<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}
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\title{Compléments sur la dérivation, cours,  terminale, mathématiques complémentaires}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Compléments sur la dérivation, cours, classe de terminale, mathématiques complémentaires}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}


\begin{center}
{\LARGE \textbf{Compléments sur la dérivation, cours, terminale, mathématiques complémentaires}}
\end{center}


\section{Fonction dérivée, tangente}


\begin{encadrer}{Définitions}
 Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ contenant $a$. 
 Dire que $f$ est dérivable en $a$ de nombre dérivé $f'(a)$, signifie que le taux d'accroissement ....................... tend vers $f'(a)$ quand $h$ tend vers 0.
Lorsque $f$ est dérivable en tout réel $a$ de $I$, $f$ est dite dérivable sur $I$ et $f':x\mapsto f'(x)$ pour tout $x\in I$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur $I$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
On définit de même la dérivée seconde $f''$ comme dérivée de $f'$, puis la dérivée troisième $f^{(3)}$ et ainsi de suite.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
 Dire que $f$ est dérivable en $a$, signifie que la courbe représentative de $f$ dans un repère admet au point $A$ de coordonnées $(a;f(a))$ une tangente $\mathcal{T}$ de coefficient directeur $f'(a)$.\\
L'équation de la tangente $\mathcal{T}$ est alors : $$...$$
\end{encadrer}

\begin{tabular}{lr}
\begin{minipage}{8cm}
\begin{sanscadre}{Preuve}
$f'(a)$ étant le coefficient directeur, l'équation réduite de la tangente est de la forme ....................... où $p$ est un réel.\\
Comme $A(a;f(a))$ appartient à la tangente, on a donc ....................\\
D'où on déduit que $p=$......................... .\\
D'où l'équation ..............................\\
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir déterminer l'équation réduite d'une tangente]}
Soit $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$.\\
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=$............ .\\
$f(3)=$.............. et $f'(3)=$.......... .\\
L'équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 3 est donc ....................................... \\
c'est à dire ....................... \\
donc ..............................
\end{sanscadre}
\end{minipage}
&amp;
\begin{minipage}{9cm}
\begin{center}
 \includegraphics[width=9cm]{nombrederivecoursimg1.png}
\end{center}
\end{minipage}
\end{tabular}


\section{Dérivation de fonctions}

\subsection{Dérivées de fonctions usuelles}
\begin{doublespace}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$f(x)$ &amp; expression de $f'(x)$ &amp; ensemble de dérivabilité $\mathcal{D}_{f'}$\\
\hline
$k$ &amp; .... &amp; $\mathbb{R}$\\
\hline
$x$ &amp; .... &amp; $\mathbb{R}$ \\
\hline
$mx+p$ &amp; .... &amp; $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^2$ &amp; .....&amp; $\mathbb{R}$ \\
\hline
$x^n$ &amp; ...... &amp; $\mathbb{R}$ \\
\hline
$\frac{1}{x}$ &amp; ......... &amp; $\mathbb{R}^{*}$ \\
\hline
$\sqrt{x}$ &amp; .................. &amp; $]0;+\infty [$\\
\hline
$\frac{1}{x^n}$ &amp; $-n\frac{1}{x^{n+1}}$ &amp; $\mathbb{R}^{*}$ \\
\hline
$e^x$ &amp; $e^x$ &amp; $\mathbb{R}$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{doublespace}


\subsection{Opérations sur la dérivation}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ et $k$ un réel.
Alors $u+v$, $ku$, $uv$ sont dérivables sur $I$, $\frac{u}{v}$ est dérivable pour tout $a\in I$ tel que $v(a)\neq 0$ et :
\begin{doublespace}
$$(u+v)'=....$$
$$(ku)'=....$$
$$ (uv)'=....$$
$$ (\dfrac{u}{v})'=....$$
$$ (\dfrac{1}{v})'=....$$
\end{doublespace}
 \end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer la fonction dérivée d'une fonction]}
Soit $f$ la fonction définie sur $]-1;+\infty[$ par $f(x)=\frac{4x-3}{x+1}$.\\
$f$ est dérivable sur $]-1;+\infty[$ comme quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas et on a :\\
\begin{onehalfspace}
$f'(x)=\dfrac{u'v-v'u}{v^2}(x)$ avec $u(x)=4x-3$, $u'(x)=$............, $v(x)=x+1$, $v'(x)=$...............\\
Donc $f'(x)=$....................
................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\section{Dérivation de fonctions composées}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Soient $a$ et $b$ deux réels et $J$ l'ensemble des réels $x$ tels que $ax+b\in I$. Alors la fonction $g:x\longmapsto f(ax+b)$ est dérivable sur $J$ et pour tout $x$ réel de $J$,
$$.....................$$
En particulier,
$$.............................$$
$$.............................$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
 \nouvitem Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(4x-5)^2$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et : \\
$g'(x)=..........$.
\nouvitem Soit $h$ la fonction définie sur $I=]\frac{-1}{3};+\infty[$ par $h(x)=5\sqrt{3x+1}$. $h$ est dérivable sur $I$ et :\\
$h'(x)=..............$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $u$ une fonction définie et dérivable sur un intervalle $I$.
\begin{itemize}
\nouvitem La fonction $u^2$ définie par $x\mapsto u'(x)^2$ est  dérivable sur $I$ et :
$$....$$

