\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[left=2.5cm,right=2.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{color,epic,eepic}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{setspace}

\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

%\setlength\textwidth{17cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{24.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0cm} 

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{15cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}


\newcommand{\limg}[2]{\lim_{#1_{\stackrel{\rightarrow}{<}}#2}}
\newcommand{\limd}[2]{\lim_{#1_{\stackrel{\rightarrow}{>}}#2}}


\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Limites de fonctions, cours, terminale, mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Limites de fonctions, cours, terminale, mathématiques complémentaires}}
\end{center}




\section{Limites finies à l'infini}

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $[a;+\infty [$ ou $]-\infty;a]$ suivant le cas avec $a\in \mathbb{R}$.

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $l$ un réel.
$f$ admet pour limite $l$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si pour tout intervalle contenant $l$, il existe un réel $x_0$ tel que pour tous les réels $x$ supérieurs à $x_0$ (resp. pour tous les réels $x$ inférieurs à $x_0$) , $f(x)$ appartient à cet intervalle.
On note alors .................... ................ (resp. ................. ..............).

On dit aussi que $f(x)$ tend vers $l$ quand $x$ tend vers $+\infty$ (resp. tend vers $-\infty$).
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=15cm]{LimitesFiniesVisualisation.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=....$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=....$
\nouvitem Pour tout entier naturel $k>0$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x^k}=....$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x^k}=....$
\nouvitem
Pour tout entier naturel non nul $k$, $\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x-k}=.....$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x-k}=....$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty} e^x=...$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $l\in \mathbb{R}$ et soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère.

On dit que la droite d'équation $y=l$ est \emphref{asymptote horizontale} à la courbe $\mathcal{C}$ en $+\infty$ (resp. $-\infty$) si ............ ............. ............... (resp. ............. .................. ................).
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
$\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{x}=.....$ et $\lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{x}=....$ donc la droite d'équation .......... est une asymptote horizontale à l'hyperbole en $+\infty$ et en $-\infty$.
\end{sanscadre}


\section{Limites infinies à l'infini}

\begin{encadrer}{Définition} 
$f$ admet pour limite $+\infty$ en $+\infty$ (resp.  $-\infty$ en $+\infty$) si pour tout intervalle $]M;+\infty[$ (resp. $]-\infty; M]$) où $M$ est un réel, il existe un réel $x_0$ tel que pour tous les réels $x$ supérieurs à $x_0$, $f(x) \in ]M;+\infty[$ (resp. $f(x)\in ]-\infty;M]$).

On note alors ................ ............... (resp. ................. ..................).

On dit aussi que $f(x)$ tend vers $+\infty$ (resp. tend vers $-\infty$) quand $x$ tend vers $+\infty$ .
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On définit de même les limites en $-\infty$.
\end{sanscadre}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{5cm}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Limites et monotonie ne sont, en général, pas liées.\\
On peut montrer que pour la fonction :\\
$f:x\mapsto x+\cos(x)$ \\
on a :
$\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$\\
et $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=-\infty$\\
mais que cette fonction n'est pourtant pas croissante.\\
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{11cm}
\includegraphics[width=10cm]{fonctionsLimitesCoursVisualisationInfiniEnInfiniFig.png}
\end{minipage}
\end{tabular}



\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tout entier naturel $k$ non nul,
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x \rightarrow +\infty}x^k=......$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}x=......$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^2=......$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^3=......$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}\sqrt{x}=......$
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=....$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\section{Limites en un réel}

On considère dans ce paragraphe une fonction $f$ définie sur un ensemble $D_f$ et $a\in D_f$ où $a$ est l'extrémité d'un intervalle de $D_f$.

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ admet pour limite  à droite $l\in\mathbb{R}$ (resp. $+\infty$) en $a$ si
pour tout intervalle $]u;v[$ contenant $l$ il existe un réel $x_0>a$ tel que pour tout $x\in ]a;x_0[$ on a $f(x)\in ]u;v[$ (resp. si pour tout intervalle $]u;+\infty[$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x\in ]a;x_0[$ on a $f(x)\in ]u;+\infty[$).

On note alors ................... ..................... (resp. .................... ..................).

