\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
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\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Intégration, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Intégration, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}}
\end{center}


\section{Intégrale d'une fonction continue sur un intervalle}
\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$ et $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$. ortogonal.
On appelle \emphref{intégrale} de $a$ à $b$ de la fonction $f$ la mesure de l'aire ............. .......... ............. .............. ............... ............... ................ ................ ................. ................. .................. .................\\
On note ....................... cette aire.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarques}
 \begin{itemize}
  \nouvitem Pour toute fonction continue et positive sur $[a;b]$, on a $\int_{a}^{b}f(t)dt\geq ....$ ;
  \nouvitem Si $b=a$, on a $\int_{a}^{a}f(t)dt=....$ ;
 \end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Relation de Chasles}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $I=[a;c]$ et $b$ un réel de $I$. Alors :
$$...........................$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété de conservation de l'ordre}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues et positives sur $[a;b]$ telles que pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$.\\
Alors ................... ................ .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples de méthodes de calcul approché d'intégrales}
\begin{itemize}
\nouvitem \textbf{Méthode des rectangles} : elle consiste à approcher l'aire sous la courbe à l'aide de rectangles :
\begin{itemize}
\nouvitem de largeur $h=(b-a)/n$ où $[a;b]$ est l'intervalle d'intégration et $n$ le nombre de subdivisions de l'intervalle ;
\nouvitem de hauteur l'image de $f(a+i(b-a)/n)$ (rectangles à gauche) ou $f(a+(i+1)(b-a)/n)$ (rectangles à droites) avec $i\in\{1;2;\cdots ;n\}$ correspondante à l'image des subdivisions par $f$.
\end{itemize}
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def rectanglesGauche(a,b,n,f):
	S=...
	x=...
	h=...
	while x<=... :
		S=...
		x=...
	return ...
\end{lstlisting}
ou 
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def rectanglesDroite(a,b,n,f):
	S=...
	x=...
	h=...
	while x+h<=...:
		S=...
		x=...
	return ...
\end{lstlisting}
\nouvitem \textbf{Méthode des trapèzes} : Elle consiste à approcher l'aire sous la courbe à l'aide de trapèzes de hauteur $h=(b-a)/n$ et de grands axes et petits axes de longueurs les images $f(a+i(b-a)/n)
$ avec $i\in\{1;2;\cdots ;n\}$.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def trapezes(a,b,n,f):
	S=...
	x=...
	h=...
	while x+h<=...:
		S=S+1/2*(f(x)+f(x+h))*h
		x=...
	return ...
\end{lstlisting}
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{valeur moyenne} de $f$ sur $[a;b]$, le réel $$\mu=...........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Si $f$ est positive sur $[a;b]$, la valeur moyenne s'interprète géométriquement comme la hauteur du rectangle de côté $b-a$ et de même aire que l'aire de la partie du plan comprise entre la courbe de la fonction, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=a$ et $x=b$.
\end{sanscadre}

\newpage

\section{Primitive d'une fonction continue et positive sur un intervalle}


\begin{encadrer}{Définition}
 Une fonction $F$ dérivable sur un intervalle $I$ et  de dérivée .......... est appelée \emphref{primitive} de $f$ sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $F:x\mapsto .................$ est une primitive de $f:x\mapsto x$ car $F'(x)=x$ pour tout réel $x$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Alors $f$ admet une infinité de primitives : $G$ est une primitve de $f$ si et seulement si ............. .............. .............. ............... ................. ..............
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 $F_1:x\mapsto \frac{x^2}{2}-4$ et $F_2:x\mapsto \frac{x^2}{2}+2,5$ sont deux primitives de $x\mapsto ...$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Soit $f$ une fonction admettant une primitive $F$ sur un intervalle $I$. Soit $a$ appartenant à $I$ et $b$ un réel. Alors il existe une et une seule primitive F telle que .......... .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Il existe une unique primitive $F$ de $x\mapsto x$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=2$. En effet, on a vu que les primitives sont de la forme $x\mapsto ................$ où $k$ est un réel. $F(1)=2$ impose donc .............. .......... d'où ............... .
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Toute fonction $f$ continue et positive sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{encadrer}

\section{Calcul de primitives}

\subsection{Lien entre intégrale et primitives}

\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée ......... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $f$ est continue et positive sur un intervalle $[A;b]$ alors
$$\int_{a}^{b}f(t)dt=......................$$
où $F$ est une primitive quelconque de $f$ sur $[a;b]$.
\end{encadrer}


