
\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{15cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{minipage}{15cm}\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}\end{minipage}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés



\title{Matrices, cours, Terminale, maths expertes}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Matrices, cours, classe de terminale, maths expertes}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
\Large{\textbf{Matrices, cours, terminale, mathématiques expertes}}
\end{center}

\section{Définitions}

Dans ce qui suit, $m$ et $p$ sont des entiers naturels supérieurs ou égaux à 1.
 
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Une \emphref{matrice} $A$ de dimensions $m\times p$ est un tableau de nombres réels $m$ lignes et $p$ colonnes. Ces nombres sont appelés \emphref{coefficients} de la matrice $A$. Pour $1\leq i\leq m$ et $1\leq j\leq p$, on note $a_{ij}$ ou $a_{i,j}$ le coefficient situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$. On note aussi $A=(a_{ij})$ la matrice $A$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$A=\begin{pmatrix}
1 & 5 & -3 \\
3 & 4 & 7\\
\end{pmatrix}$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem Une matrice de dimensions $1\times p$ est appelée \emphref{vecteur-ligne} ou \emphref{matrice-ligne} ;
\nouvitem Une matrice de dimensions $m\times 1$ est appelée \emphref{vecteur-colonne} ou \emphref{matrice-colonne} ;
\nouvitem Si $m=p$, la matrice est dite \emphref{carrée} d'ordre $p$.
\nouvitem On appelle \emphref{matrice transposée} d'une matrice $A=(a_{ij})$ matrice notée $A^{t}$ définie par $A^{t}=(a_{ji})$. Les colonnes de la matrice $A$ sont donc les lignes de la matrice $A^{t}$.
\nouvitem Deux matrices $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ sont égales si pour tout $i$ tel que $1\leq i\leq m$ et tout $j$ tel que $1\leq j\leq p$, on a $a_{ij}=b_{ij}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemples}
$\begin{pmatrix}
1 & 5 & -3
\end{pmatrix}$ est un vecteur ligne.\\
$\begin{pmatrix}
1 \\
5\\
-7
\end{pmatrix}$ est un vecteur colonne.\\
$B=\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
-5 & 9 \\
\end{pmatrix}$ est une matrice carrée d'ordre 2.\\
$A^{t}=\begin{pmatrix}
1 & 3\\
5 & 4 \\
-3 & 7\\
\end{pmatrix}$ est la matrice transposée de la matrice $A$.
\end{sanscadre}

