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\title{Statistiques à deux variables, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Statistiques à deux variables, cours, classe de terminale STMG}}
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\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage






\section{Statistiques à deux variables}

\subsection{Vocabulaire}


\begin{encadrer}{Définition}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x$ et $y$ deux caractères quantitatifs d'une même population. A chaque individu de la population on associe un couple $(x_i;y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ pour $i\in\{1;\ldots;n\}$ avec $n$ entier naturel sont les valeurs prises respectivement par $x$ et $y$. L'ensemble de ces couples constitue une \emph{série statistique à deux variables} $x$ et $y$.
\nouvitem Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, l'ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$ est appelé \emphref{nuage de points} associé à la série statistique.
\nouvitem On appelle \emphref{point moyen} du nuage de points de cette série statistique le point G de coordonnées $(\bar{x};\bar{y})$ où $\bar{x}$ est la moyenne pondérée de la série des $x_i$ et $\bar{y}$ est la moyenne de la série des $y_i$, c'est à dire :
$$\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$$
et 
$$\bar{y}=\frac{y_1+y_2+...+y_n}{n}$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un magasin réalise une étude sur l'influence du prix de vente sur le nombre de machines à laver vendues au cours d'une année. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :\par
\begin{flushleft}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix $x_i$ en euros & 300 & 350 & 400 & 450 & 500 & 600\\
\hline
Nombre de machines vendues & 210 & 190 & 160 & 152 & 124 & 102\\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
Le nuage de points associé à cette série est constitué des points $M_i$ pour $i$ allant de 1 à 6 dont les coordonnées sont $(300;210)$, $(350;190)$,...,$(600;102)$.\\
$\bar{x}=\frac{300+350+400+450+500+600}{6}=\frac{2600}{6}\approx 433,33$ et $\bar{y}=\frac{210+190+160+152+124+102}{6}=\frac{938}{6}\approx 15,33$ donc le point moyen est $G(\frac{2600}{6};\frac{938}{6})$. 
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTGsanslegende.png}
\end{center}

\subsection{Ajustement d'un nuage de points}

\begin{encadrer}{Définition}
Toute droite "résumant approximativement" le nuage est appelée \emph{droite d'ajustement affine} du nuage de points.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Il existe d'autres types d'ajustement : dans certains cas, on peut observer que visiblement une droite ne convient pas mais que le nuage de points semble être approché par un autre type de courbe, parabole par exemple. En outre, certains nuages peuvent ne pas sembler être approchables par une quelconque courbe auquel cas les deux variables ne sont pas reliées entre elles.
\end{sanscadre}

\subsection{Détermination d'une équation de droite d'ajustement affine}

\begin{encadrer}{Méthode graphique au jugé}
On trace \og{}au jugé\fg{} une droite  qui \og{}semble résumer\fg{} le nuage de points. C'est une méthode simple mais qui dépend de la droite tracée.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTG.png}
\end{center}


\begin{encadrer}{Méthode des moindres carrés}
Avec les notations de la figure ci-dessous, étant donné un nuage de $n$ points $M_i$, il existe une droite passant par le point moyen $G$ et telle que la somme des carrés des écarts (ou \emph{résidus}) $P_1M_1^2+P_2M_2^2+\ldots+P_nM_n^2$ soit minimale.
Cette droite est appelée \emph{droite de régression de $y$ en $x$}. On peut montrer que son équation réduite est $y=mx+p$ avec :
$$m=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\ldots+(x_p-\bar{x})(y_p-\bar{y})}{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_p-\bar{x})^2}$$
et 
$$p=\bar{y}-m\bar{x}$$

\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg1TSTG.png}
\end{center}

\begin{sanscadre}{Exemple}
On reprend l'exemple précédent.
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de l'équation réduite à l'aide des formules :\par
\begin{flushleft}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i-\bar{x}$ & $y_i-\bar{y}$ & $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ & $(x_i-\bar{x})^2$ \\
\hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline 
 & Total & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
\noindent D'où $m\approx -0,37$\par
\noindent et $p\approx 315,06$\par
\nouvitem Recherche de l'équation réduite avec la calculatrice :\par
\begin{itemize}
\item[*] TI 82 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{EDIT}. Entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne $L_1$ et les valeurs $y_i$ dans la colonne $L_2$. Quitter (\fbox{2nde} \fbox{QUIT}) puis menu \fbox{STAT} et \fbox{CALC}. Choisir \fbox{LinReg(ax+b)} puis \fbox{2nd}\fbox{L1}\fbox{,}\fbox{2nd}\fbox{L2} pour indiquer les deux colonnes à utiliser. Valider ensuite \fbox{ENTER}.
\item[*] CASIO Graph 25 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne 1 et les valeurs $y_i$ dans la colonne 2. Sélectionner ensuite \fbox{CALC}. Choisir \fbox{SET} et vérifier que la ligne \og{}2Var XList\fg{} est mise à \og{}List1\fg{} et que la ligne \og{}2Var YList\fg{} est mise à \og{}List2\fg{}, sinon choisir le menu \fbox{LIST} pour indiquer les numéros de liste adaptés. Taper ensuite sur \fbox{EXIT} puis choisir \fbox{REG} puis \fbox{X}.
\end{itemize}
\nouvitem Obtention de l'équation réduite à l'aide d'un programme : % Modif programme 2020
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def moindreCarres(L1,L2):
	mL1=0
	for k in range(len(L1)):
		mL1=mL1+L1[k]
	mL1=mL1/len(L1)
	mL2=0
	for k in range(len(L2)):
		mL2=mL2+L2[k]
	mL2=mL2/len(L2)
	numerateur=0
	denominateur=0
	for k in range(len(L1)):
		numerateur=numerateur+(L1[k]-mL1)*(L2[k]-mL2)
		denominateur=denominateur+(L1[k]-mL1)**2
	m=numerateur/denominateur
	p=mL2-a*mL1
	return m,p
\end{lstlisting}
\end{itemize}
\end{sanscadre}




\end{document}
