\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Inférence bayésienne, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Inférence bayésienne, cours, terminale, Mathématiques complémentaires}}
\end{center}


\section{Rappels sur les intersections et les réunions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ .......... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ .......... $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=.............$, on dit que $A$ et $B$ sont ........................... ou .....................
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ ........... $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ ........... $B$, c'est à dire .................... ............... des deux événements.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement ................... ............. ou ............. .............. de $A$ est l'ensemble des issues qui .................. .................. .............. 
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$.............$$
\nouvitem En particulier, si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
\nouvitem Pour tout événement $A$, 
$$.................$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescoursimgvennintersection.png}
\end{center}


\section{Notion de probabilité conditionnelle}
\pdfrowcolors{}
\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout événement $A$ non impossible et tout événement $B$, on appelle \emphref{probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$} et notée $P_A(B)$ le nombre $$...................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Lors d'un sondage, 50\% personnes des interrogées déclarent pratiquer un sport régulièrement et 75\% des
personnes interrogées déclarent aller au cinéma régulièrement. De plus, 40\% des personnes déclarent faire du sport et aller au cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et on considère les événements \og{}la personne interrogée pratique un sport régulièrement\fg{} et \og{}la personne interrogée va au cinéma régulièrement\fg{} que l'on notent $S$ et $C$ respectivement.
On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un sport régulièrement sachant qu'elle va régulièrement au cinéma.

On a $P(C)=$... et $P(S\cap C)=$.... Donc $P_C(S)=$................. .............. .
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux événements non impossibles d'un univers donné. La connaissance de la probabilité d'un événement $B$ et de la probabilité conditionnelle d'un événements $A$ sachant $B$ permet de retrouver la probabilité $P(A\cap B)$ de l'intersection de $A$ et $B$ avec la formule $$..............$$.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les événements $A$ et $B$ tels que $P(A)\neq 0$ :
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $P_A(A)=......$ ;
\nouvitem $P_A(\bar{B})=............$ ;
\nouvitem Si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles (c'est à dire ne pouvant pas se réaliser simultanément ou encore tels que $A\cap B=.........$) alors $P_A(B)=.....$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\newpage


\section{Arbre pondérés}

\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{ProbabilitesConditionnellesCoursArbre.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{onehalfspace}
Le schéma ci-dessus est appelé \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités}. Il comporte 4 \emphref{chemins} : $.........$, $...........$, $............$ et $..............$. Un \emphref{noeud} est un point d'où partent ............. ............... .
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités} comme ci-dessus,
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1 (par exemple, $P_A(B)+P_A(\bar{B})=....$) ;
\nouvitem la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches (par exemple, $P(A\cap B)=.................$) ;
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}


\section{Partitions et formule des probabilités totales}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ pour $n\geq 1$ des parties non vides d'un ensemble $E$. On dit que $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment \emphref{une partition} de $E$ si les deux conditions suivantes sont vérifiées 
\begin{itemize}
 \nouvitem $A_1\cup A_2\cup ... \cup A_n=.........$ ;
\nouvitem pout tout $i\in \{1;2;...;n\}$ et tout $j\in\{1;2;...;n\}$ avec $i\neq j$, on a $A_i\cap A_j=..........$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=5cm]{probabilitescoursTSimgpartition.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Formule des probabilités totale}
\begin{onehalfspace}
 Si $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment une partition d'un univers $E$, alors pour tout événement $B$ de l'univers $E$ :
$$.................... ..................$$
ou encore
$$.................. ....................$$
En particulier, pour tout événement $A$,
$$...................... ....................$$
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Sur l'arbre pondéré du paragraphe précédent, la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le compose (par exemple, $P(B)=............... .................$).
\end{sanscadre}



\section{Indépendance d'événements}

\begin{encadrer}{Définition}
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont \emphref{indépendants} lorsque $$.............$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$ alors $A$ et $B$ sont indépendants ;si et seulement si $P_A(B)=...........$ si et seulement si $P_B(A)=............$, ce qui signifie que la probabilité que l'un des deux événements se réalise...................................... de la probabilité que l'autre se réalise.
\end{encadrer} 


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$ sont ....................... et  $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont ....................... .
\end{encadrer}

\section{Formule de Bayes}

\begin{encadrer}{Propriété, formule de Bayes}
Soient $A$ et $B$ deux événements de probabilités non nulles. On a :
$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
On a $P(A)P_{A}(B)=$................... et $P(B)P_{B}(A)=$....................\\
donc $P(A)P_{A}(B)=P(B)P_{B}(A)$\\
et $P_{B}(A)=$.......................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Conséquence}
Soient $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ une partition de l'univers et $B$ un événement non nul. Alors, pour tout entier $i$ entre 1 et $n$, on a :
$$...$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Découle immédiatement de la formule de Bayes et de la formule des probabilités totales.
\end{sanscadre}

\end{document}

