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\title{Comportement des suites numériques, cours}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Suites numériques, variations}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\begin{center}
\LARGE{\textbf{Sens de variations de suites}}
\end{center}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une suite $(u_n)$ est \emphref{croissante} à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$ si pour tout entier $n\geq p$, $u_{n+1}-u_n>0$.
\nouvitem Une suite $(u_n)$ est \emphref{décroissante} à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$ si pour tout entier $n\geq p$, $u_{n+1}-u_n<0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=n^2-n$. \'Etude du sens de variation de $(u_n)$ :\\
Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n=(n+1)^2-(n+1)-(n^2-n)=n^2+2n+1^2-n-1-n^2+n=2n$\\
Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $2n\geq 0$ donc $(u_n)$ est une suite croissante.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un certain rang $p\in\mathbb{N}$. Si pour tout entier naturel $n\geq p$, $u_n$ est strictement positif, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si pour tout entier naturel $n\geq p$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq 1$, alors la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$ ;
\nouvitem si pour tout entier naturel $n\geq p$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq 1$, alors la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\frac{3^{n+2}}{7^{n}}$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.\\
On a $u_n>0$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ et \\
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\frac{3^{n+3}}{7^{n+1}}}{\frac{3^{n+2}}{7^{n}}}=\frac{3^{n+3}}{7^{n+1}}\times \frac{7^n}{3^{n+2}}=\frac{3}{7}<1$ donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite définie à partir d'un rang $p\in \mathbb{N}$. Si $f$ est une fonction définie sur $[p; +\infty[$ telle que pour tout entier naturel $n$, $u_n=f(n)$,
alors 
\begin{itemize}
\nouvitem si $f$ est décroissante sur $[p;+\infty[$, la suite $(u_n)$ est décroissante à partir du rang $p$;
\nouvitem si $f$ est croissante sur $[p;+\infty[$, la suite $(u_n)$ est croissante à partir du rang $p$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
 Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_n=\frac{1}{n}$ pour tout entier naturel non nul $n$. Alors $u_n=f(n)$ avec $f(x)=\frac{1}{x}$. On sait que $f$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ donc $(u_n)$ est aussi strictement décroissante.
\end{sanscadre}




\end{document}
