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\title{Suites de nombres, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Suites, cours, terminale STMG}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Suites arithmétiques}

\subsection{Définition}

\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $r$ un nombre réel. On appelle \emphref{suite arithmétique} de \emphref{raison} $r$ toute suite définie par son premier \emphref{terme} et pour tout entier naturel $n$ par la relation :
$$u_{n+1}=u_n+r$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=56$ et $u_{n+1}=u_n-4$.\\
$(u_n)$ est une suite arithmétique de raison -4.\\
On a $u_1=u_0-4=56-4=52$, $u_2=52-4=48$, $u_3=48-4=44$.\\
\end{sanscadre}

\subsection{Expression en fonction de $n$}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si le premier terme est $u_0$, alors pour tout entier $n$, $$u_n=u_0+nr$$
\nouvitem si le premier terme est $u_1$, alors pour tout entier $n$, $$u_n=u_1+(n-1)r$$
\end{itemize}
De manière plus générale,  pour tous les entiers naturels $n$ et $p$ avec $p<n$ on a :
$$u_{n}=u_p+(n-p)r$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite arithmétique]}
Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison -4 et de premier terme $u_0=56$. \\
$u_n=56-4n$\\
On a par exemple, $u_{12}=u_0+12r=56+12\times (-4)=8$ ou encore $u_{15}=u_12+3r=8+3\times (-4)=8-12=-4$.
\end{sanscadre}


\subsection{Reconnaissance}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite. $(u_n)$ est arithmétique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}-u_n$ est constant.
\end{encadrer}

% Modif programme 2020
\begin{sanscadre}{Exemple [Reconnaître si 3 nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique]}
On considère les nombres 34, 45 et 56. On a $56-45=11$ et $45-34=11$ donc les trois nombres sont les termes consécutifs d'une suite arithmétique de raison 11.
\end{sanscadre}

% Modif programme 2020
\begin{encadrer}{Propriété}
On considère une suite $(u_n)$. $(u_n)$ est une suite arithmétique si et seulement si les points constituant sa représentation graphique dans un repère du plan sont alignés. On parle alors de \emphref{croissance linéaire}.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
La figure ci-dessous montre la représentation graphique de la suite définie par $u_n=-4+2n$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{center}
\includegraphics[scale=1]{suitescoursimggraphe.pdf}
\end{center}
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique et $p$ et $n$ deux entiers naturels distincts.\par
Alors la raison $r$ de la suite est donnée par :
$$r=\frac{u_n-u_p}{n-p}$$
\end{encadrer}

% Modif programme 2020
\begin{sanscadre}{Exemple [Déterminer la raison d'une suite arithmétique]}
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique vérifiant $u_{10}=34$ et $u_{16}=43$. On recherche la raison de la suite.\\
On a $u_{16}=u_{10}+6\times r$ où $r$ est la raison de la suite. D'où $43=34+6r$ c'est à dire $r=\frac{43-34}{6}=1,5$.
\end{sanscadre}

%Modif programme 2020
\subsection{Sommes de termes}
\begin{encadrer}{Propriété}

Pour toute suite arithmétique $(u_n)$ et tout entier naturel $n$ :
$$\sum_{k=0}^{k=n}u_k=u_0+u_1+u_2+\ldots+u_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$$
ou pour tout entier naturel $p<n$,
$$\sum_{k=p}^{k=n}u_k=u_p+u_{p+1}+\ldots+u_n=(n-p+1)\frac{u_p+u_n}{2}$$
ce qui s'écrit encore :
$$u_p+u_{p+1}+...+u_n=\frac{\textrm{nombre de termes}\times(\textrm{premier terme}+\textrm{dernier terme})}{2}$$
\end{encadrer}

% Modif 2020
\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer la somme des premiers termes d'une suite arithmétique]}
On considère la suite artihémtique $(u_n)$ de premier terme $u_0=2$ et de raison $3$.\\
L'expression en fonction de $n$ de $u_n$ est $u_n=3n+2$.\\
$u_{10}=3\times 10+2=32$\\
On a donc $\sum_{k=0}^{k=10}u_k = \frac{u_0+u_{10}}{2}=\frac{2+32}{2}=17$.
\end{sanscadre}

