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\title{Nombres complexes, approche graphique et trigonométrique, cours, classe de terminale, mathématiques expertes}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Nombres complexes, approche graphique et trigonométrique, cours, classe de terminale, mathématiques expertes}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
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\begin{center}
\Large{\textbf{Nombres complexes, approche graphique et trigonométrique, cours, classe de terminale mathématiques expertes}}
\end{center}



\section{Représentation géométrique des nombres complexes}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $(O;\vec{u};\vec{v})$ un repère orthonormé du plan.
\begin{itemize}
 \nouvitem \'A tout nombre complexe $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels, on associe le point $M$ de coordonnées $(a;b)$. On dit que $M$ est \emphref{le point image de  $z$}  et que  $\vec{OM}$ est \emphref{le vecteur image de $z$}.
\nouvitem Tout point $M$ de coordonnées $(x;y)$ est le point image d'un unique complexe $z=x+iy$. On dit que $z$ est l'affixe du point M et du vecteur $\vec{OM}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{nombrescomplexesrepresentationgraphiqueimg.png}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Remarques}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des abscisses qui est pour cette raison aussi appelé \emphref{axe réel}.
\nouvitem Les nombres imaginaires purs sont les affixes des points de l'axe des ordonnées qui est pour cette raison aussi appelé \emphref{axe imaginaire pur}.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
On considère deux points $A$ et $B$ du plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$, alors 
\begin{itemize}
 \nouvitem le vecteur $\vec{AB}$ a pour affixe $$z_B-z_A$$
\nouvitem L'affixe du milieu $I$ de $[AB]$ est $$z_I=\frac{z_A+z_B}{2}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $A$ et $B$ ont pour coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ dans $(O;\vec{u};\vec{v})$ et par ailleurs, $z_A=x_A+iy_A$ et $z_B=x_B+iy_B$.
Le vecteur $\vec{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A;y_B-y_A)$ dans le repère $(O;\vec{u};\vec{v})$ et donc pour affixe $(x_B-x_A)+i(y_B-y_A)$ dans ce repère.\\
Or $z_B-z_A=x_B+iy_B-(x_A+iy_A)=x_B-x_A+i(y_B-y_A)$.
\nouvitem On sait que $x_I=\frac{x_A+x_B}{2}$ et $y_I=\frac{y_A+y_B}{2}$ et $z_I=x_I+iy_I$.\\
Or $\frac{z_A+z_B}{2}=\frac{x_A+iy_A+x_B+iy_B}{2}=\frac{x_B+x_A+i(y_A+y_B)}{2}$.
 \end{itemize}

