\documentclass[12pt]{article}

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\newenvironment{sanscadre}[1]{\textbf{#1 :} \par \indent}{\par}
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\title{Suites, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Suites, cours, terminale STMG}}
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\begin{center}
 {\LARGE \textbf{Suites, cours, terminale STMG}}
\end{center}




\section{Suites arithmétiques}

\subsection{Définition}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $r$ un nombre réel. On appelle \emphref{suite arithmétique} de \emphref{raison} $r$ toute suite définie par son premier \emphref{terme} $u_p$ où $p$ est un entier naturel, et pour tout entier naturel $n\geq p$ par la relation :
$$..............$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=56$ et $u_{n+1}=u_n-4$. $(u_n)$ est une suite arithmétique de raison ...........\par
\noindent On a $u_1=..............$,\par
\noindent $u_2=..............$,\par
\noindent $u_3=................$.\\
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}



\subsection{Expression en fonction de $n$}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si le premier terme est $u_0$, alors pour tout entier $n$, $$..............$$
\nouvitem si le premier  est $u_1$, alors pour tout entier $n$, $$...............$$
\end{itemize}
De manière plus générale,  pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ avec $p<n$ on a :
$$.................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite arithmétique]}
\begin{onehalfspace}
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme $u_0=56$.\par
\noindent $u_n=......$\\
\noindent On a par exemple, $u_{12}=...............$\\
\noindent ou encore $u_{15}=....................$.
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\subsection{Reconnaissance}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{onehalfspace}
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_p$.\par
\noindent $(u_n)$ est arithmétique\par
\noindent si et seulement si il existe un nombre réel $r$ tel que pour tout entier naturel $n\geq p$ $u_{n+1} =..............$\par
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et $p$ et $n$ deux entiers naturels distincts.\par
Alors la raison $r$ de la suite est donnée par :
$$.............................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Déterminer la raison d'une suite arithmétique]}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique vérifiant $u_{10}=34$ et $u_{16}=43$. On recherche la raison de la suite.\par
\noindent On a $r=......................$
\end{sanscadre}



\begin{encadrer}{Propriété}
On considère une suite $(u_n)$. $(u_n)$ est une suite arithmétique si et seulement si les points constituant sa représentation graphique dans un repère du plan sont ......................
 On parle alors de ................ ...................... .
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par $u_n=-4+2n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{suitescoursimggraphe.pdf}
\end{center}
\end{sanscadre}



\subsection{Variations}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $r>0$, alors $(u_n)$ est strictement croissante ;
\nouvitem Si $r<0$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
\end{encadrer}




\subsection{Sommes de termes}
\begin{encadrer}{Propriété}

Pour toute suite arithmétique $(u_n)$ et tout entier naturel $n$ :
$$\sum_{k=0}^{k=n}u_k=........$$
ou pour tout entier naturel $p<n$,
$$.....$$
ce qui s'écrit encore :
$$.....$$
\end{encadrer}

% Modif 2020
\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique]}
\begin{onehalfspace}
On considère la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$.\\
L'expression en fonction de $n$ de $u_n$ est $u_n=$.....\\
$u_{10}=....$\\
On a donc $\sum_{k=0}^{k=10}u_k =$....
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\section{Suites géométriques}

\subsection{Définition}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $q$ un réel. On appelle suite \emphref{géométrique} de \emphref{raison} $q$ toute suite définie par .................................................. où $p$ est un entier naturel, et telle que pour tout entier naturel $n\geq p$ :
$$................$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 2. On a \\
$u_2=...$\\
$u_3=.....$\\
$u_4=...$.
\end{sanscadre}

\subsection{Expression en fonction de $n$}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme :
\begin{itemize}
\nouvitem $u_0$, alors $....$
\nouvitem $u_1$, alors $.....$
\end{itemize}
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p<n$, on a :
$$..........$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite géométrique]}
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$.\\
$u_n=...$\\
On a par exemple $u_{12}=...$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_0$ et ne s'annulant pas.\par
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique si et seulement si pour tous les entiers naturels $n$, ................... est une constante. On parle alors de croissance ................. .
\end{encadrer}

% Modif programme 2020
\begin{sanscadre}{Exemple [Reconnaître si trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique]}
On considère les nombres 6, 18 et 54.\\
On a ................. et .................. donc les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison ...... .
\end{sanscadre}