\nouvitem La fonction $e^u$ définie par $x\mapsto e^{u(x)}$ est dérivable sur $I$ est :
$$....$$

\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [savoir calculer la fonction dérivée d'une fonction composée]}
Soit g la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=(5x^4+7)^2$. $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :\\
$...........$
\end{sanscadre}


\newpage


\section{Notion intuitive de continuité}

\begin{encadrer}{Définition intuitive}
Une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ est continue sur $I$ si .............. ................. .................. .................. ...................
\end{encadrer}

\pdfrowcolors{}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 Ci-dessous la fonction $f$, définie par $f(x)=(x+2)(x-1)(x+3)$ sur $\mathbb{R}$, est continue sur $]-\infty;+\infty[$ alors que la fonction $g$ définie sur $]-\infty;-1]$ par $g(x)=f(x)$ et sur $]-1;+\infty[$ par $g(x)=f(x)-1$ n'est pas continue en ..... .
\begin{center}
 \begin{tabular}{cc}
  \includegraphics[width=6cm]{continuitecoursTSimgfonctioncontinue.png} &amp; \includegraphics[width=6cm]{continuitecoursTSimgfonctionnoncontinue.png} \\
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriétés (admises)}
\begin{itemize}
\nouvitem Les fonctions affines, polynômes, inverse, racine carrée, valeur absolue sont continues sur leur ensemble de définition.
\nouvitem Si une fonction est ...................... sur un intervalle $I$, alors elle est continue sur cet intervalle.
\end{itemize}
\end{encadrer}



\begin{sanscadre}{Remarque}
La réciproque n'est pas vraie : la fonction valeur absolue est continue sur $]-\infty;+\infty[$ mais n'est pas dérivable en 0.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Convention}
Une flèche dans le tableau de variations d'une fonction $f$ indique :
\begin{itemize}
\nouvitem la stricte croissance ou stricte décroissance de $f$ sur l'intervalle correspondant ;
\nouvitem la continuité de la fonction $f$ sur cet intervalle.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Théorème des valeurs intermédiaires (admis)}
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ et $b$ deux réels de $I$. Pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, ..................... .............. .................. ................. .................. ................. .
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Conséquence, corollaire du théorème des valeurs intermédiaires}
Si de plus $f$ est \emph{strictement monotone} sur $I$, alors pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, ..................... ................. .................... ................... ....................... .
\end{encadrer}


\pdfrowcolors{}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ &amp; $a$ &amp; &amp; $c$ &amp; &amp; $b$ \\
   \hline
   &amp;  &amp; &amp;  &amp; &amp; $f(b)$ \\

  &amp; &amp; &amp; &amp; $\nearrow$ &amp;  \\

  $f$ &amp; &amp; &amp; $k$ &amp;  &amp; \\

  &amp; &amp; $\nearrow$ &amp; &amp; &amp; \\

  &amp; $f(a)$ &amp; &amp; &amp; &amp; \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
&amp;
 \begin{minipage}{6cm}
  \begin{tabular}{|c|ccccc|}
   \hline
  $x$ &amp; $a$ &amp; &amp; $c$ &amp; &amp; $b$ \\
   \hline
   &amp; $f(a)$ &amp; &amp;  &amp; &amp; \\

  &amp; &amp; $\searrow$ &amp; &amp; &amp;  \\

  $f$ &amp; &amp; &amp; $k$ &amp;  &amp; \\

  &amp; &amp; &amp; &amp; $\searrow$ &amp; \\

  &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; $f(b)$ \\
\hline
  \end{tabular}
 \end{minipage}
\end{tabular}
\end{center}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir utiliser le théorème des valeurs intermédiaires]}
 Montrons que l'équation $x^3=0,5$ admet une unique solution sur $[0 ; 1]$. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^3$ sur $[0;1]$.
\begin{itemize}
\nouvitem $f$ est ............................ donc continue sur $[0;1]$ ;
\nouvitem $f'(x)=$............... donc $f'(x)$ est de signe ............ pour tout réel $x$ de $[0 ; 1]$ donc $f$ est .............................. .................................. sur $[0;1]$ ;
\nouvitem $f(0)=$...... et $f(1)=$......... .
\end{itemize}
Donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=0,5$ admet une unique solution sur $[0 ;1]$.
\end{sanscadre}
\end{document}</pre></body></html>