\section{Opérations sur les matrices}

\subsection{Somme}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition : somme de matrices}
Soit $A=(a_{ij})$ et $B=(b_{ij})$ deux matrices de même dimension. On appelle matrice \emphref{somme} et on note $A+B$, la matrice dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ est égale à $a_{ij}+b_{ij}$ pour tout $i\in\{1;2;...;m\}$ et tout $j\in\{1;2;...;p\}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\begin{pmatrix}
1 & 9 & 11 \\
3 & -2 & 7 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
5 & 2 & 8 \\
2 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
6 & 11 & 19 \\
5 & -1 & 26 \\
\end{pmatrix}$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $A$, $B$ et $C$ trois matrices de même dimensions. Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $A+B=B+A$ : on dit que la somme de matrices est \emphref{commutative} ;
\nouvitem $A+(B+C)=(A+B)+C$ : on dit que la somme de matrices est \emphref{associative}.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\subsection{Produit par un réel}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition : produit par un réel}
On appelle matrice produit de la matrice $A$ par un réel $k$, la matrice notée $kA$ dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ pour tout $i\in\{1;2;...;m\}$ et tout $j\in\{1;2;...;p\}$ est égale à $ka_{ij}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
La matrice $3A$ est égale à :
$3A=\begin{pmatrix}
3 & 15 & -9 \\
9 & 12 & 21\\
\end{pmatrix}$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels et  $A$ et $B$ deux matrices de même dimension. Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $\alpha (A+B)=\alpha A+\alpha B$ ;
\nouvitem $(\alpha +  \beta)A=\alpha A+\beta A$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\subsection{Différence}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définitions}
\begin{itemize}
\nouvitem La matrice \emphref{opposée} de la matrice $A$ est la matrice notée $-A$ dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ pour tout $i\in\{1;2;...;m\}$ et tout $j\in\{1;2;...;p\}$ est égale à $-a_{ij}$ ;
\nouvitem La matrice \emphref{différence} d'une matrice $A$ par une matrice $B$ est la matrice notée $A-B$ et définie par $A-B=A+(-B)$ ;
\nouvitem La matrice \emphref{nulle} est la matrice notée 0 dont tous les coefficients sont égaux à 0.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour toute matrice $A$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $A+(-A)=(-A)+A=0$ ;
\nouvitem $A+0=0+A=A$ ;
\nouvitem $0\times A=0$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\subsection{Produit de matrices}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $A=\begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} &... &a_{1,p}\end{pmatrix}$ un vecteur ligne et $B=\begin{pmatrix}b_{1,1} \\ b_{2,1} \\ ... \\ b_{p,1} \\ \end{pmatrix}$ un vecteur colonne comportant $p$ lignes. \\
Alors le produit $A\times B$ est égal au réel $$\sum_{k=0}^{k=p}a_{1,k}b_{k,1}=a_{1,1}b_{1,1}+a_{1,2}b_{2,1}+...+a_{1,p}b_{p,1}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\begin{pmatrix}4 & 6 & 2 & 1\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}3 \\ 5 \\ -2 \\ 3\end{pmatrix}=4\times 3+6\times 5+2\times (-2)+1\times 3=41$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition : produit de deux matrices}
Soit $A$ une matrice de dimensions $m\times p$ et $B$ une matrice de dimensions $p\times q$. LE produit de la matrice $A$ par la matrice $B$, noté $A\times B$ ou $AB$ est la matrice $C$ de dimensions $m\times q$ telle que pour tout $i\in\{1;2;...;m\}$ et tout $j\in\{1;2;...;q\}$, le coefficient $c_{ij}$ est égal au produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$, c'est à dire :
$$c_{ij}=\sum_{k=0}^{p}a_{ik}b_{kj}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$\begin{pmatrix}
3 & 4 & 5 \\
-2 & 6 & 4 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \\
\end{pmatrix}$\\
$
=
\begin{pmatrix}
3\times 1+4\times 3+5\times 5 & 3\times 2+4\times 4+5\times 6\\
-2\times 1+6\times 3+4\times 5 & -2\times 2+6\times 4+4\times 6\\
\end{pmatrix}$\\
$= 
\begin{pmatrix}
3+12+25 & 6+16+30 \\
-2+18+20 & -4+24+24 \\
\end{pmatrix}$\\
$
=\begin{pmatrix}
40 & 52 \\
36 & 44 \\
\end{pmatrix}$


\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $A$, $B$ et $C$ trois matrices telles que toutes les sommes et les produits suivants existent . Alors :
\begin{itemize}
\nouvitem $(AB)C=A(BC)$ : le produit de matrices est \emphref{associatif} ;
\nouvitem $A(B+C)=AB+AC$ et $(A+B)C=AC+BC$ : produit de matrices est \emphref{distributif} par rapport à l'addition.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Remarque}
En général $AB\neq BA$ : le produit de matrices \emphref{n'est pas commutatif}.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{matrice identité d'ordre $p$} la matrice définie par 
$I_p=\begin{pmatrix}
1 & 0 & ...& 0 & 0 \\
0 & 1 & ...& 0 & 0 \\
... & ... & ... & 0 & 0 \\
0 & 0 & ... & 1 & 0 \\
0 & 0 & ... & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}$
\end{encadrer}
}
\par 
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour toute matrice $A$ carrée d'ordre $p$, $AI_p=I_pA = A$.
\end{encadrer}
}

