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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
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\title{Lois de probabilités continues, cours,  terminale S}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Lois de probabilités continues, cours, classe de terminale, Mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Lois de probabilités continues, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}}
\end{center}


\section{Généralités sur les lois de probabilités continues}

\begin{encadrer}{Notation}
 On considère un univers $I$ de la forme $[a;b]$ où $a$ et $b$ sont deux réels tels que $a<b$ ou de la forme $[a;+\infty[$ avec $a$ réel. 
On notera :
\begin{itemize}
 \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\int_a^bf (x)dt$ dans le premier cas ;
  \nouvitem $\int_{I}f(t)dt=\lim_{x\rightarrow +\infty}\int_{a}^{x}f(t)dt$ dans le deuxième cas.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
Avec les notations précédentes :
\begin{itemize}
\nouvitem On appelle \emphref{densité de probabilité} sur $I$, toute fonction $f$ continue et ................. telle que 
$$\int_{I}f(t)dt=....$$
\nouvitem On dit qu'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans $I$ suit une loi de probabilité de densité $f$ sur $I$ si pour tout intervalle $J$ inclus dans I : 
$$P(X\in J)=................$$
\end{itemize}
Une telle variable aléatoire est dite ................... sur $I$.
\end{encadrer}


\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
Soit $f$ définie par $f(x)=2x$ sur $[0 ; 1]$.\\
$f$ est continue et positive sur $[0 ; 1]$.\\
$\int_{0}^{1}f(t)dt=$...... .\\
.....\\
$f$ est donc la densité de probabilité \\
d'une variable aléatoire $X$ qui vérifie :\\
$P(X\leq x)=$.....\\
....
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=4.5cm]{esperanceExempleImage.png}
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité continue de densité $f$ sur $I$.
 \begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
 \nouvitem $P(X\in I)=......$ ;
\nouvitem Pour tout réel $x$, $P(X=x)=\int_{x}^{x}f(t)dt=......$ ;
\nouvitem $P(X\in[a;b])=P(X\in ..a;b..)=P(X\in ..a;b..)=P(X\in..a;b..)$ et $P(X\leq a)=P(X...a)$ pour tous les réels $a$ et $b$ avec $a<b$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}

\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{espérance mathématique} d'une variable aléatoire $X$ continue sur un intervalle $I$ de densité de probabilité $f$, le nombre 
$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Pour la variable aléatoire $X$ de l'exemple précédent, on a \\
$E(X)=....$\\
...\\
\end{sanscadre}


\section{Loi uniforme}

\begin{encadrer}{Propriété et définition}
 Soit $[a;b]$ un intervalle avec $a$ et $b$ réels. On appelle \emphref{loi uniforme} sur $[a;b]$ , la loi de probabilité dont la densité $f$ est définie par :
$$.............$$ pour tout réel $x\in[a;b]$\\
Si une variable aléatoire $X$ suit une loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$ on note $X\sim \mathcal{U}([a;b])$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
 On a $f\geq ....$.\\
 $\int_{a}^{b}f(t)dt=....$.
 \end{onehalfspace}
\end{sanscadre}




\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\begin{sanscadre}{Exemple} La fonction \texttt{Alea()} du tableur \\
donne des valeurs suivants la loi uniforme \\
sur $[0;1]$.
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=5cm]{uniformeExempleImage.png}
\end{minipage}
\end{tabular}


\begin{encadrer}{Propriété}
Pour tous les réels $c$ et $d$ de $[a;b]$ avec $c\leq d$, $$P(c\leq X\leq d)=....................$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[a;b]$. Alors l'espérance $E(X)$ de $X$ est :
$$............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$E(X)=\int_{a}^{b}\frac{t}{b-a}dt=...$\\
\bigskip

\end{sanscadre}





\section{Loi exponentielle}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
 Soit $\lambda$ un réel strictement positif. On appelle \emphref{loi exponentielle} de paramètre $\lambda$ la loi de probabilité dont la densité $f$ est définie par :
$$f(t)=................$$
pour tout réel $t\in [0;+\infty[$.\\
Si une variable aléatoire $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$ alors on note $X\sim \mathcal{E}(\lambda)$.
\end{encadrer}



\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
\textbf{Preuve :}\\
 On a $f\geq 0$.\\
 $\int_{0}^{b}f(t)dt=\int_{0}^{b}\lambda e^{-\lambda t}dt$\\
 $=[-e^{-\lambda t}]_0^b=-e^{-\lambda b}-(-e^{-\lambda 0})=1-e^{-\lambda b}$\\
 Or $\lim_{b \rightarrow +\infty}1-e^{-\lambda b}=1$ d'où $\int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda t}dt=1$.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=5cm]{exponentielExempleImage.png}
\end{minipage}
\end{tabular}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une loi de probabilité suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tout réel $b$, 
$$P(X\leq ....)=...................$$
et
$$P(X\geq ...)=...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P(X\leq b)=....$\\
$....$
\bigskip
\bigskip
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $X\sim \mathcal{E}(\lambda)$.\\
$P(X\geq 5)=...$\\
\bigskip
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors pour tous les réels positifs $t$ et $h$ :
$$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=..............$$
On dit qu'une loi exponentielle est \og{}sans mémoire\fg{}.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
$P_{X\geq t}(X\geq t+h)=...$\\
...\\
...\\
\bigskip
\end{sanscadre}

\newpage


\begin{encadrer}{Propriété}
 L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est $$...........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve $\bigodot$}
\begin{onehalfspace}
Soit $g$ la fonction définie par $g(t)=\lambda te^{-\lambda t}$ pour tout $t\geq 0$.\\
On a $E(x)=\int_0^{\infty}g(t)dt$.\\
On cherche une primitive $G$ de $g$ de la forme $G(t)=(at+b)e^{-\lambda t}$ avec $a$ et $b$ réels à déterminer.\\
On a $G'(t)=..............$ ..................... ...................... ......................\\
...\\
..\\

$G'(t)=g(t)$\\
pour ............... \\
 
D'où  $G$ définie par $G(t)=..................$ est une primitive de $g$.\\
On a donc $E(X)=\int_{0}^{b}g(t)dt=G(b)-G(0)$.\\
Or $G(0)=....$\\
et $G(b)=.............$.\\
D'où ...
\end{onehalfspace}

\end{sanscadre}


\end{document}
