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\title{Fonction logarithme népérien, terminale, mathématiques complémentaires}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Fonction logarithme népérien, terminale, mathématiques complémentaires}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Définition et propriétés algébriques}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{logarithme népérien} et on note \emphref{$\ln$} la fonction qui à tout réel $x$ \emph{strictement positif} associe l'unique réel $y$ tel que $e^y=x$\\
On a donc pour tout $x>0$ et tout $y$ réel, $\ln(x) = y$ si et seulement si $e^y=x$.
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$ ;
\nouvitem pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$;
\nouvitem $\ln(1)=0$ et $\ln(e)=1$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété (équation fonctionnelle)}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $e^{\ln(a)+\ln(b)}=.......$\\
$\ln(a)+\ln(b)$ est donc une solution de l'équation ............... .\\
Or par définition de $\ln$, l'unique solution de cette équation est $\ln(ab)$.\\
D'où $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, 
\begin{itemize}
\nouvitem $\ln(\frac{1}{a})=-\ln(a)$ ;
\nouvitem $\ln(\frac{a}{b})=\ln(a)-\ln(b)$ ;
\nouvitem pour tout entier relatif $n$, $\ln (a^n)=n\ln{a}$ ;
\nouvitem $\ln (\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln(a)$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem D'une part, $\ln(a\times\frac{1}{a})=\ln(1)=0$.

D'autre part, $\ln(a\times\frac{1}{a})=\ln(a)+\ln(\frac{1}{a})$

Donc $\ln(a)+\ln(\frac{1}{a})=0$ et $\ln(\frac{1}{a})=-\ln(a)$.

\nouvitem $\ln(\frac{a}{b})=\ln(a\times\frac{1}{b})=\ln(a)+\ln(\frac{1}{b})=\ln(a)-\ln(b)$ d'après ce qui précède.
\nouvitem Admise.
\nouvitem $\ln(a)=\ln(\sqrt{a}\times\sqrt{a})=\ln(\sqrt{a})+\ln(\sqrt{a})=2\ln(\sqrt{a})$. D'où le résultat.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadresansflush}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem $\ln (65536)=\ln (2^{16})=16 \ln (2)$ ;
\nouvitem $\ln (81)=\ln (3^4)=4\ln (3)$;
\nouvitem $\ln(81\times 65536)=\ln(81)+\ln(65536)=16\ln(2)+4\ln(3)$;
\nouvitem $\ln (1/10^8)=-8\ln (10)=-8\ln(2)-8\ln(5)$ ;
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush} 

\section{\'Etude de la fonction logarithme népérien}


\subsection{Dérivabilité et variations}

\begin{encadrer}{Propriété}
 La fonction $\ln$ est dérivable sur $]0;+\inf[$ et $$\ln'(x)=\frac{1}{x}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Dérivabilité admise. Pour montrer la formule on part de $e^{\ln(x)}=x$ pour tout $x>0$.\\
En dérivant on obtient( en tenant compte de la fonction composée de la forme $e^u$), $(\ln(x))'e^{\ln(x)}=1$ donc $(\ln(x))'x=1$ donc $(\ln(x))'=\frac{1}{x}$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ définie par $f(x)=3\ln(x) + \frac{8}{x}$ pour tout réel $x$ strictement positif.\\
On a $f'(x)=\dfrac{3}{x}-\dfrac{8}{x^2}$ pour tout réel $x$ strictement positif.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On utiliser le fait que la dérivée soit $x\mapsto \frac{1}{x}$ qui est positif. 
\end{sanscadre}

