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\title{Limites de suites, cours, terminale, mathématiques complémentaires}


\author{F.Gaudon}

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\begin{document}

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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage



\section{Convergence de suites}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $(u_n)$ une suite.

On dit que $(u_n)$ \emphref{converge vers un réel} $l$ ou \emphref{a pour limite $l$} lorsque tout intervalle ouvert $A$ contenant $l$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang. On dit alors que la suite est convergente et que $l$ est sa limite. On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=l$ ou $lim_{n} u_n=l$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors celle-ci est unique.
\end{encadrer}



\section{Convergence de suites de référence}

\begin{encadrer}{Propriété (limites finies de suites de référence)}
Les suites $(\frac{1}{n})$, $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ et $(\frac{1}{n^p})$ où $p$ est un entier naturel non nul sont convergentes et on a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^p}=0$
\end{itemize}
\end{encadrer}



\section{Divergence de suites}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem On dit qu'une suite est \emphref{divergente} si elle ne converge pas.\par
\nouvitem On dit que la suite $(u_n)$ \emphref{diverge vers} $+\infty$ ou \emphref{a pour limite} $+\infty$ (resp. $-\infty$) lorsque tout intervalle de la forme $[a;+\infty[ $ où $a$ est un réel (resp. $]-\infty ;a]$), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$
(resp. $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$)
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Une suite peut être divergente et ne pas admettre de limite, par exemple $(sin(n))$.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{suiteSansLimite.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété (limites infinies de suites de référence)}
On a :
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ ;
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n}=+\infty$ ;
\nouvitem $\lim_{n\rightarrow +\infty}n^p=+\infty$ avec $p$ entier naturel non nul ;
\nouvitem Pour tous les réels $m$ et $p$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}mx+p=signe(m)\infty$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\section{Opérations sur les limites de suites}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite.
\begin{itemize}
\nouvitem si $k$ est un réel et si $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors la suite $(ku_n)$ est convergente vers $kl$ ;
\nouvitem si $k$ est un réel et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) alors $ku_n$ diverge vers $signe(k)\infty$ (resp $-signe(k)\infty$) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Propriété}
\pdfrowcolors{}

\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  $\lim u_n$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $l$ & $l$ \\
\hline
 $\lim v_n$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim u_n+v_n$ & $l+l'$& $+\infty$ & indéterminée & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim u_n\times v_n$ & $ll'$& $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & signe($l$)$\infty$, $l\neq 0$ & -signe($l$)$\infty$, $l\neq 0$\\
\hline
$\lim \frac{u_n}{v_n}$ & si $l'\neq0$, $\frac{l}{l'}$ & indéterminée & indéterminée & indéterminée & 0 & 0 \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir utiliser les opérations sur les limites]}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $u_n$ définie par $u_n=3n^4+2n-5$ pour tout $n\geq 0$.\\
Comme $lim_{n\rightarrow+\infty}3n^4=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}2n-5=+\infty$,\\
par somme, la suite $(u_n)$ tend donc vers $+\infty$.
\nouvitem Soit $w_n$ définie par $w_n=-n^2(3n-1)$ pour tout entier naturel $n$.\\
Comme $\lim{n\rightarrow -infty} -n^2=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow -\infty} 3n-1=-\infty$,\\
par produit, la suite $(w_n)$ tend donc vers $-\infty$ .
\nouvitem Soit $v_n$ définie par $v_n=5n^2-6n$ pour tout $n\geq 0$. On a alors $v_n=n(5n-6)$. Or $\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}5n-6=+\infty$ donc $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Limite de suites géométriques}

\begin{encadrer}{Propriété (limite des suites géométriques)}
 Soit $q$ un réel. Alors :
\begin{itemize}
 \nouvitem Si $q>1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite $+\infty$ ;
\nouvitem si $0<q<1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite $0$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $0<q<1$ et de premier terme $u_p$. Alors la suite $(S_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $S_n=\sum_{k=p}^{k=n}u_k=u_p+u_1+...+u_n$ est convergente de limite $u_p\dfrac{1}{1-q}$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On sait que la somme des termes d'une telle suite géométrique est donnée par : $S_n=u_p\dfrac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$.\\
Comme $\lim_{n}q^{n-p+1}=0$ on a donc $\lim_{n}S_n=u_p\dfrac{1}{1-q}$.
\end{sanscadre}