\end{sanscadre}

\section{Module d'un nombre complexe}


\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $z=a+ib$ avec $a$ et $b$ réels un nombre complexe. On appelle \emphref{module de $z$} le nombre noté $|z|$ défini par $$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$
Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, si $M$ est l'image de $z$, alors $$OM=|z|$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $x$ est un nombre réel, alors le module de $x$ et la valeur absolue de $x$ sont égaux, d'où l'utilisation de la même notation.
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple}
Si $z=-3+\sqrt{3}i$ alors $|z|=\sqrt{(-3)^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{9+3}=2\sqrt{3}$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $|\bar{z}|=|z|$ et $|-z|=|z|$ ;
\nouvitem  $|zz'|=|z||z'|$;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$, $|z^n|=|z|^n$  ;
\nouvitem $|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|}$ ;
\nouvitem $z\overline{z}=a^2+b^2=|z|^2$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem \'Evident.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ des réels. \\
D'une part, on a $zz'=aa'-bb'+i(a'b+ab')$ donc $|zz'|^2=(aa'-bb')^2+(a'b+ab')^2$ d'où $|zz'|^2=a^2a'^2-2aa'bb'+b^2b'^2+a'^2b^2+2aa'bb'+a^2b'^2
=a^2a'^2+b^2b'^2+a^2b'^2+a'^2b^2$.\\
D'autre part, on a $|z|^2=a^2+b^2$ et $|z'|^2=a'^2+b'^2$ donc $(|z||z'|)^2=(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)=aa'^2+a^2b'^2+a'^2b^2+a^2b'^2$.\\
D'où l'égalité $|zz'|^2=(|z||z'|)^2$ et l'égalité voulue.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^{*}}$.\par 
Initialisation : pour $n=0$, $|z^0|=|1|=|z|^0$ donc la propriété est vraie pour $n=0$.
Hérédité : On suppose que pour un rang $n\in\mathbb{N},\, |z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z^nz|=|z^n||z|$ d'après la propriété précédente. Puisque par hypothèse de récurrence, $|z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z|^n|z|=|z|^{n+1}$. C'est la propriété au rang $n+1$.\\
Conclusion : Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraie, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $|z^n|=|z|^n$.
\nouvitem Soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ des réels. \\
D'une part $\frac{z}{z'}=\frac{a+ib}{a'+ib'}=\frac{(a+ib)(a'-ib')}{(a'+ib')(a'+ib')}=\frac{aa'+bb'+i(ba'-ab')}{a'^2+b'^2}$ d'où $|\frac{z}{z'}|^2=(\frac{aa'+bb'}{a'^2+b'^2})^2+(\frac{ba'-ab'}{a'^2+b'^2})^2=\frac{a^2a'^2+b^2b'^2+b^2a'^2+a^2b'^2}{(a'^2+b'^2)^2}=\frac{(a^2+b^2)(a'^2+b'^2)}{(a'^2+b'^2)^2}=\frac{a^2+b^2}{a'^2+b'^2}$.\\
D'autre part, $(\frac{|z|}{|z'|})2=\frac{(a^2+b^2)}{(a'^2+b'^2)}$.\\
D'où l'égalité.
\nouvitem $z\overline{z}=(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété, inégalité triangulaire}
Si $z$ et $z'$ appartiennent à $\mathbb{C}$, $|z+z'|\leq |z|+|z'|$.\\
Il y a égalité si et seulement si $z=0$ ou $z'=0$ ou $\frac{z}{z'}\in\mathbb{R}_{+}$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
D'une part, $|z+z'|^2=(z+z')\overline{(z+z')}=(z+z')(\overline{z}+\overline{z'})=z\bar{z}+z'\bar{z}+\bar{z'}z+z'\bar{z'}=|z|^2+|z'|^2+\bar{z}z'+\overline{\bar{z}z'}=|z|^2+|z'|^2+2\Re(\bar{z}z')$.\\
D'autre part, $(|z|+|z'|)^2=|z|^2+|z'|^2+2|zz'|=|z|^2+|z'|^2+2|\bar{z}z'|$\\
Or $\Re(\bar{z}z')\leq |\bar{z}z'|$ d'où $|z+z'|^2\leq (|z|+|z'|)^2$ et $|z+z'|\leq (|z|+|z'|)$.\\
On a l'égalité si et seulement si $\Re(\bar{z}z')=|\bar{z}z'|$ c'est à dire si et seulement si $\Im(\bar{z}z')=0$ et $\Re(\bar{z}z')>0$ c'est à dire $\bar{z}z'\in\mathbb{R}$ et $\Re(\bar{z}z')>0$ c'est à dire encore $\bar{z}z'\in\mathbb{R_{+}}$.\\
Or $\frac{z'}{z}=\frac{z'\bar{z}}{z\bar{z}}=\frac{z'\bar{z}}{|z|^2}$\\
Donc $\bar{z}z'\in \mathbb{R}_{+}$ si et seulement si $\frac{z'}{z}\in\mathbb{R}_{+}$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriétés}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, soient $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $AB=|z_B-z_A|$ ;
\nouvitem L'ensemble des points $M$ du plan d'affixe $z$ tels $|z-z_A|=|z-z_B|$ est la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $M$ tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$. $M$ a pour affixe $z_B-z_A$ et $OM=|z|=|z_B-z_A|$.
\nouvitem $|z-z_A|=|z-z_B|$ se traduit par $AM=BM$ c'est à dire que $M$ appartient à la médiatrice du segment $[AB]$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
On note $\mathbb{U}$ l'ensemble des nombres complexes de module 1.
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
L'ensemble $\mathbb{U}$ est stable par la multiplication et le passage à l'inverse, c'est à dire :
\begin{itemize}
\nouvitem Si $z\in\mathbb{U}$ et $z'\in\mathbb{U}$ alors $zz'\in\mathbb{U}$ ;
\nouvitem Si $z\in \mathbb{U}$ alors $z\neq 0$ et $\frac{1}{z}\in\mathbb{U}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $|zz'|=|z||z'|=1$ ;
\nouvitem $|\frac{1}{z}|=\frac{1}{|z|}=1$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Module, argument et forme trigonométrique d'un nombre complexe}