\section{Suites géométriques}

\subsection{Définition}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Soit $q$ un réel. On appelle suite \emphref{géométrique} de \emphref{raison} $q$ toute suite définie par son premier terme $u_0$ (ou $u_1$) et telle que pour tout entier naturel $n\geq 0$ (ou $n\geq 1$) :
$$u_{n+1}=qu_n$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_1=3$ et $u_{n+1}=2u_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1. $(u_n)$ est une suite géométrique de raison 2.\\
On a $u_2=3\times 2=6$, $u_3=6\times 2=12$, $u_4=12\times 2=24$, etc.
\end{sanscadre}

\subsection{Expression en fonction de $n$}

\begin{encadrer}{Propriété (expression en fonction de $n$)}
Si $(u_n)_n$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme :
\begin{itemize}
\nouvitem $u_0$, alors $u_n=q^nu_0$ ;
\nouvitem $u_1$, alors $u_n=q^{n-1}u_1$.
\end{itemize}
De manière plus générale, si $p$ et $n$ sont des entiers naturels tels que $p<n$, on a :
$$u_n=u_p\times q^{n-p}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Exprimer en fonction de $n$ le terme général d'une suite géométrique]}
Soit $(u_n)$ la suite géométrique de premier terme $u_0=5$ et de raison $q=2$. \\
$u_n=5\times 2^n$\\
On a par exemple $u_{12}=u_0\times q^{12}=5\times 2^{12}=5 \times 4096=20480$.
\end{sanscadre}

\subsection{Reconnaissance}

% Modif programme 2020
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite de premier terme $u_0$ et ne s'annulant pas.\par
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique si et seulement si pour tous les entiers naturels $n$, $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ est une constante. On parle alors de \emphref{croissance exponentielle}.
\end{encadrer}

% Modif programme 2020
\begin{sanscadre}{Exemple [Reconnaître si 3 nombres sont les termes consécutifs d'une suite géométrique]}
On considère les nombres 6, 18 et 54. On a $\frac{54}{18}=3$ et $\frac{18}{6}=3$ donc les trois nombres sont des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison 3.
\end{sanscadre}

% Modif programme 2020
\subsection{Sommes de termes}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0$, alors :
\begin{itemize}
\nouvitem si $q\neq 1$, $$\sum_{k=0}^{k=n}u_k=u_0+u_1+\ldots+u_n=\frac{u_0(1-q^{n+1})}{1-q}$$ 
ou
$$\sum_{k=p}^{k=n}u_k=u_p+u_{p+1}+...+u_n=u_p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$$
\nouvitem si $q=1$, $u_0+u_1+\ldots+u_n=(n+1)u_0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple [Savoir calculer les premiers termes d'une suite géométrique]}
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0=100$ et de raison $1,02$.\\
L'expression en fonction de $n$ de $u_n$ est $u_n=100\times 1,02^n$.\\
On a $\sum_{k=0}^{k=10}u_k=u_0\frac{1-q^{11}}{1-q}=100\frac{1-1,02^{11}}{1-1,02}\approx 1216,87$.
\end{sanscadre}

\subsection{Variations}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de premier terme strictement positif et de raison $q>0$.
\begin{itemize}
\nouvitem Si $q>1$, alors $(u_n)$ est strictement croissante ;
\nouvitem Si $0<q<1$, alors $(u_n)$ est strictement décroissante.
\end{itemize}
\end{encadrer}

% Modif 2020
\section{Moyenne arithmétique et moyenne géométrique}

\begin{encadrer}{Définition}
Soit $a$ et $b$ deux réels.
\begin{itemize}
\nouvitem La \emphref{moyenne arithmétique} des deux nombres $a$ et $b$ est le nombre défini par $\frac{a+b}{2}$.
\nouvitem La \emphref{moyenne géométrique} de deux nombres $a$ et $b$ positifs est le nombre défini par $\sqrt{ab}$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Propriété}
\begin{itemize}
\nouvitem Trois nombres $a$, $b$ et $c$ avec $a\leq b\leq c$ suivent une progression arithmétique si et seulement si $b$ est la moyenne arithmétique de $a$ et $c$.
\nouvitem Trois nombres $a$, $b$ et $c$ avec $a\leq b\leq c$ suivent une progression géométrique si et seulement si $b$ est la moyenne géométrique de $a$ et $c$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples [reconnaître si trois nombres suivent une progression arithmétique ou géométrique]}
\begin{itemize}
\nouvitem On considère les nombres 34, 45 et 56. On a $\frac{34+56}{2}=45$ donc les trois nombres suivent une progression arithmétique de raison $56-45=11$.
\nouvitem On considère les nombres 6, $b$ et 54. On suppose qu'ils suivent une progression géométrique.  On a $\sqrt{6\times 54}=18$ donc $a=18$ et les trois nombres suivent une progression géométrique de raison $\frac{18}{6}=3$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\newpage



