Limites de suites, cours, terminale, Mathématiques complémentaires

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I - Convergence de suites

Définition :

Soit $(u_n)$ une suite. On dit que $(u_n)$ converge vers un réel $l$ ou a pour limite l lorsque ____ tout intervalle ouvert $A$ contenant $l$, contient tous les termes de la suite $(u_n)$ à partir d'un certain rang $N$ c'est à dire que pour tout $n\geq N$, $u_n\in A$. On dit alors que la suite est convergente et que $l$ est sa limite. On note ____ $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=l$.

Propriété :

Si $(u_n)$ converge vers une limite $l$, alors celle-ci ____ est unique.

Algorithmique : [Recherche du plus petit rang d'une suite définie par récurrence pour atteindre un seuil donné]

Soit $(u_n)$ suite $(u_n)$ définie à partir d'un rang $p$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\geq p$ et convergente vers une limite $l$. L'algorithme suivant donne le rang $n$ du premier terme de la suite situé à une distance inférieure à un réel positif $e$ de la limite $l$ :

Entrées : n,p, $u_p$, l, e : nombres
Début traitement :
$u\leftarrow u_p$ ;
Affecter à n la valeur p ;
Tant que $|u-l|\geq e$ faire :
| $u\leftarrow f(u)$ ;
| $n \leftarrow n+1$ ;
Fin du tant que
Afficher n

Programmation python :

Programmation de l'algorithme précédent avec $(u_n)$ définie par $u_0$ compris entre 0 et 1 et $u_{n+1}=u_n^2$ pour tout entier naturel n. Cette suite converge vers 0.


import math
def seuil(p,up,e):
	u=up
	n=p
	while(math.abs(u)>=e):
		u=u^2
		n=n+1
	return n

Exemple :

Soit $(u_n)$ définie par $u_{n+1}=u_n^2$ pour tout entier naturel $n$ non nul et par $u_1=0,75$. $p$ désigne le premier rang de la suite (1 ici) puis les termes successifs. On admettra que la suite $(u_n)$ converge vers 0 ; on a donc $l=0$ ici. $e$ désigne la différence entre les termes et la limite qui doit être obtenue.

II - Convergence de suites de référence

Propriété : limites finies de suites de référence

Les suites $(\frac{1}{n})$, $(\frac{1}{\sqrt{n}})$ et $(\frac{1}{n^p})$ où $p$ est un entier naturel non nul sont convergentes et on a : ____

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n^p}=0$

III - Divergence de suites

Définition :

On dit qu'une suite est divergente si ____ elle ne converge pas.
On dit que la suite $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ ou a pour limite $+\infty$ (resp. $-\infty$) lorsque tout intervalle de la forme $[a;+\infty[ $ où $a$ est un réel (resp. $]-\infty ;a]$), contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. On note ____ $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=+\infty$ (resp. ____ $\lim_{n\rightarrow +\infty}u_n=-\infty$)

Remarque :

Une suite peut être divergente et ne pas admettre de limite, par exemple ____ $(cos(n))$.

Propriété : limites infinies en l'infini

On a : ____

$\lim_{n\rightarrow +\infty}n=+\infty$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}\sqrt{n}=+\infty$ ;
$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^p=+\infty$ avec $p$ entier naturel non nul ;
Pour tous les réels $m$ et $p$, $\lim_{n\rightarrow +\infty}mx+p=signe(m)\infty$ ;

IV - Propriétés : Opérations sur les limites de suites

Propriété :

Soit $(u_n)$ une suite.

si $k$ est un réel et si $(u_n)$ converge vers un réel $l$, alors la suite $(ku_n)$ est convergente vers ____ $kl$ ;
si $k$ est un réel et $(u_n)$ diverge vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) alors $ku_n$ diverge vers ____ $signe(k)\infty$ (resp $-signe(k)\infty$) ;

Propriété :

$\lim u_n$	$l$	$+\infty$	$+\infty$	$-\infty$	$l$	$l$
$\lim v_n$	$l'$	$+\infty$	$-\infty$	$-\infty$	$+\infty$	$-\infty$
$\lim u_n+v_n$	____ $l+l'$	____ $+\infty$	____ indéterminée	____ $-\infty$	____ $+\infty$	____ $-\infty$
$\lim u_n\times v_n$	____ $ll'$	____ $+\infty$	____ $-\infty$	____ $+\infty$	____ signe($l$)$\infty$ si $l\neq 0$	____ -signe($l$)$\infty$ si $l\neq 0$
$\lim \frac{u_n}{v_n}$	____ si $l'\neq0$, $\frac{l}{l'}$	____ indéterminée	____ indéterminée	____ indéterminée	____ 0	____ 0

Exemples :

Soit $u_n$ définie par $u_n=\frac{3n^4+n}{n^3}$ pour tout $n\geq 1$. On a alors $u_n=3n+\frac{1}{n}$.
____ Comme $\lim_{n\rightarrow+\infty}=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n}=0$, la suite $(u_n)$ diverge donc vers $+\infty$.
Soit $v_n$ définie par $v_n=5n^2-6n$ pour tout $n\geq 0$.
____ On a alors $v_n=n(5n-6)$. Or $\lim_{n\rightarrow+\infty}n=+\infty$ et $\lim_{n\rightarrow+\infty}5n-6=+\infty$ donc $(v_n)$ diverge vers $+\infty$.

V - Inégalités et limites de suites

Propriété : théorèmes de comparaison

Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $+\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\geq u_n$. Alors ____ $(v_n)$ est divergente vers $+\infty$.
Soit $(u_n)$ une suite divergente vers $-\infty$ et $(v_n)$ une suite telle qu'à partir d'un certain rang $v_n\leq u_n$. Alors ____ $(v_n)$ diverge vers $-\infty$.

Théorème dit "des gendarmes" :

Soient $u$, $v$ et $w$ des suites avec $v$ et $w$ convergentes vers une même limite $l$. Si, à partir d'un certain rang, $v_n\leq u_n\leq w_n$, alors ____ la suite $u$ est convergente vers $l$.

VI - Limite de suites géométriques

Propriété : limite de suites géométriques

Soit $q$ un réel. Alors :

Si ____ $q\succ 1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite ____ $+\infty$ ;
si ____ $0\prec q\prec 1$, alors la suite $(q^n)$ a pour limite ____ $0$ ;