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\title{Probabilités, variables aléatoires, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}


\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Probabilités, variables aléatoires, cours, classe de terminale STMG}}
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\begin{center}
{\LARGE \textbf{Probabilités, variables aléatoires, cours, terminale STMG}}
\end{center}



\section{Loi de probabilité de variables aléatoires}


\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $E$ l'univers associé à une expérience aléatoire, c'est à dire l'ensemble des issues possibles. Toute fonction définie sur $E$ et à valeurs dans $\mathbb{R}$ est appelée une \emphref{variable aléatoire}.
\end{encadrer}
}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $X$ une variable aléatoire définie sur l'univers $E$ d'une expérience aléatoire. Notons $I$ l'ensemble des valeurs prises par $X$, $I=\{x_1;x_2;\ldots ;x_n\}$, et $p_i$ la probabilité de l'événement \og $X$ prend la valeur $x_i$ \fg , événement noté $(X=x_i)$.\\
La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est la fonction définie sur $I$ qui, à chaque valeur $x_i$, associe le nombre $p(X=x_i)$.
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Notation}
 On présente souvent la loi de probabilité sous forme de tableau :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
  valeur de $X$ & $x_1$ & $x_2$ & ... & $x_n$ \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $P(X=x_1)$ & $P(X=x_2)$ & ... & $P(X=x_n)$ \\
\hline
 \end{tabular}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 On lance un dé. Si les faces 1 et 2 apparaissent on gagne 3 euros.\\
Si les faces 3,4,5 ou 6 sortent, on perd 2 euros.\\
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le gain algébrique de ce jeu.\\
$X$ prend les valeurs 3 et -2.\\
On a $P(X=3)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$ et $P(X=-2)=\frac{4}{6}$.\\
D'où la loi de probabilité de $X$ :
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
  Valeurs de $X$ & -2 & 3 \\
\hline
$P(X=x_i)$ & $\frac{2}{3}$ & $\frac{1}{3}$ \\
\hline
 \end{tabular}

\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Espérance d'une variable aléatoire}

\cadre{
\begin{encadrer}{Définition}
On appelle \emphref{espérance mathématique} de $X$ et on note $E(X)$ le nombre $$E(x)=x_1p_1+\ldots +x_np_n$$ 
\end{encadrer}
}

\begin{sanscadre}{Exemple}
 L'espérance de la variable aléatoire de l'exemple précédent est :\\
$E(X)= \frac{2}{3}\times(-2)+\frac{1}{3}\times 3 =\frac{-4}{3}+1=-\frac{1}{3}$\\
L'espérance mathématique étant négative, on peut considérer le jeu comme en défaveur du joueur.
\end{sanscadre}




\end{document}