\section{Application aux taux d'évolution}

\begin{encadrer}{Propriété}
Un capital $C_0$  est placé pendant $n$ années au taux annuel de $t$ \% avec intérêts composés. Alors, au bout de $n$ années, le capital  disponible $C_n$ est :
$$C_n=C_0\times (1+t)^n$$
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Définition}
 \begin{itemize}
  \nouvitem $C_n$ est appelé  \emphref{valeur acquise} par le capital $C_0$ pendant $n$ années au taux de $t$ \%.
\nouvitem $C_0$ est appelé \emphref{valeur actuelle} de $C_n$. On a $C_0=\frac{C_n}{(1+t)^n}$.
\nouvitem Deux taux correspondants à des périodes de placement différentes sont dits \emphref{équivalents} lorsque, à intérêts composés, ils donnent la même valeur acquise du capital au bout du même temps de placement.
 \end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
$C_0$ est placé à 0,26 \% par mois avec intérêts composés sur 12 mois. \\
On a :\par $C_{12}=C_0\times(1+\frac{0,26}{100})^{12}\approx C_0\times1,0317$\\
Donc le taux annuel équivalent au taux mensuel de 0,26\,\% est 3,17\,\%.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Définition et propriété}
On considère un capital de valeur actuelle $C_0$ qui subit deux évolutions successives de taux $t_1$ et $t_2$. On note $C_1$ et $C_2$ les valeurs acquises après la première et la deuxième augmentation.\\
Alors : 
\begin{itemize}
\nouvitem la valeur du capital après la première évolution est $C_1=\sqrt{C_0 C_2}$ ;
\nouvitem le \emphref{coefficient multiplicateur moyen} correspondant est égal à la \emphref{moyenne géométrique} des coefficients multiplicateurs appliqués, c'est à dire :
$$c_m=\sqrt{(1+t_1)(1+t_2)}$$
et le \emphref{taux moyen} appliqué est :
$$t_m=c_m-1$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples}
\begin{itemize}
\nouvitem Un capital $C_0$ de 5000 euros  placé à intérêts composés a une valeur acquise $C_2$ égale à 5600 euros après 2 ans.
Alors la valeur $C_1$ acquise au bout d'un an est $C_1=\sqrt{C_0 C_2}=\sqrt{5000 \times 5600}\approx 5291,50$ soit 5291,50 euros.
\nouvitem Le prix d'un produit augmente de 5\% puis de 9\%. Alors le coefficient multiplicateur moyen est $\sqrt{1,05\times 1,09} \approx 1,0698$ et le taux moyen est $0,0698$ soit $6,98\%$ d'augmentation.
\end{itemize}
\end{sanscadre}


% Modif 2020
\section{Algorithmique}


\begin{sanscadre}{Exemples d'algorithme de calcul de sommes}
\begin{itemize}
\nouvitem On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_n=n^2$ pour tout entier naturel $n$.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def sommesTermes(n):
	S=0
	for k in range(0,n+1):
		S=S+k*k
	return S
\end{lstlisting}
La variable $k$ est appelée \emphref{compteur} et la variable $S$ est appelée \emphref{accumulateur}.
\nouvitem On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_1=8$ et $u_{n+1}=3u_n-2$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def sommesTermes(n):
	u=8
	S=u
	for k in range(2,n+1):
		u=3*u-2
		S=S+u
	return S
\end{lstlisting}
La variable $k$ est appelée \emphref{compteur} et la variable $S$ est appelée \emphref{accumulateur}.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\end{document}