\begin{encadrer}{Définition}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$. Soit $z\in \mathbb{C}$ non nul d'image $M$ on appelle \emphref{argument de $z$} et on note $\arg(z)$ tout mesure en radians de l'angle orienté :
$$(\vec{u};\vec{OM})$$
Si $\theta$ est une mesure de cet angle orienté, on note $\arg(z)=\theta$ (mod $2\pi$) ou plus simplement $\arg(z)=\theta$.
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=10cm]{nombrescomplexesrepresentationmoduleargumentimg.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $z$ un nombre complexe non nul.
 \begin{itemize}
 \nouvitem L'écriture $$z=r(\cos(\theta)+i\sin (\theta))$$ avec $r=|z|$ et $\theta=\arg(z)$ est appelé \emphref{forme trigonométrique de $z$}. 
 \nouvitem Réciproquement, si $z=\rho (\cos(\alpha))+i\sin(\alpha))$ avec $\rho>0$ alors $|z|=\rho$ et $\arg(z)=\alpha$.
 \nouvitem Si $z=x+iy$ alors $$\cos \theta=\frac{x}{|z|}$$ et $$\sin \theta=\frac{y}{|z|}$$
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
Recherche du module et d'un argument de $z=1-i$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $|z|=|1-i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ ;
\nouvitem Soit $\theta$ un argument de $1-i$.\\
$\cos(\theta)=\frac{x}{|z|}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$\\
$\sin(\theta)=\frac{y}{|z|}=\frac{-1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$\\
D'où $\theta=-\frac{\pi}{4}$ d'après les angles associés à $\frac{\pi}{4}$ dans le cercle trigonométrique.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tout nombre complexe $z$ non nul :
\begin{itemize}
\nouvitem $\arg{\overline{z}}=-\arg{z}$ ;
\nouvitem $z$ est réel $\Leftrightarrow$ $\arg(z)=0\, (2\pi)$ ou $\arg{z}=\pi\, (2\pi)\Leftrightarrow \arg{z}=0\, (\pi)$ ;
\nouvitem $z$ est imaginaire $\Leftrightarrow$ $\arg{z}=\frac{\pi}{2}\, (2\pi)$ ou $\arg{z}=-\frac{\pi}{2}\, (2\pi)\Leftrightarrow \arg{z}=\frac{\pi}{2}\,(\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ :
\begin{itemize}
\nouvitem  $|zz'|=|z||z'|$;
\nouvitem pour tout entier naturel $n$, $|z^n|=[z|^n$  ;
\nouvitem Si $z'\neq 0$, $|\frac{z}{z'}|=\frac{|z|}{|z'|}$ ;
\end{itemize}
Pour tous les nombres complexes $z$ et $z'$ non nuls :
\begin{itemize}
\nouvitem $\arg(zz')=\arg(z)+\arg(z')\,(2\pi)$ ;
\nouvitem $\arg(z^n)=n\arg(z)\,(2\pi)$ pour tout entier naturel $n$ non nul ;
\nouvitem $\arg(\frac{z}{z'})=\arg(z)-\arg(z')\,(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $z=r(\cos \theta+i\sin \theta)$ et $z'=r'(\cos \alpha+i\sin \alpha)$.\par 
Alors $zz'=rr'(\cos \theta\cos \alpha+i\sin\theta\cos \alpha+i\sin\alpha\cos\theta-\sin\theta\sin\alpha)$\\
c'est à dire $zz'=rr'(\cos(\theta+\alpha)+i\sin(\theta+\alpha))$ donc $|zz'|=rr'$ et $\arg(zz')=\theta+\alpha$.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^{*}}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, $|z^1|=|z|=|z|^1$ donc la propriété est vraie pour $n=1$.