\nouvitem $f$ admet pour limite à gauche $l\in \mathbb{R}$ (resp. $+\infty$) en $a$ si pour tout intervalle $]u;v[$ contenant $l$, il existe un réel $x_0<a$ tel que pour tout $x\in ]x_0;a[$ on a $f(x)\in ]u;v[$ (resp. si pour tout intervalle $]u;+\infty[$, il existe $x_0$ tel que pour tout $x\in ]x_0;a[$ on a $f(x)\in ]u;+\infty[$).

On note alors ..................... ........................ (resp. ........................ ........................).

\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{9cm}
$\limd{x}{0} \frac{1}{x}=....$\\
et $\limg{x}{0} \frac{1}{x}=...$.\\

L'hyperbole admet donc la droite d'équation $x=0$, c'est à dire l'axe des ordonnées, pour asymptote verticale.
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=5cm]{fonctionsLimitesCoursExempleInverseFig.png}
\end{minipage}
\end{tabular}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ un réel, $\mathcal{C}$ la courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère. On dit que la droite d'équation $x=a$ est \emphref{asymptote verticale} à $\mathcal{C}$ si .................... .................. ................... .................... .
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
On dit que $f$ admet pour limite $+\infty$ en $a$ lorsque pour tout intervalle de la forme $]u;+\infty[$, contient toutes les valeurs de $f(x)$ dès que $x$ est assez proche de $a$. On écrit $\lim_{x\mapsto a}f(x)=+\infty$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On définit de même $\lim_{x\mapsto a}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\mapsto a}f(x)=l$ où $l$ est un réel.
\end{sanscadre}



\section{Opérations sur les limites}

Dans ce qui suit, $a$ est un réel ou $a=+\infty$ ou $a=-\infty$.

\begin{sanscadre}{Propriétés}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ & $l\in\mathbb{R}$ & $l\in \mathbb{R}$ & $l\in \mathbb{R}$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ & $l'\in\mathbb{R}$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}(f+g)(x)$ & .......... & .......... & .......... & ........... & .......... & ........... \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ & $l\in\mathbb{R}$ & $l\in \mathbb{R}*$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $0$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ & $l'\in\mathbb{R}$ & $\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ & $\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}(fg)(x)$ & ...... & ...... & ..... & ..... & ..... \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow -\infty} 3x^2 + \frac{1}{x}$.\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty} 3x^2=$.... et $\lim_{x\rightarrow -\infty} \frac{1}{x}=$....\\
Donc par somme $ \lim_{x\rightarrow -\infty}3x^2+\frac{1}{x}=$...
\nouvitem $\lim_{x \rightarrow -\infty} 2x^2+3x+5$.\\
$2x^2+3x+5=$.....\\
$\lim_{x\rightarrow -\infty}$ ........................ =.......\\
et $\lim_{x\rightarrow -\infty}$ .............. = .......\\
D'où par somme .....
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction telle que $f=\frac{g}{h}$ où $g$ et $h$ sont deux autres fonctions. Si $g$ tend vers ............. ............. .............. et $h$ tend vers 0 en un réel $a$, alors $f$ tend vers ................ , le signe restant à déterminer.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\'Etude des limites en 1 de $x\mapsto \frac{3x+2}{x-1}$ :\\ 
 $\limd{x}{1} 3x+2=....$ et $\limd{x}{1} x-1=.....$.\\
$\limg{x}{1} 3x+2=.....$ et $\limg{x}{1} x-1=.....$.\\
donc
$\limd{x}{1} \frac{3x+2}{x-1}=........$ et $\limg{x}{1} \frac{3x+2}{x-1}=......$\\
D'où la droite d'équation ........ est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Propriétés}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}f(x)$ & $l\in\mathbb{R}$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $l\in\mathbb{R}$ & $l\in\mathbb{R*}$ & 0 & $\infty$ \\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}g(x)$ & $l'\in\mathbb{R*}$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & 0 & 0 & $l\in\mathbb{R}^{*}$\\
\hline
$\lim_{x\rightarrow a}\frac{f}{g}(x)$ & .......... & ............ & ........ & .......... & ........... & .............. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
limite en $+\infty$ de $f$ définie par $f(x)=\frac{4x^2+3}{x+2}$ pour $x\in ]-2;+\infty]$.\\
On a $\lim_{x\mapsto +\infty}4x^2+3=$.... et $\lim_{x\mapsto +\infty}x+2=$.... d'où une indétermination à lever.\\
Or $f(x)=....$\\

