
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{16cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}\par} % boîtes de propriétés

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}} 

\title{Probabilités, cours, terminale, mathématiques complémentaires}


\author{F.Gaudon}


\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Probabilités, cours, classe de terminale, mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
\textbf{\Large Probabilités, cours, classe de terminale, Mathématiques complémentaires}
\end{center}


\section{Loi uniforme}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
Soit $E=\{1;2;...;n\}$ où $n$ est un entier naturel non nul. On dit qu'une variable aléatoire $X$ suit la \emphref{loi uniforme} de paramètre $n$ si pour tout $k\in \{1;2;...;n\}$, 
$$...........$$
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
Il faut montrer que l'on obtient bien une loi de probabilité en posant $P(X=k)=$.............. .\\
On a  $ P(X=k)\geq ....$\\
et $\sum_{k=0}{n}P(X=k)=$.....\\
Donc on définit bien une loi de probabilité. 
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Remarque}
\begin{onehalfspace}
La loi uniforme apparaît lorsque l'on modélise une expérience aléatoire à l'aide d'une loi ........................., c'est à dire lorsque l'on a affaire à une situation ............................ .
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Soit $A$ un événement de $E$. Alors $P(X\in A)=$...............
\nouvitem L'espérance est $E(X) =$.........

\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Le premier point est immédiat. Preuve de l'espérance :\\
$E(X)=$.....\\
....\\
....\\

\end{sanscadre}

\section{Loi de Bernoulli}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $p$ un nombre réel tel que $p\in[0;1]$. Soit $X$ une variable aléatoire. On dit que $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ si :
\begin{itemize}
 \nouvitem $X$ prend pour valeurs .... (\og{}.............\fg{}) et .... (\og{}...........\fg{}) ;
\nouvitem $P(X=1)=$...... et $P(X=0)=$..........
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Si $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$ :
\begin{itemize}
\nouvitem L'espérance est $E(X)=$...... ;
\nouvitem la variance est $V(X)=$.............
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=$......
\nouvitem $V(X)=$......
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Algorithmique et programmation en langage python}
Algorithme de simulation d'une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ;}
\Traitement{
$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu ;\\
\Si{$t<p$}{Renvoyer "Succès" ; }
\Sinon{Renvoyer "\'Echec" ;}
}
\end{algorithm}

\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
import random
def bernoulli(p):
	t=............
	if ......:
		return ...
	else:
		return ...
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}


\section{Schéma de Bernoulli}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Deux expériences sont dites ....................... si le résultat de l'une n'influe pas sur le résultat de l'autre.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
il y a ............................ lorsqu'on lance deux fois de suite une pièce de monnaie.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une expérience aléatoire ne comportant que deux issues ; l'une appelée \og{}succès\fg{} et l'autre appelée \og{}échec\fg{}. On note $p$ la probabilité de succès et $q$ la probabilité d'échec ($q=1-p$). La répétition de cette expérience $n$ fois de manière indépendante constitue \emphref{un schéma de Bernoulli} de paramètres $n$ et $p$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un schéma de Bernoulli, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
 \includegraphics[width=6cm]{arbre.png}
\end{center}
On contrôle la qualité d'un produit sur une chaîne de production. On prélève 3 produits au hasard. On suppose que les prélèvements sont indépendants. Statistiquement, chaque produit a une probabilité $p=0,05$ d'être défectueux.\\
Sur l'arbre ci-dessus représentant un schéma de Bernoulli de paramètres $n=$.... et $p=$......, la probabilité d'avoir les deux premières expériences qui donnent un succès et la dernière qui donne un échec est $P(SS\bar{S})=$..................\\
soit ............. de chances d'avoir deux produits défectueux sur les trois prélevés.
\end{sanscadre}

\section{Loi binomiale}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition :}
Soient $n$ et $k$ deux entiers naturels avec $k\leq n$. On note $\binom{n}{k}$ (on dit \og{}$k$ parmi $n$\fg{}) le nombre de manières d'obtenir ........ ................ ....... ....................... pour $n$ répétitions indépendantes de la même expérience de Bernoulli. 
\end{encadrer}
}





\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{center}
 \includegraphics[width=8cm]{arbre.png}
\end{center}