Hérédité : si pour un rang $n\in\mathbb{N}^*,\, |z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z^nz|=|z^n||z|$ d'après la propriété précédente. Puisque par hypothèse de récurrence, $|z^n|=|z|^n$, alors $|z^{n+1}|=|z|^n|z|=|z|^{n+1}$. C'est la propriété au rang $n+1$
Conclusion : Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraie, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*}$, $|z^n|=|z|^n$.
\nouvitem Par récurrence sur $n\in\mathbb{N^*}$.\par 
Initialisation : pour $n=1$, $\arg(z^1)=\arg(z)=\arg(z)^1$ donc la propriété est vraie au rang $n=1$.
Hérédité : On suppose que pour un rang $n\in\mathbb{N}^{*},\, \arg(z^n)=n\arg(z)$, alors $\arg(z^{n+1})=\arg(z^nz)=\arg(z^n)+\arg(z)$ d'après la première propriété. Puisque par hypothèse de récurrence, $\arg(z^n)=n\arg(z)$ donc $\arg(z^{n+1})=n\arg(z)+\arg(z)=(n+1)\arg(z)$ : c'est la propriété au rang $n+1$.\par 
Conclusion, puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, par récurrence, pour tout $n\in\mathbb{N}^{*},\,\arg(z^n)=n\arg(z)$.
\nouvitem En remarquant que $\frac{z}{z'}=z\times\frac{1}{z'}$ et en utilisant la première propriété, on en déduit qu'il suffit de montrer que $\arg(\frac{1}{z'})=-\arg{z'}$.\\
Or $\frac{1}{z'}=\frac{1}{r'(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))}=\frac{\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)}{r'(\cos(\alpha)+i\sin(\alpha))(\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)))}$\\
D'où $\frac{1}{z'}=\frac{\cos(\alpha)-i\sin(\alpha)}{r'(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))}=\frac{1}{r'}(\cos(\alpha)-i\sin(\alpha))=\frac{1}{r'}(\cos(-\alpha)+i\sin(-\alpha))$\\
D'où $\frac{1}{z'}$ a pour module $\frac{1}{r'}$ et pour argument $-\alpha$ c'est à dire $-\arg{z'}$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriétés}
 Dans le plan complexe muni d'un repère $(O;\vec{u};\vec{v})$, soient $A$ et $B$ sont deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$.
Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem $AB=|z_B-z_A|$ ;
\nouvitem $(\vec{u};\vec{AB})=\arg(z_B-z_A)(2\pi)$.
\nouvitem Si $C$ et $D$ sont deux autres points d'affixes respectives $z_C$ et $z_D$, $\arg{\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}=(\vec{AB};\vec{CD})(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $M$ le point tel que $\vec{OM}=\vec{AB}$. On a donc $z_M-z_O=z_B-zA$ donc $z_M=z_B-z_A$ et $AB=OM=|z_M|=|z_B-z_A|$.
\nouvitem En outre $(\vec{u};\vec{AB})=(\vec{u};\vec{OM})=\arg{(z_M)}\,(2\pi)=\arg{(z_B-z_A)}\,(2\pi)$.
\nouvitem $\arg{(\frac{z_D-z_C}{z_B-z_A})}=\arg{(z_D-z_C)}-\arg{(z_B-z_A)}$\\
$=(\vec{u};\vec{CD})-(\vec{u};\vec{AB})=(\vec{u};\vec{CD})+(\vec{AB};\vec{u})=(\vec{AB};\vec{u})+(\vec{u};\vec{CD})$\\
$=(\vec{AB};\vec{CD})\,(2\pi)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\section{Notation exponentielle}