\subsection{Primitives de fonctions de référence}

\begin{sanscadre}{Exemples fondamentaux}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
$f$ définie sur $I$ par & primitives $F$ de $f$ sur $I$  & intervalle $I$ \\
\hline
$0$ & .............. & $\mathbb{R}$\\
\hline
$1$ & .............. & $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ & ................. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ & ................. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$, $n\in\mathbb{N^{*}}$ & ................... & $\mathbb{R}$\\
\hline
$\frac{1}{2\sqrt{x}}$ & ................... & $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ & ................... & $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\frac{1}{x^2}$ & .................. & $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$\\
\hline
$\frac{1}{x^n}$, $n\in\mathbb{N}$ & ................... & $]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$ \\
\hline
$\sin (x)$  & .................... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\cos (x)$ & .................... & $\mathbb{R}$ \\ 
\hline
$e^{x}$ &  .................. & $\mathbb{R}$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\subsection{Primitives de fonctions composées}

\begin{sanscadre}{Exemples fondamentaux}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
  \hline
$f$ définie sur $I$ par & Primitives $F$ de $f$ sur $I$ & intervalle $I$ \\
\hline
$u'u$ & ....................... & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$u'e^u$ & ............................ & $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{u'}{u}$ & ........................... & $I$ tel que $u>0$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\section{Intégrale d'une fonction de signe quelconque}




\begin{encadrer}{Propriété}
 Toute fonction $f$ continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et pour tous les réels $a$ et $b$ de $I$ de primitive $F$, on définit l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$ par $$\int_{a}^{b}f(t)dt=..............$$
On note aussi $$.....$$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples :}
\begin{itemize}
\nouvitem $\int_{0}^{1}x^2dx=....$\\
...\\
\nouvitem $\int_{0}^{1}e^{5x+4}dx=...$\\
...\\
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Théorème}
 Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$. La fonction $F$ définie sur $[a;b]$ par $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ est dérivable sur $[a;b]$ et a pour dérivée ......... .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété (relation de Chasles}
 Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et $a$, $b$ et $c$ trois réels de $I$. Alors :
$$..............................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soit $F$ une primitive de $f$. On a
\begin{align*} \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx&=...............\\
 &=.............\\
 &=\int_{a}^{c}f(x)\,dx
\end{align*}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Conséquences}
Avec les mêmes hypothèses que précédemment, 
\begin{itemize}
\nouvitem $\int_{a}^{a}f(x)\,dx=......$
 \nouvitem $\int_{b}^{a}f(x)\,dx=.........$

 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
D'une part, $\int_{a}^{a}f(x)\,dx=.........$ et d'autre part, 
$\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{a}f(x)\,dx=\int_{a}^{a}f(x)\,dx$ d'où les deux résultats.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété de linéarité de l'intégrale}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$ et $k$ un réel. Alors
$$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=.................$$
et
$$\int_{a}^{b}kf(x)\, dx=.......................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Soient $F$ et $G$ des primitives de $f$ et $g$ respectivement. Alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ car $(F+G)'=F'+G'=.......$ et on a $\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))\,dx=$.............. ................ ...................... ................ ................. .

De même, $kF$ est une primitive de $kf$ et $\int_{a}^{b}kf(x)\,dx=$............ ................... ................ ................. .
\end{sanscadre}




\begin{encadrer}{Propriété de positivité de l'intégrale}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a;b]$.
\begin{itemize}
 \nouvitem Si pour tout réel $x$ de $I$, $f(x)\geq 0$, alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx\geq ....$ ;
\nouvitem si pour tout réel $x$ de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$, alors $\int_{a}^{b}f(x)\,dx .... \int_{a}^{b}g(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem Si $f$ est positive, alors, $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ est l'aire de la partie de plan comprise entre les droites d'équation $x=a$, $x=b$, $y=0$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ donc est positive.
\nouvitem Si pour tout $x$ réel de $[a;b]$, $f(x)\geq g(x)$ implique $f(x)-g(x).....0$ c'est à dire que $f-g$ est ........... D'où $\int_{a}^{b}(f(x)-g(x))\,dx..... 0$ d'après le point précédent ce qui s'écrit encore $\int_{a}^{b}f(x)\,dx.......\int_{a}^{b}g(x)\,dx$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Application à la modélisation de situations économiques}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Une \emphref{courbe de Lorenz} est une représentation graphique qui met en relation la proportion la proportion  $x$\% d'une population détentrice d'une part et la proportion $y$ \% de la part de la grandeur détenue. 

On la modélise en mathématiques par la représentation graphique une fonction $L$ définie sur $[0;1]$ qui vérifie :
\begin{itemize}
	\item[$\ast$] $L(0)=.........$ et $L(1)=........$ ;
	\item[$\ast$] $L$ est .................... et ................. sur $[0;1]$ ;
	\item[$\ast$] Pour $x\in [0;1],L(x)......x$.
\end{itemize}
\nouvitem On appelle \emphref{indice de Gini} et on note $G$ le nombre défini par $$G=....................$$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{LorenzFig.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Remarque}
L'indice de Gini varie de 0 à 1. Plus les inégalités sont grandes, plus l'indice de Gini est proche de 0.
\end{sanscadre}

\end{document}

