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\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés


\title{Statistiques à deux variables, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Statistiques à deux variables, cours, classe de terminale, Mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage



\section{Vocabulaire}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x$ et $y$ deux caractères quantitatifs d'une même population. A chaque individu de la population on associe un couple $(x_i;y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ pour $i\in\{1;\ldots;n\}$ avec $n$ entier naturel sont les valeurs prises respectivement par $x$ et $y$. L'ensemble de ces couples constitue une \emph{série statistique à deux variables} $x$ et $y$.
\nouvitem Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, l'ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$ est appelé \emphref{nuage de points} associé à la série statistique.
\nouvitem Soit une série statistique à deux variables $x$ et $y$ de moyennes $\bar{x}$ et $\bar{y}$.

Le point $G$ de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$ avec

 $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\ldots+x_n}{n}$ et $\bar{y}=\frac{y_1+y_2+\ldots+y_n}{n}$ 
 
 est appelé le \emph{point moyen} du nuage de points associé à la série statistique.

\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un magasin réalise une étude sur l'influence du prix de vente sur le nombre de machines à laver vendues au cours d'une année. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :\par
\begin{flushleft}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix $x_i$ en euros & 300 & 350 & 400 & 450 & 500 & 600\\
\hline
Nombre de machines vendues & 210 & 190 & 160 & 152 & 124 & 102\\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
Le nuage de points associé à cette série est constitué des points $M_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 dont les coordonnées sont $(300;210)$, $(350;190)$,...,$(600;102)$.

Le point moyen associé à ce nuage de points est le point $G$ de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$ données par :\par
$\bar{x}=\frac{300+350+\ldots+600}{6}=\frac{2\,285}{6}\approx 433$\par
$\bar{y}=\frac{210+190+\ldots+102}{6}=\frac{938}{6}\approx 256$\par
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTGsanslegende.png}
\end{center}

\section{Ajustement d'un nuage de points}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
 \nouvitem on appelle \emphref{ajustement} du nuage de points toute courbe \og{} résumant approximativement\fg{} le nuage. 
 \nouvitem Toute droite \og{}résumant approximativement\fg{} le nuage est appelée \emphref{droite d'ajustement affine} du nuage de points.
 \end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Remarque}
Certains nuages peuvent ne pas sembler être approchables par une quelconque courbe auquel cas les deux variables ne sont pas reliées entre elles.

L'exemple suivant suggère un ajustement par une fonction polynôme du second degré. On parle alors d'ajustement quadratique :
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm]{stats2varAjustementNonAffine.png}
\end{center}
\end{sanscadre}



\begin{sanscadre}{Exemple de méthode approchée }
On trace \og{}au jugé\fg{} une droite  qui \og{}semble résumer\fg{} le nuage de points. C'est une méthode simple mais qui dépend de la droite tracée.
\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTG.png}
\end{center}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété (rappel)}
Soient $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ deux points tels que $x_A\neq x_B$. Alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $y=mx+p$ et on a : $$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire [Détermination de l'équation d'une droite dont on connaît les coordonnées de deux points]}
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par les points $M_1\,(300;208)$, $M_2\,(350;190)$  Son équation est de la forme $y=mx+p$.\\
$m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{208-190}{300-350}=\frac{18}{-50}=-0.36$\\
donc son équation est $y=-0,36x+p$.\\
Or $M_1$ appartient à $mathcal{D}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où\\
$208=-0,36\times 300 + p$ donc $208=-180+p$ et $208+180=p$ donc $p=388$.\\
L'équation est donc $y=-0,36x+388$.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Méthode des moindres carrés}
Avec les notations de la figure ci-dessous, étant donné un nuage de $n$ points $M_i$, il existe une droite passant par le point moyen $G$ et telle que la somme des carrés des écarts (ou \emph{résidus}) $P_1M_1^2+P_2M_2^2+\ldots+P_nM_n^2$ soit minimale.
Cette droite est appelée \emph{droite de régression de $y$ en $x$}. On peut montrer que son équation réduite est $y=mx+p$ avec :
$$m=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\ldots+(x_p-\bar{x})(y_p-\bar{y})}{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_p-\bar{x})^2}$$
et 
$$p=\bar{y}-m\bar{x}$$

\end{encadrer}
}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg1TSTG.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple de recherche de l'équation réduite à l'aide des formules}
On reprend l'exemple précédent.
\begin{flushleft}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i-\bar{x}$ & $y_i-\bar{y}$ & $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ & $(x_i-\bar{x})^2$ \\
\hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline 
 & Total & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}


\noindent D'où $m\approx -0,37$\par
\noindent et $p\approx 315,06$\par

\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de recherche de l'équation à l'aide de la calculatrice}
\begin{itemize}
\item[*] TI 82 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{EDIT}. Entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne $L_1$ et les valeurs $y_i$ dans la colonne $L_2$. Quitter (\fbox{2nde} \fbox{QUIT}) puis menu \fbox{STAT} et \fbox{CALC}. Choisir \fbox{LinReg(ax+b)} puis \fbox{2nd}\fbox{L1}\fbox{,}\fbox{2nd}\fbox{L2} pour indiquer les deux colonnes à utiliser. Valider ensuite \fbox{ENTER}.
\item[*] CASIO Graph 25 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne 1 et les valeurs $y_i$ dans la colonne 2. Sélectionner ensuite \fbox{CALC}. Choisir \fbox{SET} et vérifier que la ligne \og{}2Var XList\fg{} est mise à \og{}List1\fg{} et que la ligne \og{}2Var YList\fg{} est mise à \og{}List2\fg{}, sinon choisir le menu \fbox{LIST} pour indiquer les numéros de liste adaptés. Taper ensuite sur \fbox{EXIT} puis choisir \fbox{REG} puis \fbox{X}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Obtention de l'équation réduite à l'aide d'un programme }
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def moindreCarres(L1,L2):
	mL1=0
	for k in range(len(L1)):
		mL1=mL1+L1[k]
	mL1=mL1/len(L1)
	mL2=0
	for k in range(len(L2)):
		mL2=mL2+L2[k]
	mL2=mL2/len(L2)
	numerateur=0
	denominateur=0
	for k in range(len(L1)):
		numerateur=numerateur+(L1[k]-mL1)*(L2[k]-mL2)
		denominateur=denominateur+(L1[k]-mL1)**2
	m=numerateur/denominateur
	p=mL2-a*mL1
	return m,p
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
On a vu que la droite de régression linéaire de $y$ en $x$ rend minimal le nombre $P_1M_1^2+\cdots +P_nM_n^2$. Le minimum est alors égal à :
$$n (\sigma_y)^2(1-(\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y})^2)$$
avec
$$\sigma_x=\frac{1}{n}((x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots +(x_n-\bar{x})^2)$$
$$\sigma_y=\frac{1}{n}((y_1-\bar{y})^2+(y_2-\bar{y})^2+\cdots +(y_n-\bar{y})^2)$$
$$\sigma_{xy}=\frac{1}{n}((x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\cdots +(x_n-\bar{x})(y_n-\bar{y}))$$
On appelle \emphref{coefficient de corrélation linéaire} le nombre défini par :
$$r=\frac{\sigma_{xy}}{\sigma_x\sigma_y}$$\\
Plus la valeur absolue de ce nombre est proche de 1, plus la droite de régression linéaire est proche du nuage de points.
\end{encadrer}
}

Remarque : En pratique, on lira le coefficient de corrélation linéaire sur la calculatrice en même temps que la droite des moindre carrés obtenue : il est noté $r$.
\end{document}