\begin{sanscadre}{Définition et propriété}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ et à valeurs dans $\mathbb{C}$ par $f(\theta)=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$.\\
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$, on a $f(\theta+\theta')=f(\theta)f(\theta')$.
\nouvitem On dit que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et que $f'$ est définie par : $f'(\theta)=\cos'(\theta)+i\sin'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos(\theta)$
\nouvitem On a $f'(\theta)=if(\theta)$, $f(0)=1$ et $f'(0)=i$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Seul le premier point n'est pas immédiat. D'une part,
\begin{align*}
 f(\theta+\theta')&=\cos(\theta+\theta')+i\sin(\theta+\theta')\\
 &=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')+i(\cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta'))\\
\end{align*}
Par ailleurs,
\begin{align*}
 f(\theta)f(\theta')&=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))(\cos(\theta')+i\sin(\theta'))\\
 &=\cos(\theta)\cos(\theta')-\sin(\theta)\sin(\theta')+i(\cos(\theta)\sin(\theta')+\sin(\theta)\cos(\theta'))\\
\end{align*}
D'où l'égalité.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
 D'après ce qui précède, par analogie avec la fonction exponentielle, on pose pour tout réel $\theta$ :
$$e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$$
Soit $z$ un nombre complexe non nul. L'écriture $$z=re^{i\theta}$$ où $r=|z|$ et $\theta$ est un argument de $z$ est appelée \emphref{forme exponentielle} de $z$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
 Pour tous les réels $\theta$ et $\theta'$ et tout entier naturel $n$ non nul :
\begin{itemize}
 \nouvitem $|e^{i\theta}|=1$ et $\arg(e^{i\theta})=\theta$ ;
\nouvitem $e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$ ;
\nouvitem $\dfrac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$ ;
\nouvitem $\bar{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$ ;
\nouvitem ${(e^{i\theta})}^n=e^{in\theta}$ c'est à dire 
$$\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)=(\cos(\theta)+i\sin(\theta))^n$$ formule appelée formule de \emphref{Moivre}.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $|e^{i\theta}|=|\cos(\theta)+i\sin(\theta)|$ par définition. Par ailleurs, $|\cos(\theta)+i\sin(\theta)|^2=(\cos(\theta))^2+(\sin(\theta))^2=1$.
\nouvitem $e^{i\theta}e^{i\theta'}=f(\theta)f(\theta')=f(\theta+\theta')=e^{i(\theta+\theta')}$
\nouvitem $e^{i\theta}e^{-i\theta}=e^{i\theta-i\theta}=e^{0}=1$ donc $e^{-i\theta}=\frac{1}{e^{i\theta}}$ et $\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i\theta}\frac{1}{e^{i\theta'}}=e^{i\theta}e^{-i\theta'}$
\nouvitem $\overline{e^{i\theta}}=\overline{\cos(\theta)+i\sin(\theta)}=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ et $e^{-i\theta}=\cos(-\theta)+i\sin(-\theta)=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$ d'où l'égalité.
\nouvitem On le montre par récurrence en utilisant le deuxième point.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\section{Applications à la trigonométrie}