\subsection{Puissance}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $p$ et $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 1. La \emphref{puissance n-ième} de la matrice $A$ est la matrice carrée d'ordre $p$ définie par :
$$A^n=\underbrace{A\times A\times\cdots A}_{n \qquad \textrm{fois}}$$
En outre, par convention, on pose $A^0=I_p$.
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $B=\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
-5 & 9 \\
\end{pmatrix}$ \\
 alors 
$B^2=\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
-5 & 9 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 5 \\
-5 & 9 \\
\end{pmatrix}$\\
$=\begin{pmatrix}
1\times 1+5\times (-5) & 1\times 5+5\times 9\\
-5\times 1+9\times (-5) & -5\times 5+9\times 9\\
\end{pmatrix}$\\
$=\begin{pmatrix}
-24 & 50\\
-50 & 76\\
\end{pmatrix}$
\end{sanscadre}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $A$ et $B$ deux matrices carrées d'ordre $p$. Soit $m$ et $n$ deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 1. On a 
\begin{itemize}
\nouvitem $A^{m}A^{n}=A^{m+n}$ 
\nouvitem $(A^{m})^{n}=A^{m\times n}$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}
\par 
\begin{sanscadre}{Remarques}
Comme le produit matriciel n'est pas commutatif, en général $(A\times B)^n\neq A^n\times B^n$ et $(A+B)^2\neq A^2+2AB+B^2$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $D=(d_{i,j})$ une matrice carré diagonale, c'est à dire dont tous les coefficients $d_{i,j}$sont nuls sauf les termes $d_{i,i}$ pour $i\in\{1;2;\cdots;p\}$. Alors $D^n$ est la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont $d_{i,i}^n$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $D=\begin{pmatrix}
5 & 0 \\
0 & -3 \\
\end{pmatrix}$ alors $D^2=\begin{pmatrix}
25 & 0 \\
0 & 9 \\
\end{pmatrix}$
\end{sanscadre}

\section{Matrice inverse et systèmes linéaires}
\cadre{
\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Soient $A$ et $A'$ des matrices d'ordre $p$. On dit que $A'$ est la matrice \emphref{inverse de $A$} ou que $A$ est inversible d'inverse $A'$ si $AA'=A'A=I_p$. Si $A$ est inversible, alors sa matrice inverse est unique. On note alors $A^{-1}=A'$.
\end{encadrer}
}
\par 
\begin{sanscadre}{Preuve de l'unicité}
Soit $A''$ une autre matrice vérifiant $AA''=A''A=I_p$. De $AA'=I_p$ on déduit $A''AA'=A''$ et de $AA'=I$ on déduit $A''AA'=A'$ donc $A'=A''$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Théorème}
Soit $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d'ordre 2. Alors $A$ est inversible si et seulement si $ad-bc\neq 0$ et on on a alors $A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a\end{pmatrix}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.\\
Comme $1\times 4-2\times 3=-2\neq 0$,\\
 $A$ est inversible d'inverse $A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \end{pmatrix}$.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $A=\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ une matrice carrée d'ordre 2. On appelle \emphref{Déterminant} de la matrice $A$ le nombre $det(A)=ad-bc$. $A$ est donc inversible si et seulement si son déterminant est non nul d'après le théorème précédent et $A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix}$.
\end{encadrer}
}



