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\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{minipage}{15cm}\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}\end{minipage}}

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\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés

\title{Lois de probabilités continues, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Lois de probabilités continues, cours, classe de terminale, Mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Généralités sur les lois de probabilités continues}

\begin{encadrer}{Notation}
 On considère un univers $I$ de la forme $[a;b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$ ou de la forme $[a;+\infty[$ avec $a$ réel. 
On notera :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\int_a^bf (x)dt$ dans le premier cas ;
  \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\lim_{b\rightarrow +\infty}\int_{a}^{b}f(t)dt$ dans le deuxième cas.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Avec les notations précédentes :
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle \emphref{densité de probabilité} sur $I$, toute fonction $f$ continue et positive telle que 
$$\int_{I}f(t)dt=1$$
\nouvitem On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $I$ suit une loi de probabilité de densité $f$ sur $I$ si pour tout intervalle $J$ inclus dans I : 
$$P(X\in J)=\int_{J}f(t)dt$$
\end{itemize}
Une telle variable aléatoire est dite continue sur $I$.
\end{encadrer}
}

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ définie par $f(x)=2x$ sur $[0 ; 1]$.\\
$f$ est continue et positive sur $[0 ; 1]$.\\
$\int_{0}^{1}f(t)dt=\int_{0}^{1}2tdt=[t^2]_{0}^{1}=1^2-0^2=1$.\\
$f$ est donc la densité de probabilité \\
d'une variable aléatoire $X$ qui vérifie :\\
$P(X\leq x)=\int_{0}^{x}f(t)dt=\int_{0}^{x}2tdt=[t^2]_0^x=x^2$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=4.5cm]{esperanceExempleImage.png}
\end{minipage}
\end{tabular}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité continue de densité $f$ sur $I$.
\begin{itemize}
 \nouvitem $P(X\in I)=1$ ;
\nouvitem Pour tout réel $x$, $P(X=x)=\int_{x}^{x}f(t)dt=0$ ;
\nouvitem $P(X\in[a;b])=P(X\in]a;b])=P(X\in[a;b[)=P(X\in]a;b[)$ et $P(X\leq a))=P(X<a)$ pour tous les réels $a$ et $b$ avec $a<b$.
\end{itemize}

\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{espérance mathématique} d'une variable aléatoire continue $X$ de densité de probabilité $f$ définie sur un intervalle $J$ le réel noté $E(X)$ défini par $$E(X)=\int_{J}tf(t)dt$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour la variable aléatoire $X$ de l'exemple précédent, on a $E(X)=\int_{0}^{1}t\times 2tdt=\int_{0}^{1}2t^2dt=[2\frac{t^3}{3}]_{0}^{1}=\frac{2}{3}$.
\end{sanscadre}

\section{Loi uniforme}
\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $[a;b]$ un intervalle avec $a$ et $b$ réels. On appelle \emphref{loi uniforme} sur $[a;b]$ , la loi de probabilité dont la densité $f$ est $f(x)=\frac{1}{b-a}$ pour tout réel $x\in[a;b]$.\\
Si une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur $[a;b]$ on note $X\sim \mathcal{U}([a;b])$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 On a $f\geq 0$ et on a $\int_{a}^{b}f(t)dt=\int_{a}^{b}1dt=[t]_{a}^{b}=b-a$.
\end{sanscadre}


\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{sanscadre}{Exemple} La fonction \texttt{Alea()} du tableur \\
donne des valeurs suivants la loi uniforme \\
sur $[0;1]$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=5cm]{uniformeExempleImage.png}
\end{minipage}
\end{tabular}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les réels $c$ et $d$ de $[a;b]$ avec $c\leq d$, $$P(c\leq X\leq d)=\dfrac{d-c}{b-a}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[20; 50]$.\\
Alors $P(20\leq X\leq 25)=\int_{20}^{25}\frac{1}{50-20}dt=\int_{20}^{25}\frac{1}{30}dt=[\frac{1}{30}t]_{20}^{25}=\frac{25-20}{50-20}=\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$. Alors l'espérance $E(X)$ de $X$ est :
$$E(X)=\frac{a+b}{2}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$E(X)=\int_{a}^{b}tf(t)dt=\int_a^{b}\frac{t}{b-a}dt=[\frac{1}{b-a}\frac{t^2}{2}dt]_a^b$\\
donc $E(X)=\frac{1}{b-a}(\frac{b^2}{2}-\frac{a^2}{2})=\frac{1}{2(b-a)}(b-a)(b+a)=\frac{a+b}{2}$
\end{sanscadre}