\noindent On a $\lim_{x\mapsto +\infty}4+\frac{3}{x^2}=$....\\
d'où $\lim_{x\mapsto +\infty}x(4+\frac{3}{x^2})=$....\\
Comme $\lim_{x\mapsto+\infty} 1+\frac{2}{x}=$....,\\
on a donc $\lim_{x\mapsto +\infty}f(x)=$.....
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}




\section{Application à la définition de la continuité d'une fonction}

\subsection{Notion de continuité}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle  $I$ et $a$ un nombre réel de $I$.
\begin{itemize}
 \nouvitem La fonction $f$ est dite \emphref{continue en $a$} si elle admet en $a$ ............ ............. ................ ............., c'est  à dire si ................................ .
\nouvitem $f$ est dite \emphref{continue sur $I$} si elle est continue en tout réel $a\in I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{tabular}{cc}
\begin{minipage}{10cm}
\begin{sanscadre}{Exemple : la fonction partie entière notée E}
On appelle fonction partie entière la fonction sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout réel $x$, $E(x)$ est l'unique entier $n$ tel que $n\leq x<n+1$ 
La fonction $E$ est continue sur tout intervalle de la forme .................. où $n$ est un entier relatif mais pas en ........ .
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&
\begin{minipage}{5cm}

\begin{center}
\includegraphics[width=5cm]{limitesContinuiteCoursPartieEntiere.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}

\newpage


\subsection{Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires à des intervalles quelconques}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Le théorème des valeurs intermédiaires et son corollaires admettent, entre autres, les généralisations suivantes :

\begin{itemize}
\nouvitem Si $I=[a;+\infty[$ et $\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=.........$ alors pour tout réel $k\geq f(a)$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans l'intervalle $[a;+\infty[$. Corollaire : si, de plus, $f$ est ................. ...................., alors il y a unicité de la solution.
\nouvitem Si $I=[a;b[$ et $\lim_{x\rightarrow b}f(x)=l$ avec $l$ réel, alors pour tout réel $k$ compris entre ......... et ....... l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a;b[$. Corollaire : si de plus $f$ est .................. ........................., alors il y a unicité de la solution.
\nouvitem Si $I=[-\infty;b[$, $\lim_{x\rightarrow -\infty}f(x)=......$ et $\lim_{x\rightarrow b}f(x)=.....$ alors pour tout réel $k<l$, l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans l'intervalle $]-\infty;b[$. Corollaire : si de plus, $f$ est ................. ...................., alors il y a unicité de la solution. 
\end{itemize}
\end{encadrer}
\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{ccc}
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ & $a$ & & $c$ & & $+\infty$ \\
   \hline
   &  & &  & & .... \\

  & & & & $\nearrow$ &  \\

  $f$ & & & $k$ &  & \\

  & & $\nearrow$ & & & \\

  & ..... & & & & \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
&
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ & $a$ & & $c$ & & $b$ \\
   \hline
   &  & &  & ..... & || \\

  & & & & $\nearrow$ &  || \\

  $f$ & & & $k$ &  & || \\

  & & $\nearrow$ & & & || \\

  & ..... & & & & || \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
&
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ & $-\infty$ & & $c$ & & $b$ \\
   \hline
   & .... & &  & &  || \\

  & & $\searrow$ & & & ||  \\

  $f$ & & & $k$ &  & || \\

  & &  & & $\searrow$ & || \\

  & & & &  ...... & || \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
\'Etude du nombre de solution de l'équation $x^5=k$ où $k$ est un réel fixé :\\
Soit $f$ définie par $f(x)=x^5$ sur $]-\infty ; +\infty[$.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est ........................... donc continue sur $]-\infty;+\infty[$ ;
\nouvitem pour tout réel $x$, $f'(x)=$................ donc $f'(x)..... 0$ et $f'(x)....0$ pour tout réel $x$ non nul donc  $f$ est ....................... ......................... sur $]-\infty;+\infty[$ ;
\nouvitem $\lim_{x\rightarrow +\infty}x^5=$...... et $\lim_{x\rightarrow -\infty}x^5=$....... .
\end{itemize}
Donc d'après une conséquence du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $x^5=k$ admet ................ .................... ....................... sur $\mathbb{R}$.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}
\end{document}