\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété : écriture matricielle d'un système linéaire}
On considère un système linéaire de $p$ équations à $p$ inconnues $x_1$, $x_2$, ... ,$x_p$ :
$$\left\lbrace\begin{matrix} a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2+...+a_{1,p}x_p=b_1 \\
\vdots\\
a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2+...+a_{2,p}x_p=b_p\\
\end{matrix}\right.$$
On pose $A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & \cdots & a_{1,p} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{p,1} & \cdots & a_{p,p} \\
\end{pmatrix}$, $X=\begin{pmatrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_p\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_p\end{pmatrix}$.\\
ALors le système linéaire s'écrit $AX=B$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Le système $$\left\lbrace \begin{matrix} x+2y=5\\ 3x+4y=6\\\end{matrix}\right.$$
s'écrit $AX=B$ avec $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
5 \\ 6\end{pmatrix}$.\\
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On considère un système linéaire d'écriture matricielle $$AX=B$$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre $p$ \emphref{inversible}. Alors le système admet une solution unique donnée par $$X=A^{-1}B$$
Un tel système est appelé \emphref{système de Cramer}.
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Comme vu dans les exemples précédents, avec  $A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix}
5 \\ 6\end{pmatrix}$, on a $\det(A)\neq 0$, $A$ est inversible et d'inverse $A^{-1}=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2} \end{pmatrix}$ donc le système a pour solution\\

$X=A^{-1}B=\begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{3}{2} & \frac{-1}{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
5 \\ 6\end{pmatrix}$\\
$=\begin{pmatrix}-2\times 5 +1\times 6 \\  \frac{3}{2}\times 5 -\frac{1}{2}\times 6\end{pmatrix}$\\
$=\begin{pmatrix}
-4 \\ \frac{9}{2}\end{pmatrix}$

\end{sanscadre}

\section{Matrices et transformations du plan}

\subsection{Transformations du plan}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition, translation, symétries, rappels}
Les définitions suivantes sont valides dans le plan ou dans l'espace.
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $\vec{u}$ un vecteur.On appelle translation de vecteur $\vec{u}$ la transformation du plan ou de l'espace qui, à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $\vec{MM'}=\vec{u}$.
\nouvitem Soit $d$ une droite. On appelle symétrie axiale par rapport à une droite $d$ la transformation du plan ou de l'espace qui, à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que $d$ soit la médiatrice de $[MM']$.
\nouvitem Soit $O$ un point. On appelle symétrie de centre $O$ la transformation qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que $O$ est le milieu de $[MM']$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition, homothétie}
Soit $O$ un point de l'espace ou du plan et $k$ un réel. On appelle homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ la transformation qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que $\vec{OM'}=k\vec{OM}$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition, rotation}
Soit $O$ un point du plan et $\theta$ un réel. On appelle rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ dans le sens direct, la transformation qui, à tout point $M$, associe le point $M'$ tel que $(\vec{OM};\vec{OM'})=\theta$ et $OM=OM'$.
\end{encadrer}
}



\subsection{Lien avec les matrices}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un repère du plan, on considère la translation de vecteur $\vec{u}$ de coordonnées $\begin{pmatrix}
a \\ b\end{pmatrix}$. Pour tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$  du plan, l'image $M'$ a pour coordonnées $(x';y')$ tel que $$\begin{pmatrix} x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
a\\b\end{pmatrix}$$
\par
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{10cm}
Ci-contre, pour $M(x;y)$ et $\vec{u} \begin{pmatrix}
-6 \\ 3\end{pmatrix}$\\
on obtient $M'(x-6 ; y+3)$.\\
En particulier, pour $A(4 ; 1)$ on a $A'(-2 ; 4)$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=6cm]{matricesTranslation.png}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour les transformations géométriques du plan suivantes, on associe la matrice dite de transformation $T=\begin{pmatrix}
a & b \\ c & d\end{pmatrix}$ qui à tout point $M\, (x;y)$ associe le point image $M'(x';y')$ tel que 
$$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
a &&b\\ c && d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\y\end{pmatrix}$$
\begin{itemize}
\nouvitem Pour une symétrie axiale par rapport à l'axe des abscisses : $$T=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}$$
\nouvitem pour une symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées $$T=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0& 1\end{pmatrix}$$
\nouvitem Pour une homothétie de centre O et de rapport $k$ réel, $$T=\begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k\end{pmatrix}$$
\nouvitem Pour une rotation de centre O et d'angle $\theta$, $$T=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) &\cos(\theta)\end{pmatrix}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=7cm]{translationFigure.png}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=7cm]{symetrieCentraleFigure.png}
\end{minipage} \\
Translation & Symétrie centrale \\
\hline
 & \\
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=7cm]{symetrieAxialeAbscissesFigure.png}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=7cm]{symetrieAxialeOrdonneesFigure.png}
\end{minipage}
\\
Symétrie par rapport à $(Ox)$ & Symétrie par rapport à $(Oy)$ \\
\hline
 & \\
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=7cm]{homothetieFigure.png}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=7cm]{rotationFigure.png}
\end{minipage}
\\
Homothétie & Rotation
\end{tabular}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{10cm}
La matrice associée à une rotation de centre O et d'angle $\frac{\pi}{3}$ est \\
 $T=\begin{pmatrix}
\cos(\frac{\pi}{3}) & -\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix}$ \\
donc $T=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$\\
Pour tout point $M(x;y)$ d'image $M'(x';y')$ par cette rotation on a donc \\
$\begin{pmatrix}
x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$\\
$=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y \\ \frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}y\end{pmatrix}$\\
En particulier, pour $A(4;1)$ on obtient \\
$A'(2-\frac{\sqrt{3}}{2};2\sqrt{3}+\frac{1}{2})$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=6cm]{matricesRotation.png}
\end{minipage}
\end{tabular}