% Modif programme 2020
\subsection{Sommes de termes}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si $q\neq 1$, $$\sum_{k=0}^{k=n}u_k=u_0+u_1+\ldots+u_n=....$$ 
ou
$$...............$$
\nouvitem si $q=1$, $\sum_{k=0}^{k=n}u_k=u_0+u_1+\ldots+u_n=....$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer les premiers termes d'une suite géométrique]}
\begin{onehalfspace}
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=100$ et de raison $1,02$.\\
On a $\sum_{k=0}^{k=10}u_k=...$
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\subsection{Variations}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme strictement positif et de raison $q>0$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si .........., alors $(u_n)$ est strictement ................;
\nouvitem Si .........., alors $(u_n)$ est strictement .................. 
\end{itemize}
\end{encadrer}

% Modif 2020
\section{Moyenne arithmétique et moyenne géométrique}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}
\nouvitem La \emphref{moyenne arithmétique} des deux nombres $a$ et $b$ est le nombre défini par ............. .
\nouvitem La \emphref{moyenne géométrique} de deux nombres $a$ et $b$ positifs est le nombre défini par ............. .
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Trois nombres $a$, $b$ et $c$ avec $a\leq b\leq c$ suivent une progression arithmétique si et seulement si $b$ est la moyenne .......................... de $a$ et $c$.
\nouvitem Trois nombres $a$, $b$ et $c$ avec $a\leq b\leq c$ suivent une progression géométrique si et seulement si $b$ est la moyenne .......................... de $a$ et $c$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples [reconnaître si trois nombres suivent une progression arithmétique ou géométrique]}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem On considère les nombres 34, 45 et 56. On a ....................... donc les trois nombres suivent une progression ...................... de raison ............... .
\nouvitem On considère les nombres 6, $x$ et 54. On suppose que les trois nombres suivent une progression géométrique. \\
On a $x=........................$ et les trois nombres suivent une progression ...................... de raison ...................... .
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\newpage


\section{Application aux taux d'évolution}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un capital $C_0$  est placé pendant $n$ années au taux annuel de $t$ \% avec intérêts composés. Alors, au bout de $n$ années, le capital  disponible $C_n$ est :
$$.......$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Définition}
\begin{onehalfspace}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $C_n$ est appelé  ................................................ par le capital $C_0$ au pendant $n$ années au taux de $t$ \%.
\nouvitem $C_0$ est appelé .............................. de $C_n$.\par
On a ..................
\nouvitem Deux taux correspondants à des périodes de placement différentes sont dits ...................................... lorsque, à intérêts composés, ils donnent la même valeur acquise du capital au bout du même temps de placement.
 \end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
$C_0$ est placé à 0,26 \% par mois avec intérêts composés sur 12 mois. On a :\par $C_{12}=..................$
Donc le taux annuel équivalent au taux mensuel de 0,26\,\% est .................
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
On considère un capital de valeur actuelle $C_0$ qui subit deux évolutions successives de taux $t_1$ et $t_2$. On note $C_1$ et $C_2$ les valeurs acquises après la première et la deuxième augmentation.\\
Alors : 
\begin{itemize}
\nouvitem la valeur du capital après la première évolution est $C_1=.................$ ;
\nouvitem le \emphref{coefficient multiplicateur moyen} correspondant est égal à la \emphref{moyenne géométrique} des coefficients multiplicateurs appliqués, c'est à dire :
$$...$$
et le \emphref{taux moyen} appliqué est :
$$...$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un capital $C_0$ de 5000 euros  placé à intérêts composés a une valeur acquise $C_2$ égale à 5600 euros après 2 ans.\\
Alors la valeur $C_1$ acquise au bout d'un an est $C_1=......$.
\nouvitem
Le prix d'un produit augmente de 5\% puis de 9\%.\\
Alors le coefficient multiplicateur moyen est ....\\
et le taux moyen est .................... soit ............. d'augmentation.
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\section{Algorithmique}


\begin{sanscadre}{Exemples d'algorithme de calcul de sommes}
\begin{itemize}
\nouvitem On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^2$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def sommesTermes(n):
	S=.....
	for k in range(0,n+1):
		S=.....
	return .....
\end{lstlisting}
La variable $k$ est appelée .................\\
La variable $S$ est appelée ........................\\
\nouvitem On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=8$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def sommesTermes(n):
	u=....
	S=....
	for k in range(2,n+1):
		u=.....
		S=.....
	return ...
\end{lstlisting}
\end{itemize}
\end{sanscadre}
\end{document}
