal{T}$ de coefficient directeur $f'(a)$.
L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ est alors $$y=f(a)+f'(a)(x-a)$$
Preuve :
$f'(a)$ étant le coefficient directeur, l'équation réduite de la tangente est de la forme $y=f'(a)x+p$ où $p$ est un réel. Comme $A(a;f(a))$ appartient à la tangente, on a donc $f(a)=f'(a)a+p$ d'où on déduit que $p=f(a)-f'(a)a$. D'où le résultat.
2 - Dérivation de fonctions
2.1 - Fonctions dérivées usuelles (rappel)
| $f(x)$ | $f'(x)$ | $\mathcal{D}_{f'}$ |
|
$k$ | 0 | $\mathbb{R}$ |
|
$x$ | 1 | $\mathbb{R}$ |
|
$mx+p$ | $m$ | $\mathbb{R}$ |
|
$x^2$ | $2x$ | $\mathbb{R}$ |
|
$x^n$ | $nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
|
$\frac{1}{x}$ | $-\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^{*}$ |
|
$\sqrt{x}$ | $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0;+\infty [$ |
|
$\frac{1}{x^n}$ | $-n\frac{1}{x^{n+1}}$ | $\mathbb{R}^{*}$ |
|
$e^x$ | $e^x$ | $\mathbb{R}$ |
2.2 - Opérations sur la dérivation
Propriété :
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.
Alors $u+v$, $ku$, $uv$ sont dérivables sur $I$, $\frac{u}{v}$ est dérivable pour tout $a\in I$ tel que $v(a)\neq 0$ et :
$$(u+v)'=u'+v'$$
$$(k\, u)'=k\, u'$$
$$ (uv)'=u'v+v'u$$
$$ (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-v'u}{v^2}$$
$$(\frac{1}{v})'=-\frac{v'}{v^2}$$
3 - Dérivation de fonctions composées
Définition :
Soit $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans un ensemble $F$ et $v$ définie sur l'ensemble $F$. La fonction \emphref{composée} de $u$ suivie de $v$ est la fonction notée $v\circ u$ définie pour tout réel $x$ de $I$ par $(v\circ u)(x)=v(u(x))$.
$$x\stackrel{u}{\mapsto} u(x)=X\stackrel{v}{\mapsto} v(X)=v(u(x))$$
Exemple [Savoir calculer la composée de deux fonctions]
Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x+2$ et $g(x)=x^2$.
Alors $g\circ f(x)=g(f(x))=g(3x+2)=(3x+2)^2$.
et $f\circ g(x)=f(g(x))=f(x^2)=3x^2+2$.
Propriété :
Si $u$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et dérivable en $x\in I$ et si $v$ est une fonction dérivable en $u(x)$, alors la fonction $g$ définie par $g=v\circ u$ est dérivable en $x$ et :
$$g'(x)=v'(u(x))\times u'(x)$$
En particulier :
- Soient $a$ et $b$ deux réels et $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $ax+b\in I$. Alors la fonction $g:x\longmapsto v(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x$ réel de $J$,
$$g'(x)=av'(ax+b)$$
- Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et ne s'annulant pas sur $I$ dans le cas $n<0$. Alors $u^n$ est dérivable sur $I$ et :
$$(u^n)'=nu'u^{n-1}$$
- Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et :
$$(e^u)'=u'e^u$$
- On considère une fonction $u$ strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. La fonction $g:x\mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et :
$$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$$
Preuve de la dérivée de $u^n$ dans le cas $n\geq 1$ :
Par récurrence.
Initialisation : Pour $n=1$, $(u^1)'=u'$ et $nu'u^{n-1}=u'$ donc la propriété est vraie au rang 1.
Hérédité : Supposons la propriété vraie pour un rang $n\geq 1$, c'est à dire que pour un rang $n$, $(u^n)'=nu'u^{n-1}$. Alors $u^{n+1}=u\times u^n$ donc en utilisant la dérivation de produits $(u^{n+1})'=(u^n)'u+u'u^n$ . En outre, par hypothèse de récurrence, on a $(u^n)=nu'u^{n-1}$. D'où $(u^{n+1})'=nu'u^{n-1}u+u'u^n=nu'u^n+u'u^n=(n+1)u'u^n$. La propriété est donc vraie au rang $n+1$.
Conclusion : par l'axiome de récurrence, la propriété est donc vraie pour tout $n\geq 1$.