\noindent $\binom{3}{3}=$..... : il y a ............ .................. d'obtenir 3 succès lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes.\\
$\binom{3}{2}=3$ : il y a .................. manières d'obtenir 2 succès et un échec lors de la répétition de 3 épreuves identiques indépendantes : ................................................ .
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On considère une épreuve de Bernoulli de paramètre $p\in [0;1]$. On répète $n$ fois ($n\geq 1$) cette expérience indépendamment et on note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès. On dit alors que la variable aléatoire $X$ suit une loi \emphref{binomiale} de paramètres $n$ et $p$ et on note $X\sim \mathcal{B}(n;p)$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, alors la probabilité d'obtenir $k$ succès avec $k\in\{0;1;2;...;n\}$ est 
 $$....$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Il y a $\binom{n}{k}$ manières d'obtenir $k$ succès dans $n$ répétitions d'expériences identiques et indépendantes. La probabilité de chacune de ces événements qui sont évidemment incompatibles est $p^k(1-p)^{n-k}$ d'où le résultat.
\end{sanscadre} 


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
On considère le problème précédent de test des produits d'une chaîne de production. Les prélèvements étant supposés indépendants les uns des autres, l'expérience constitue un schéma de Bernoulli de paramètres $n=3$ et $p=0,05$. La variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n=3$ et $p=0,05$.\\
On a $P(X=2)=$..........\\
 car trois chemins permettent d'obtenir deux succès c'est à dire deux objets défectueux.\\
D'où $P(X=2)=$..........\\
donc $P(X=2)=$............\\
soit une probabilité très faible de .......... d'avoir deux produits défectueux.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Calcul pratique de $P(X=k)$ et $P(X\leq k)$}
Soit $X$ une variable aléatoire de paramètres $n$ et $p$. Pour $k$ allant de 0 à $n$, pour calculer $P(X=k)$ ou $P(X\leq k)$, on utilise une calculatrice :
\begin{itemize}
\nouvitem Sur Texas instrument : aller dans le menu \fbox{2nd}\fbox{distrib}, choisir \fbox{binomFdp} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X=k)$ et choisir \fbox{binomFRép} et taper \fbox{n}\fbox{,}\fbox{p}\fbox{,}\fbox{k}\fbox{)} pour calculer $P(X\leq k)$.
\nouvitem Sur Casio : aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{DIST} puis \fbox{BINM}. Sélectionner alors \fbox{Bpd} puis \fbox{Var} pour variable, puis entrer alors $k$  dans la ligne \og{}x\fg{}, $n$ dans la ligne \og{}numtrial\fg{} et $p$ dans la ligne \og{}p\fg{} puis aller sur \og{}execute\fg{} pour valider et calculer ainsi $P(X=k)$. Pour le calcul de  $P(X\leq k)$, on utilisera \fbox{Bcd} au lieu de \fbox{Bpd}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,4$.\\
Sur TI, la probabilité $P(X\leq 3)$ est donnée par \texttt{binomFrép(4,0.4,3)}.
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Remarques}
\begin{itemize}
\nouvitem On a $P(X<3)=P(X ........ 2)$.
\nouvitem Pour calculer $P(X>3)$, on calcule ............... .
\nouvitem Pour calculer $P(a\leq X\leq b)$ on calcule .............. .
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $E(X)=$......... ;
\nouvitem $V(X)=$.................... et $\sigma(X)=$................. .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}



\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour le problème de la chaîne de production, en prélevant $n=100$ produits indépendamment, la loi binomiale a pour paramètres $n=100$ et $p=0,05$. On a alors $E(X)=$........................ ce qui signifie que l'on peut prévoir ......... produits défectueux pour un prélèvement de 100 produits indépendants.
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Algorithmique}
Algorithme de simulation d'une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{algorithm}
\Donnees{$p$ : nombre décimal entre 0 et 1 ; $n$ : entier naturel ;}
\Traitement{
$c\leftarrow 0$;\\
\Pour{$k$ de 1 jusque $n$}
  {$t$ prend une valeur aléatoire décimale entre 0 inclus et 1 exclu;\\
  \Si{$t<p$}{$c\leftarrow c+1$;\\}
  }
}
\end{algorithm}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple de programmation en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
import random
def simulBinomiale(n,p):
	c=....
	for k in range(1,n+1):
  		t=........
  		if ......:
    		c=.......
	return .....
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Coefficients binomiaux}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{coefficients binomiaux} l'ensemble des nombres $\binom{n}{k}$ pour $n\in\mathbb{N}$ et $k\in\mathbb{N}$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Utilisation de la calculatrice}
\begin{itemize}
\item[Casio : ] Touche \fbox{nCr}. Taper sur \fbox{OPTN} puis \fbox{PROB} puis \fbox{nCr}.\\
Syntaxe : 7\fbox{nCr}4
\item[TI : ] Touche \fbox{Combinaison}. Taper sur \fbox{math} puis aller dans le menu \fbox{PROB} puis choisir \fbox{Combinaison}.\\
Syntaxe : 7\fbox{Combinaison}4
\item[Numworks : ] menu boîte à outils puis \fbox{Dénombrement} puis \fbox{binomial(n,k)} (Attention : nom mal choisi, cela n'a rien à voir avec une loi binomiale).\\