\begin{encadrer}{Propriété, formule du binôme de Newton}
Soit $a$ et $b$ deux nombres complexes. Pour tout entier naturel $n$, on a :
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{k=n}\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}a^kb^{n-k}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Par récurrence.\\
\textbf{Initialisation : } Pour $n=0$, on a $(a+b)^0=1$ et $\sum_{k=0}^{k=0}\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} a^kb^{0-k} = a^0b^0 = 1$ d'où l'égalité.
\textbf{Hérédité : } On suppose que pour un rang $p\in \mathbb{N}$ $(a+b)^p=\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^{k}b^{p-k}$.\\
Alors $(a+b)^{p+1}=(a+b)(a+b)^{p}=(a+b)\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p-k}$\\
$(a+b)^{p+1}=a\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p-k}+b\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p-k}$\\
$=\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^{k+1}b^{p-k}+\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p+1-k}$\\
$=\sum_{j=1}^{k=p+1}\begin{pmatrix}p\\j-1\end{pmatrix}a^{j}b^{p-(j-1)}+\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p+1-k}$ en posant $j=k+1$\\
$=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}a^0b^{p+1}+\sum_{k=1}^{k=p}(\begin{pmatrix}k-1\\p\end{pmatrix}a^kb^{p+1-k}+\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p+1-k})+\begin{pmatrix}p\\p\end{pmatrix}a^{p+1}b^0$\\
$=b^{p+1}+\sum_{k=1}^{k=p}(\begin{pmatrix}p\\k-1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix})a^kb^{p+1-k}+a^{p+1}$\\
$=b^{p+1}+\sum_{k=1}^{k=p}\begin{pmatrix}p+1\\k\end{pmatrix}a^kb^{p+1-k}+a^{p+1}=\sum_{k=0}^{k=p+1}\begin{pmatrix}p+1\\k\end{pmatrix}a^kb^{p+1-k}$ d'où l'hérédité.\\
\textbf{Conclusion : } Par récurrence, pour tout entier naturel $n$,
$\sum_{k=0}^{k=p}\begin{pmatrix}p\\k\end{pmatrix}a^kb^{p-k}$
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété, formules d'Euler}
Pour tous les réels $\theta$, $\cos(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}$ et $\sin(\theta)=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On a $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ et $e^{-i\theta}=\cos(-\theta)+i\sin(\theta)=\cos(\theta)-i\sin(\theta)$\\
D'où par addition terme à terme :\\
$e^{i\theta}+e^{-i\theta}=2\cos(\theta)$
et par soustraction terme à terme :
$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2\sin(\theta)$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple d'utilisation pour linéariser}
$\cos^4(x)=(\frac{1}{2}(e^{ix}+e^{-ix}))^4$ d'après les formules d'Euler.\\
D'où $\cos^4(x)=\frac{1}{16}(e^{ix}+e^{-ix})^4=\frac{1}{16}(e^{4ix}+4e^{3ix}e^{-ix}+6e^{2ix}e^{-2ix}+4e^{ix}e^{-3ix}+e^{-4ix})$\\
d'après la formule du binôme de Newton.\\
D'où $\cos^4(x)=\frac{1}{16}(e^{4ix}+4e^{2ix}+6+4e^{-ix}+e^{-4ix})=\frac{1}{16}(e^{4ix}+e^{-4ix})+\frac{4}{16}(e^{2ix}+e^{-2ix})+\frac{6}{16}$\\
$=\frac{1}{8}\cos(4x)+\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{3}{8}$\\
d'après les formules d'Euler à nouveau.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
Soit $n\in\mathbb{N}$. On appelle $\mathbb{U}_n$ l'ensemble des complexes $z$ tels que $z^n=1$.\\
On a $\mathbb{U}_n=\{e^{\frac{2ki\pi}{n}},\qquad k\in\{0;2;...;n-1\}\}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$z\in\mathbb{U}_n$ si et seulement si $z^n=1$ c'est à dire $e^{i n\theta}=1$ où $\theta\in \mathbb{R}$\\
ce qui équivaut encore à $n\theta=0+2k\pi,\qquad k\in \mathbb{Z}$\\
c'est à dire encore $\theta=\frac{2k\pi}{n},\qquad k\in \mathbb{Z}$.\\
Or, pour tout $k\in\mathbb{Z}$, il existe des entiers relatifs $q$ et $r$ avec $r\in\{0;1;2;...;n-1\}$ tels que $k=qn+r$ par division euclidienne de $k$ par $n$.\\
D'où $e^{i\frac{2k\pi}{n}}=e^{i\frac{2qn\pi}{n}}e^{i\frac{2r\pi}{n}}=e^{i2q\pi}e^{i\frac{2r\pi}{n}}=e^{i\frac{2r\pi}{n}}$ avec $r\in\{0;1;2;....;n-1\}$.
\end{sanscadre}
 