Exemple [Calculer la dérivée d'une fonction composée]
- Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(4x-5)^2$. $g$ est dérivable sur $\mathcal{R}$ et :
$g'(x)=2\times 4\times (4x-5)=8(4x-5)=3x-40$.
Soit $h$ la fonction définie sur $I=]\frac{-1}{3};+\infty[$ par $h(x)=5\sqrt{3x+1}$. $h$ est dérivable sur $I$ et :
$h'(x)=5\times\frac{3}{2\sqrt{3x+1}}=\frac{15}{2\sqrt{3x+1}}$.
Soit g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(5x^4+7)^3$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$g'(x)=3\times (5\times 4x^3+0)(5x^4+7)^2=60x^3(5x^4+7)^2$
4 - Convexité
Définition :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et dont la fonction dérivée $f'$ est aussi dérivable sur $I$. On appelle \emphref{dérivée seconde} de $f$ et on note $f''$ la fonction dérivée de f' sur $I$ c'est à dire la fonction définie par $f''=(f')'$.
Exemple [Calcul de la dérivée seconde d'une fonction]
Soit $f$ définie par $f(x)= 5x^3+3x^2-2x+9$.
$f$ est dérivable sur $]-\infty;+\infty[$ et $f'(x)=15x^2+6x-2$.
$f'$ est dérivable sur $]-\infty;+\infty[$ et $f''(x)=30x+6$.
Définition :
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et soit $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère.
- $f$ est dite convexe sur $I$ si sa courbe représentative est en-dessous de toutes ses sécantes sur I.
- $f$ est dite concave sur $I$ si sa courbe est au-dessus de toutes ses sécantes sur I
|
|
|
|
Sécantes et convexité | Sécantes et concavité |
Propriété :
- $f$ est convexe sur $I$
si et seulement si sa courbe représentative dans un repère et entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes
si et seulement si sa fonction dérivée $f'$ est croissante sur $I$.
- $f$ est concave sur $I$
si et seulement si sa courbe représentative dans un repère du plan est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes
si et seulement si sa fonction dérivée $f'$ est décroissante sur $I$.
|
|
|
|
Tangentes et convexité | Tangentes et concavité |
Preuves
Admises
Propriété :
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement $-f$ est concave sur $I$.
Propriété :
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur I.
- $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''$ est positive sur $I$ ;
- $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''$ est négative sur $I$.
Preuve :
Soit $x_0\in I$. On considère la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x_0$. Elle a pour équation $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$. Il s'agit de montrer que la courbe est au dessus de cette tangente pour tout réel $x\in I$.
On considère donc la fonction différence $d$ définie sur $I$ par $d(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
$d$ est deux fois dérivable sur $I$ et :
$d'(x)=f'(x)-f'(x_0)$
$d''(x)=f''(x)$
Comme $f''$ est positive, $f'$ est croissante sur $I$.
On a donc, compte tenu du fait que $d(x_0)=f(x_0)-f'(x_0)(x_0-x_0)-f(x0)=0$ :
D'où pour tout $x\in I$, $d(x)\geq 0$ ce qui signifie que la courbe représentative de $f$ est toujours au dessus de sa tangente en $x_0$.
On démontre de même le deuxième point.
Définition :
Un point d'inflexion est un point où la représentation graphique d'une fonction traverse sa tangente.
Exemple :
Le point de coordonnées $(0;0)$ est un point d'inflexion pour la représentation graphique de la fonction cube.
Propriété :
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$. Si $f''$ s'annule en changeant de signe pour $x=x_0$, alors la représentation graphique de $f$ admet un point d'inflexion de coordonnées $(x_0;f(x_0))$.
Preuve :
On considère à nouveau la fonction $d$ définie sur $I$ par $d(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.
$d$ est deux fois dérivable sur $I$ et :
$d'(x)=f'(x)-f'(x_0)$
$d''(x)=f''(x)$
$f''$ change de signe en $x_0$.
On peut supposer que $f$ est négative avant $x_0$ et positive après, la démonstration étant identique dans l'autre cas.
Ce qui montre la courbe est en dessous de sa tangente avant $x_0$ et au dessus après.
Exemple :
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2$.
On a $f'(x)=x^2-2x$ et $f''(x)=2x-2$.
$f''(x)=0$ si et seulement si $x=1$. La courbe représentative de $f$ dans un repère du plan admet donc un point d'inflexion au point d'abscisse 1.