\end{itemize}
\end{sanscadre} 
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem $\binom{n}{k}=$............... ;
\nouvitem $\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=$................ .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Triangle de Pascal}
 Le triangle de Pascal, du nom de Blaise Pascal, mathématicien français du XVII\up{e} siècle qui le\og{}redécouvra\fg{} en Occident (car il était connu avant en Orient et au Moyen-Orient) est une disposition permettant de visualiser et de calculer les coefficients binomiaux et qui s'appuie sur la formule précédente.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|p{1.5cm}|}
\hline
  $\binom{0}{0}=1$ & & & & &\\
\hline
$\binom{1}{0}=1$ & $\binom{1}{1}=1$ & & & &\\
\hline
$\binom{2}{0}=1$ & $\binom{2}{1}=2$ & .... & & &\\
\hline
$\binom{3}{0}=1$ & $\binom{3}{1}=3$ & .... & .... & & \\
\hline
1 & .... & .... & .... & 1 &\\
\hline
1 & .... & .... & .... & .... & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
Explication de la construction : le nombre de la ligne $n$ et de la colonne $k$ est le coefficient binomial $\binom{n-1}{k-1}$. Il est obtenu en ajoutant le nombre situé au dessus (ligne $n-1$ et colonne $k$) au nombre de la colonne et de la ligne précédente (ligne $n-1$ et colonne $k-1$).\\
Par exemple, $\binom{3}{1}=3$ est la somme de $\binom{2}{1}=2$ et de $\binom{2}{0}=1$.
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
  1 & & & & &\\
\hline
1 & 1 & & & &\\
\hline
1 & .... & 1 & & &\\
\hline
1 & .... & .... & 1 & & \\
\hline
1 & .... & .... & .... & 1 &\\
\hline
1 & .... & .... & .... & .... & 1\\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple de programmation du triangle de Pascal en langage python}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def trianglePascal(n):
	L=[1]
	L=L+[0 for k in range(n)]
	t=[L]
	for k in range(1,n+1):
		L=[1]
		for l in range(1,k+1):
			L.append(t[k-1][l]+t[k-1][l-1])
		L=L+[0 for l in range(k,n)]
		t=t+[L]
	return t
\end{lstlisting}
\end{sanscadre}

\section{Loi géométrique}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $E=\mathbb{N}^{*}$. Soit $p\in [0;1]$. On dit qu'une variable aléatoire $X$ définie sur $E$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ lorsqu'elle donne le nombre d'expériences de Bernoulli de paramètre $p$ répétées indépendamment nécessaires pour obtenir un premier succès. On note alors $X\sim \mathcal{G}(p)$.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriétés}
Si $X$ suit une loi géométrique de paramètre $p$ alors :
\begin{itemize}
\nouvitem pour tout $k\in\mathbb{N}^{*}$, 
$$P(X=k)=.....$$
\nouvitem $E(X)=$........ .
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
$X$ suit une loi géométrique si et seulement si pour tout $m,n\in\mathbb{N}^{*}$, $P_{X>m}(X>m+n)=$................ .\\
Cette propriété illustre que la loi géométrique est une loi dite \og{}sans mémoire\fg{}. Cette propriété montre aussi que les seules lois discrètes sans mémoire sont les lois géométriques.
\end{encadrer}
}

\newpage


\begin{sanscadre}{Preuve de la condition nécessaire}
$P_{X>m}(X>m+n)=\frac{P(X>m+n\cap X>m)}{X>m}=\frac{P(X>m+n)}{X>m}$ car $X>m$ est nécessairement réalisé si $X>m+n$.\\
Remarquons ensuite que $P(X>m)=1-P(X\leq m)=1-\sum_{k=1}^{m}p(1-p)^{k-1}=1-p\sum_{k=0}^{m-1}(1-p)^k=1-p\frac{1-(1-p)^m}{1-(1-p)}=1-p\frac{1-(1-p)^m}{p}=1-(1-(1-p)^m)=(1-p)^m$\\
D'où $P_{X>m}(X>m+n)=\frac{P(X>m+n)}{X>m}=\frac{(1-p)^{m+n}}{(1-p)^m}=(1-p)^n$.\\
Or $P(X>n)=(1-p)^n$ d'où l'égalité.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On a pour tout $k$ appartenant à $\mathbb{N}^{*}$, $P(X>k)=...$\\
car \og{}avoir besoin de plus de $k$ tentatives pour obtenir le premier succès\fg{} équivaut à \og{}obtenir des échecs aux $k$ premières tentatives\fg{}.
\end{sanscadre}



\end{document}