\end{sanscadre}
%
%\section{Suites de matrices}
%\cadre{
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Soit $(U_n)$ une suite de matrices colonnes de taille $p$ vérifiant pour tout entier naturel $n$, $$U_{n+1}=AU_n$$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre $p$. Alors, pour tout entier naturel $n$, $$U_n=A^nU_0$$
%\end{encadrer}
%}
%
%\cadre{
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Soit une suite de matrices colonnes $(U_n)$ de taille $p$ vérifiant pour tout entier naturel $n$, $U_{n+1}=AU_n+B$ où $A$ est une matrice carrée d'ordre $p$ non nulle et $B$ une matrice colonne de taille $p$. S'il existe une matrice $C$ telle que $C=AC+B$, alors le terme général de cette suite peut s'écrire $U_n=A^n(U_0-C)+C$.
%\end{encadrer}
%}
%
%\cadre{
%\begin{encadrer}{Définition}
%Une suite de matrices est dite convergente si toutes les suites formant les éléments de cette matrice sont convergents.
%\end{encadrer}
%}
%
%\section{Marches aléatoires}
%\cadre{
%\begin{encadrer}{Définition}
%\begin{itemize}
%\nouvitem Soit une expérience aléatoire ayant $N$ issues possibles. Une marche aléatoire sur $E=\{S_1;S_2;\cdots ;\S_N\}$ est une suite de variables aléatoires $(X_n)$ prenant chacune pour valeurs les différents états possibles, telle que l'état du processus à l'instant $n+1$ ne dépend que de celui à l'instant $n$ précédent.
%\nouvitem La \emphref{probabilité de passage} (ou de transition) de l'état $i$ à l'état $j$ en une étape (ou une transition) est la probabilité $p_{X_n=i}(X_{n+1}=j)$ notée $p_{i,j}$.
%\nouvitem La matrice $(p_{i,j})$ est appelée \emphref{matrice de passage} (ou de transition) de la marche aléatoire.
%\end{itemize}
%\end{encadrer}
%}
%
%\cadre{
%\begin{encadrer}{Propriété}
%Soit une matrice de transition formée des éléments $p_{i,j}$.
%\begin{itemize}
%\nouvitem Tous ses éléments sont compris entre $0\leq p_{i,j}\leq 1$.
%\nouvitem La somme des éléments de chaque ligne vaut 1 : $\sum_{k=0}^{N}p_{i,k}=p_{i,1}+p_{i,2}+\cdots+p_{i,N}=1$
%\end{itemize}
%\end{encadrer}
%}

\end{document}