\subsection{\'Egalités et inégalités}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs,
 \begin{itemize}
  \nouvitem $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si $a=b$ ;
  \nouvitem $\ln(a)<\ln(b)$ si et seulement si $a<b$.
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem $\ln(a)=\ln(b)$ si et seulement si $e^{\ln(a)}=e^{\ln(b)}$ si et seulement si $a=b$.
\nouvitem $\ln(a)<\ln(b)$ si et seulement si $e^{\ln(a)}<e^{\ln(b)}$ si et seulement si $a<b$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemples de résolution d'équations et d'inéquations}
\begin{itemize}
\nouvitem $e^{x}=2$ équivaut à $x=\ln(2)$ ;
\nouvitem Résolution de $\ln(3x+4)=5$ :\\
On cherche d'abord l'ensemble de définition : $3x+4>0$ équivaut à $x>\frac{-4}{3}$ donc l'ensemble de définition est $]\frac{-4}{3};+\infty[$.\\
On résout ensuite l'équation dans $]\frac{-4}{3};+\infty[$ :\\
$\ln(3x+4)=5$ équivaut à $e^{\ln(3x+4)}=e^5$ c'est à dire $3x+4=e^5$ donc $x=\frac{e^5-4}{3}$.\\
On vérifie que la solution obtenue est bien dans l'ensemble de définition : $\frac{e^5-4}{3}\in ]\frac{-4}{3};+\infty[$.\\
L'unique solution est donc $\frac{e^5-4}{3}$.
\nouvitem Résolution de $3\ln(x) + 5 = 7$.\\
L'ensemble de définition est $]0;+\infty[$.\\
On isole $\ln$ : $3\ln(x) = 2$\\
et $\ln(x) = \frac{2}{3}$\\
On applique l'exponentielle : $e^{\ln(x)}=e^{\frac{2}{3}}$\\
D'où $x=e^{\frac{2}{3}}$\\
Il y a donc une unique solution $e^{\frac{2}{3}}$.
\nouvitem Résolution de $\ln(3x+4)<5$ :\\
On cherche d'abord l'ensemble de définition : on a vu précédemment qu'il s'agit de $]\frac{-4}{3};+\infty[$. \\
On résout ensuite l'inéquation dans cet ensemble de définition :\\
$\ln (3x+4)<5$ équivaut à $e^{\ln(3x+4)}<e^5$ donc à $3x+4<e^5$ et à $x<\frac{e^5-4}{3}$.\\
L'ensemble des solutions est l'intersection de l'ensemble déterminé par l'inéquation et par l'ensemble de définition : $]\frac{-4}{3};+\infty[\cap ]-\infty;\frac{e^5-4}{3}[=]\frac{-4}{3};\frac{e^5-4}{3}[$.
\nouvitem Résolution de $3e^x>5$ :\\
L'ensemble de définition est $\mathbb{R}$.\\
On isole l'exponentielle : $e^x>\frac{5}{3}$\\
On résout en appliquant $\ln$ : $\ln(e^x)>\ln(\frac{5}{3})$\\
D'où $x>\ln(\frac{5}{3})$\\
L'ensemble des solutions est donc $]\ln(\frac{5}{3});+\infty[$.
\nouvitem Résolution de $0,8^{n}<0,2$ :\\
$0,8^{n}<0,2$ équivaut à $\ln(0,8^n)<\ln(0,2)$ donc à $n\ln(0,8)<\ln(0,2)$\\
c'est à dire à $n>\frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}$ car on multiplie par $\ln(0,8)$ qui est négatif.\\
D'où $n\geq 8$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\subsection{Limites}

\begin{encadrer}{Propriété}
On a $\lim_{x\mapsto+\infty}\ln (x)=+\infty$ et $\lim_{x\mapsto 0^{+}}\ln (x)=-\infty$.

La droite d'équation $x=0$ est donc une asymptote verticale à la courbe en 0.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Soit $M$ un réel. Pour tous les réels $x$ tels que $x>e^M$ (il en existe car $\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x=+\infty$),la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$ donc $\ln(x)>\ln(e^M)$ d'où $\ln(x)>M$. La fonction $\ln$ a donc bien pour limite $+\infty$ en $+\infty$.\par
\noindent Pour $x>0$, on pose $X=\frac{1}{x}$. Alors $\ln(x)=\ln(\frac{1}{X})=-\ln(X)$. Or $\lim_{x\rightarrow 0,x>0}X=+\infty$. Or $\lim_{X\rightarrow +\infty}(-\ln(X))=-\infty$ donc $\lim_{x\rightarrow 0}\ln(x)=-\infty$.
\end{sanscadre}



\subsection{Tableau de variation}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & 0 & & $+\infty$\\
\hline
$\ln'(x)$ & $\left\| \right.$ & + & \\
\hline
 & $\left\| \right.$ & & $+\infty$ \\
$\ln(x)$ & $\left\| \right.$  & $\nearrow$ & \\ 
 & $\left\| \right.$ $-\infty$ & & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
 \subsection{Tableau de signe}
 
 \begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
 \hline
 $x$ & 0 & & 1 & & $+\infty$ \\
 \hline
 $\ln(x)$ & $\left\| \right.$ & - & 0 & + & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}

 

 \subsection{Représentation graphique}
 
 On parle de \emphref{croissance logarithmique} pour décrire une telle évolution.

\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{lncoursTSTGimg1.pdf}
\end{center}

\subsection{Dérivation de fonctions composées avec ln}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Si $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$, alors la fonction composée $\ln(u)$ est définie et dérivable sur $I$ et on a :
$$(\ln(u))' =\frac{u'}{u}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\ln(4x^2+5)$.\\
Alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x) = \dfrac{8x}{4x^2+5}$.
\end{sanscadre}

\subsection{\'Etude de la convexité}

\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction $\ln$ est \emphref{concave} sur $]0; +\infty[$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
La dérivée seconde de $\ln$ est donnée par $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$ qui est négative sur $]0;+\infty[$.
\end{sanscadre}

\end{document}
