
\documentclass[12pt]{article}

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% environnements pour propriétés, théorèmes, exemples...
\newenvironment{encadrer}[1]{ \begin{minipage}[c]{15cm}\begin{onehalfspace} \noindent \textbf{#1 :} \par }{\end{onehalfspace}\end{minipage}\bigskip\par}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\begin{minipage}{15cm}\begin{onehalfspace}\vspace{0.2cm}\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par\end{onehalfspace}\end{minipage}}

\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]} %nouvelle puce à l'américaine
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}} % amélioration de la mise en évidence
\newcommand{\cadre}[1]{\shadowbox{#1}} % boîtes de propriétés



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonctions convexes, cours, classe de terminale, Mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Fonctions convexes, cours, classe de terminale, Mathématiques complémentaires}}
\end{center}



\section{Convexité}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et soit $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans un repère.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est dite \emphref{convexe} sur $I$ si sa courbe représentative est .................... .... toutes ses sécantes sur I. 
\nouvitem $f$ est dite \emphref{concave} sur $I$ si sa courbe représentative est ................................... de toutes ses sécantes sur I.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[width=7cm]{convexiteSecantesFig.png}
&
\includegraphics[width=7cm]{concaviteSecantesFig.png}
\\
Sécantes et ..................... & Sécantes et ..................\\

\end{tabular}
\end{center}

\section{Convexité et dérivabilité}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est convexe  sur $I$

si et seulement si sa courbe représentative dans un repère et entièrement située ............................. de chacune de ses tangentes 

si et seulement si sa fonction dérivée $f'$ est .......................... sur $I$.
\nouvitem $f$ est concave sur $I$

si et seulement si sa courbe représentative dans un repère du plan est entièrement située ........................... de chacune de ses tangentes 

si et seulement si sa fonction dérivée $f'$ est ............................ sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[width=7cm]{convexiteTangentesFig.png}
&
\includegraphics[width=7cm]{concaviteTangentesFig.png}
\\
Tangentes et .................... & Tangentes et ................\\

\end{tabular}
\end{center}
\begin{sanscadre}{Preuves}
Admises
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
$f$ est convexe sur $I$ si et seulement ............ est concave sur $I$.
\end{encadrer}
}

\section{Dérivée seconde}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$ et dont la fonction dérivée $f'$ est aussi dérivable sur $I$. On appelle \emphref{dérivée seconde} de $f$ et on note $f''$ la fonction dérivée de f' sur $I$ c'est à dire la fonction définie par $f''=(f')'$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple [Calcul de la dérivée seconde d'une fonction]}
\begin{onehalfspace}
Soit $f$ définie par $f(x)= 5x^3+3x^2-2x+9$.\\
$f$ est dérivable sur $]-\infty;+\infty[$ et $f'(x)=$........\\
$f'$ est dérivable sur $]-\infty;+\infty[$ et $f''(x)=$...........
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction définie et deux fois dérivable sur I.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f''$ est ......................... sur $I$ ;
\nouvitem $f$ est concave sur $I$ si et seulement si $f''$ est ......................... sur $I$.
\end{itemize}
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
\begin{onehalfspace}
Soit $x_0\in I$. On considère la tangente à la courbe représentative de $f$ en $x_0$. Elle a pour équation ..............................\\
Il s'agit de montrer que la courbe est au dessus de cette tangente pour tout réel $x\in I$.\\
On considère donc la fonction différence $d$ définie sur $I$ par $d(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.\\
$d$ est deux fois dérivable sur $I$ et : 
$d'(x)=$............\\
$d''(x)=$...........\\
Comme $f''$ est ..................... sur $I$, $f'$ est ...................... sur $I$.\\
On a donc, compte tenu du fait que $d(x_0)=f(x_0)-f'(x_0)(x_0-x_0)-f(x0)=$...... :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & $a$ &  $x_0$ &  $b$ \\
\hline
signe $d''(x)$ & ..... & & ..... \\
\hline
variations $d'(x)$ & ...... & &...... \\
& ...... & ...... & ......\\
 & ...... & ...... & ...... \\
\hline
signe $d'(x)$ & ...... & ...... & ...... \\
\hline
variations $d$ & ...... &  ...... & ...... \\
& ..... & ..... & ...... \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
D'où pour tout $x\in I$, $d(x)\geq ...$ ce qui signifie que la courbe représentative de $f$ est toujours ............................. de sa tangente en $x_0$.\\
On démontre de même le deuxième point.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Un \emphref{point d'inflexion} est un point où la représentation graphique d'une fonction ................ ......................... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Le point de coordonnées ................. est un point d'inflexion pour la représentation graphique de la fonction cube.
\end{sanscadre}

\cadre{
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $x_0$ un réel de $I$. Si $f''$ s'annule en changeant de signe pour $x=x_0$, alors la représentation graphique de $f$ admet un point d'inflexion de coordonnées .................... .
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Preuve}
On considère à nouveau la fonction $d$ définie sur $I$ par $d(x)=f(x)-(f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.\\
$d$ est deux fois dérivable sur $I$ et : 
$d'(x)=f'(x)-f'(x_0)$\\
$d''(x)=f''(x)$\\
$f''$ change de signe en $x_0$.\\
On peut supposer que $f$ est négative avant $x_0$ et positive après, la démonstration étant identique dans l'autre cas.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & $a$ &  $x_0$ &  $b$ \\
\hline
signe $d''(x)$ & - & 0 & + \\
\hline
variations $d'(x)$ & $\searrow$ & &$\nearrow$ \\
& & $0$ & \\
 & & & \\
\hline
signe $d'(x)$ & + & 0 & + \\
\hline
variations $d$ & & & $\nearrow$ \\
& & 0 & \\
& $\nearrow$ & & \\
\hline
signe $d(x)$ & - & 0 & + \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
Ce qui montre la courbe est en dessous de sa tangente avant $x_0$ et au dessus après.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2$.\\
On a $f'(x)=$............\\
et $f''(x)=$......\\
$f''(x)\geq 0$ si et seulement si $x\geq .....$ .\\
La courbe représentative de $f$ dans un repère du plan admet donc un point d'inflexion au point d'abscisse 1.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}
\begin{center}
\includegraphics[width=6cm]{pointInflexionFig.png}
\end{center}
\end{document}
