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Statistiques, cours, terminale, Mathématiques complémentaires

I - Statistiques à une variable, rappels

Propriété : (couple moyenne/écart type)

Soient

$x_i$ pour

$i$ allant de 1 à

$p$ où

$p$ est un entier les valeurs distinctes d'une série statistique et

$n_i$ pour

$i$ allant de 1 à

$p$ les effectifs correspondants. On note

$N$ l'effectif total, somme des

$n_i$ pour

$i$ allant de 1 à

$p$ . On définit :

La moyenne pondérée notée $\bar{x}$ :
____ $\bar{x}=\frac{n_1x_1+n_2x_2+\ldots+n_px_p}{n_1+n_2+\ldots+n_p}$
L'écart type $\sigma$ qui mesure ____la dispersion autour de la moyenne.

Exemple :

On a relevé le prix de la baguette de pain dans différentes boulangeries :

Prix en euros ( $x_i$ )	0,82	0,83	0,84	0,85	0,86	0,87
Nombre de boulangeries ( $n_i$ )	10	42	85	23	18	2

La moyenne est donnée par :
____

$\bar{x}=\frac{10\times 0,82+42\times 0,83+85\times 0,84+23\times 0,85+18\times 0,86+2\times 0,87}{10+42+85+23+18+2}\approx 0,84$ €
L'écart type est ____0,01 € environ ce qui signifie qu'il y a un faible écart entre les prix du pain dans les différentes boulangeries.

Définition (couple médiane/quartiles)

La médiane d'une série statistique est une valeur du caractère telle que ____la moitié des effectifs lui sont supérieurs ou égaux et la moitié des effectifs lui sont inférieurs ou égaux.
Le premier quartile est la plus petite valeur pour laquelle ____ au moins 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales ;
le troisième quartile est la plus petite valeur pour laquelle ____au moins 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Définition (diagramme en boîte)

Le diagramme en boîte permet de résumer les différentes caractéristiques statistiques suivantes :

____

Le maximum et le minimum ;

le premier et le troisième quartile ;

la médiane.

Vidéos pour l'utilisation des calculatrices (site externe) :

Calculatrices CASIO, série sans effectif
Calculatrices CASIO, série avec effectifs
Texas Instrument, série sans effectif
Texas Instrument, série avec effectif
NumWorks

II - Statistiques à deux variables

Vocabulaire

Définition

Soient $x$ et $y$ deux caractères quantitatifs d'une même population. A chaque individu de la population on associe un couple $(x_i;y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ pour $i\in\{1;\ldots;n\}$ avec $n$ entier naturel sont les valeurs prises respectivement par $x$ et $y$ . L'ensemble de ces couples constitue une série statistique à deux variables $x$ et $y$ .
Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ , l'ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$ est appelé ____nuage de points associé à la série statistique.
On appelle \emphref{point moyen} du nuage de points de cette série statistique le point G de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$ où $\bar{x}$ est la moyenne pondérée de la série des $x_i$ et $\bar{y}$ est la moyenne de la série des $y_i$ , c'est à dire : ____ $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$ et $\bar{y}=\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}$

Exemple

Un magasin réalise une étude sur l'influence du prix de vente sur le nombre de machines à laver vendues au cours d'une année. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :

Prix $x_i$ en euros	300	350	400	450	500	600
Nombre de machines vendues	210	190	160	152	124	102

Le nuage de points associé à cette série est constitué des points $M_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 dont les coordonnées sont $(300;210)$ , $(350;190)$ ,..., $(600;102)$ .
Les coordonnées du point moyen sont données par :
____ $\bar{x}=\frac{300+350+400+450+500+600}{6}=\frac{2600}{6}\approx 433,33$ et $\bar{y}=\frac{210+190+160+152+124+102}{6}=\frac{938}{6}\approx 15,33$ donc le point moyen est $G(\frac{2600}{6};\frac{938}{6})$ .

Ajustement d'un nuage de points

Définition

Toute droite "résumant approximativement" le nuage est appelée ____droite d'ajustement affine du nuage de points.

Remarque

Il existe d'autres types d'ajustement : dans certains cas, on peut observer que visiblement une droite ne convient pas mais que le nuage de points semble être approché par un autre type de courbe, parabole par exemple. En outre, certains nuages peuvent ne pas sembler être approchables par une quelconque courbe auquel cas les deux variables ne sont pas reliées entre elles.

Détermination d'une équation de droite d'ajustement affine

Méthode graphique au jugé

On trace "au jugé" une droite qui "semble résumer" le nuage de points. C'est une méthode simple mais qui dépend de la droite tracée.

Méthode des moindres carrés

Avec les notations de la figure ci-dessous, étant donné un nuage de

$n$ points

$M_i$ , il existe une droite passant par le point moyen

$G$ et telle que la somme des carrés des écarts (ou résidus)

$P_1M_1^2+P_2M_2^2+\ldots+P_nM_n^2$ soit minimale. Cette droite est appelée droite de régression de $y$ en $x$ . On peut montrer que son équation réduite est

$y=mx+p$ avec :

$m=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\ldots+(x_p-\bar{x})(y_p-\bar{y})}{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_p-\bar{x})^2}$ et

$p=\bar{y}-m\bar{x}$ En pratique, on utilisera la calculatrice pour l'obtenir.

Exemple :

On reprend l'exemple précédent.

Recherche de l'équation réduite à l'aide des formules :

$x_i-\bar{x}$	$y_i-\bar{y}$	$(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$	$(x_i-\bar{x})^2$






	Total

D'où $m\approx -0,37$
et $p\approx 315,06$

Recherche de l'équation réduite avec la calculatrice :
- TI 82 et plus :
  Aller dans le menu puis . Entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne $L_1$ et les valeurs $y_i$ dans la colonne $L_2$ . Quitter (2nde QUIT) puis menu STAT et CALC. Choisir LinReg(ax+b) puis 2nd,2ndL2 pour indiquer les deux colonnes à utiliser. Valider ensuite ENTER.
- CASIO Graph 25 et plus :
  Aller dans le menu puis entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne 1 et les valeurs $y_i$ dans la colonne 2. Choisir ensuite CALC puis REG puis X.

Vidéo pour l'utilisation des calculatrices (site externe):

Calculatrices CASIO
Texas Instrument
NumWorks