\section{Loi exponentielle}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition et propriété}
 Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On appelle \emphref{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$ la loi de probabilité dont la densité $f$ est définie par :
$$f(t)=\lambda e^{-\lambda t}$$
pour tout réel $t\in [0;+\infty[$.\\
Si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors on note $X\sim \mathcal{E}(\lambda)$.
\end{encadrer}
}

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Preuve :}\\
 On a $f\geq 0$.\\
 $\int_{0}^{b}f(t)dt=\int_{0}^{b}\lambda e^{-\lambda t}dt$\\
 $=[-e^{-\lambda t}]_0^b=-e^{-\lambda b}-(-e^{-\lambda 0})=1-e^{-\lambda b}$\\
 Or $\lim_{b \rightarrow +\infty}1-e^{-\lambda b}=1$ d'où $\int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=1$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=5cm]{exponentielExempleImage.png}
\end{minipage}
\end{tabular}





\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une loi de probabilité suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tout réel $b$, 
\begin{itemize}
\nouvitem $P(X\leq b)=P(X<b)=1-e^{-\lambda b}$ ;
\nouvitem $P(X \geq b)=P(X>b)=e^{-\lambda b}$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}


\begin{sanscadre}{Preuve}
$P(X\leq b)=P(0\leq X\leq b)=\int_{0}^{b}\lambda e^{-\lambda t}dt=\lambda[\frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda t}]_{0}^{b}=\frac{-\lambda}{\lambda}(e^{-\lambda b}-e^{0})=1-e^{-\lambda b}$
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tous les réels positifs $t$ et $h$ :
$$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=P(X\geq h)$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\frac{P((X\geq t+h)\cap (X\geq t))}{P(x\geq t)}=
\frac{P(X\geq t+h)}{P(X\geq h)}=\frac{1-P(X< t+h)}{1-P(X<t)}$.\\
D'où $P_{X\geq t}(X\geq t+h)=\frac{1-(1-e^{-\lambda (t+h)})}{1-(1-e^{-\lambda t})}=\frac{e^{-\lambda (t+h)}}{e^{-\lambda t}}=\frac{e^{-\lambda t}e^{-\lambda h}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda h}$\\
Or $P(X\geq h)=1-P(X<h)=e^{-\lambda h}$ d'où l'égalité.
\end{sanscadre}


\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
 L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $$E(X)=\frac{1}{\lambda}$$
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
Soit $g$ la fonction définie par $g(t)=\lambda te^{-\lambda t}$ pour tout $t\geq 0$.\\
On cherche une primitive $G$ de $g$ de la forme $G(t)=(at+b)e^{-\lambda t}$.\\
On a $G'(t)=ae^{-\lambda t}-(at+b)\lambda e^{-\lambda t}=(a-\lambda b-at)e^{-\lambda t}$.\\
$G'(t)=g(t)$ pour $a-\lambda b=0$ et $-a=\lambda$\\
c'est à dire $a=-\lambda$ et $b=\frac{-1}{\lambda}$\\
d'où $G(t)=(-t-\frac{1}{\lambda})e^{-\lambda t}$.\\
On a donc $\int_{0}^{b}g(t)dt=G(b)-G(0)$.\\
Or $G(0)=-\frac{1}{\lambda}$ et $G(b)=-be^{-\lambda b}-\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda b}$.\\
Comme $\lim_{b\rightarrow +\infty}be^{-\lambda b}=0$ et $\lim_{b\rightarrow +\infty}{e^{-\lambda b}}=0$ on a donc $\lim_{b\rightarrow +\infty}G(b)-G(0)=\frac{1}{\lambda}$
\end{sanscadre}

\end{document}