\section{Inégalités et limites de suites}

\begin{encadrer}{Propriété, théorème de comparaison des limites }
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $+\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\geq u_n$. Alors $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.
\nouvitem Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $-\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\leq u_n$. Alors $(v_n)$ diverge vers $-\infty$.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Théorème dit \og{}théorème des gendarmes\fg{}}
Soient $u$, $v$ et $w$ des suites avec $v$ et $w$ convergentes vers une même limite $l$. Si, à partir d'un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$, alors la suite $u$ est convergente vers $l$.
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Remarque}
Les deux théorèmes précédents sont souvent utilisés à partir des encadrements suivants valables pour tout entier naturel $n$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $....\leq (-1)^n\leq .....$ ;
\nouvitem $....\leq \cos(n)\leq ....$ ;
\nouvitem $....\leq \sin(n)\leq ....$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $(u_n)$ une suite croissante et convergente vers un réel $l$. Alors tous les termes de la suite $(u_n)$ sont inférieurs ou égaux à $l$.
\end{encadrer}


\section{Suites arithmético-géométriques}

\begin{encadrer}{Définition}
On dit qu'une suite $(u_n)$ est \emphref{arithmético-géométrique} s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout entier naturel $n\in\mathbb{N}$, $u_{n+1}au_n+b$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a\neq 1$. Soit $(u_n)$ la suite arithmético-géométrique définie par $u_{n+1}=au_n+b$ pour tout entier naturel $n$. Si $l$ est la solution de l'équation $ax+b=x$, alors la suite $(v_n)$ définie par $v_{n}=u_n-l$ est géométrique de raison $a$. 
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par  $u_{n+1}=0,5u_n+2$.\\
L'équation $l=0,5l+2$ équivaut à $l-0,5l=2$ donc à $0,5l=2$ donc à $l=4$.\\
On pose $v_n=u_n-4$ pour tout entier naturel $n$.\\
On a pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1}=u_{n+1}-4$\\
donc $v_{n+1}=0,5u_n+2-4=0,5u_n-2=0,5(u_n - \frac{2}{0,5})=0,5(u_n-4)=0,5v_n$\\
donc $(v_n)$ est géométrique de raison 0,5.
\end{sanscadre}

\section{Algorithmique et programmation}



\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Soit $(u_n)$ suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq p$ et convergente vers une limite $l$. L'algorithme suivant donne le rang $n$ du premier terme de la suite situé à une distance inférieure à un réel positif $e$ de la limite $l$ :

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $u_p$, $l$, $e$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
$n \leftarrow p$;\\
\Tq{$|u-l|\geq e$}{
$u \leftarrow f(u)$ ;\\
$n \leftarrow n+1$}
\Retour{$n$}}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=0,5u_n+1$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=0,75$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici). On admettra que la suite $(u_n)$ converge vers 2 ; on a donc $l=2$ ici. $e$ désigne la différence entre les termes et la limite qui doit être obtenue.
\end{sanscadre}

\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def seuil():
	u=0.75
	n=1
	while(abs(u-0)>e):
		u=0,5*u+1
		n=n+1
	return n
\end{lstlisting}

\begin{sanscadre}{Algorithme de calcul d'un terme de rang donné}
Algorithme de calcul des termes successifs jusqu'au rang $N$ d'une suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ et définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$, $N$, $u_p$, $f$\\}
\Traitement{
$u \leftarrow u_p$;\\
$L \leftarrow [u]$;\\
\Pour{$k$\textbf{ allant de } $p+1$ \textbf{ à } $N$}{
$u \leftarrow f(u)$ ;\\
Ajouter $u$ à $L$;}
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=3u_n+2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=2$ $n$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici), $N$ désigne le dernier rang dont on cherche à calculer le terme et $u$ désigne les différents termes de la suite.

\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def calculTerme(u,p,n):
	u=2	
	L=[u]
	for k in range(p,n):
		u=3*u+2
		L.append(u)
	return L
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}


\end{document}