\begin{encadrer}{Propriété (formules d'addition)}
Quels que soient les réels $a$ et $b$,
$$ \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b) -\sin (a) \sin (b)$$
$$\cos (a-b)=\cos (a) \cos (b) +\sin (a) \sin (b)$$
$$\sin (a+b)=\cos (a) \sin (b) +\sin (a) \cos (b)$$
$$\sin (a-b)=\cos (a) \sin (b) -\sin (a) \cos (b)$$

\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $\mathcal{C}$ un cercle trigonométrique de centre O et muni d'un repère orthonormal $(O;\vec{i};\vec{j})$ direct.
 $A$ et $B$ sont les points du cercle tels que $(\vec{i};\vec{OA})=a$ et $(\vec{i};\vec{OB})=b$ en radians. $\vec{OA}$ a donc pour coordonnées $(\cos a; \sin a)$ et $\vec{OB}$ a pour coordonnées $(\cos b; \sin b)$. D'après la relation de Chasles pour les angles orientés on a : $(\vec{OA};\vec{OB})=(\vec{OA};\vec{i})+(\vec{i};\vec{OB})$ donc $(\vec{OA};\vec{OB})=b-a$.
 
Or $\vec{OA}.\vec{OB}=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ d'une part et $\vec{OA}.\vec{OB}=OA\times OB\times \cos (\vec{OA};\vec{OB})=OA\times OB\times \cos (b-a)$ d'autre part. D'où la formule $\cos (b-a)=\cos a\cos b +\sin a\sin b$.

La formule  $$ \cos (a+b)=\cos (a) \cos (b) -\sin (a) \sin (b)$$ s'obtient en prenant $-a$ au lieu de $a$.

On a en outre 
\begin{align*}
\sin (a+b)=\cos (\frac{\pi}{2}-(a+b))&=\cos (\frac{\pi}{2}-a) \cos (-b) + \sin (\frac{\pi}{2}-a) \sin (-b) \\
&= \sin a\cos b +\cos a\sin b\\
\end{align*}
et la dernière formule s'en déduit.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (formules de duplication)}
Pour tous les réels $a$ on a :
$$\cos (2a)=\cos^2 (a) - \sin^2 (a)$$
et 
$$\sin (2a)=2\sin (a)\cos (b)$$
mais aussi
$$\cos (2a)=2\cos^2 (a)-1$$
et
$$\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
La première égalité vient de la première formule d'addition en prenant $b=a$ et la deuxième égalité vient de la troisième formule d'addition en prenant aussi $a=b$.

Les deux dernières égalités s'obtiennent à partir de la première en utilisant la formule $\cos^2 (a)+\sin^2 (a)=1$.
\end{sanscadre}


\section{Application des nombres complexes à la géométrie}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ la transformation du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$.
\begin{itemize}
 \nouvitem Si $z'=z+b$ où $b\in\mathbb{C}$, alors $f$ est la translation de vecteur ayant pour affixe $b$.
\nouvitem Si $z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega)$ où $\omega\in\mathbb{C}$ et $\theta\in\mathbb{R}$, alors $f$ est la rotation de centre $\Omega$ d'affixe $\omega$ et d'angle $\theta$.
\nouvitem Si $z'-\omega=k(z-\omega)$ où $k\in \mathbb{C}$ et $k\in \mathbb{R}*$, alors $f$ est l'homothétie de centre $\Omega$, d'affixe $\omega$ et de rapport $k$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $z'=z+b$ s'écrit $z'-z=b$ c'est à dire $z_{\vec{MM'}}=b$ ce qui s'interprète géométriquement par  $M'$ est l'image de $M$ par la translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$.
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\end{document}

