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\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}

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\title{Statistiques à deux variables, terminale STMG}


\begin{document}

\textbf{\LARGE Statistiques à deux variables, terminale STMG}
\vspace{0.5cm}

\section{Vocabulaire}


\begin{encadrer}{Définition}
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem Soient $x$ et $y$ deux caractères quantitatifs d'une même population. \'A chaque individu de la population on associe un couple $(x_i;y_i)$ où $x_i$ et $y_i$ pour $i\in\{1;\ldots;n\}$ avec $n$ entier naturel sont les valeurs prises respectivement par $x$ et $y$. L'ensemble de ces couples constitue une \emphref{série statistique à deux variables} $x$ et $y$.
\nouvitem Dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$, l'ensemble des points $M_i$ de coordonnées $(x_i;y_i)$ est appelé ............................................................... associé à la série statistique.
\nouvitem On appelle \emphref{point moyen} du nuage de points de cette série statistique le point G de coordonnées $(............ ; ............)$ où .......... est la ....................  ................... de la série des $x_i$ et ........... est la .................. .................. de la série des $y_i$, c'est à dire :
$$....$$
et 
$$....$$
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Un magasin réalise une étude sur l'influence du prix de vente sur le nombre de machines à laver vendues au cours d'une année. Le tableau suivant donne les résultats de cette étude :\par
\begin{flushleft}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
Prix $x_i$ en euros & 300 & 350 & 400 & 448 & 500 & 600\\
\hline
Nombre de machines vendues & 208 & 190 & 160 & 152 & 124 & 102\\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
\begin{onehalfspace}
Le nuage de points associé à cette série est constitué des points $M_1\,(300;208)$, $M_2\,(350;190)$,...,$M_6\,(600;102)$.
$\bar{x}=...$ \\
et $\bar{y}=...$\\
\vspace{0.5cm}
donc le point moyen est $G(.................;.....................)$. 
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}


\section{Ajustement d'un nuage de points}


\begin{encadrer}{Définition}
Toute droite "résumant approximativement" le nuage est appelée ......................................... du nuage de points.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTGsanslegende.png}
\end{center}

\section{Détermination d'une équation de droite d'ajustement affine}

\begin{encadrer}{Méthode graphique au jugé}
On trace \og{}au jugé\fg{} une droite qui \og{}semble résumer\fg{} le nuage de points. C'est une méthode simple mais ..........................................................................................
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=8cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg2TSTGsanslegende.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ de coordonnées $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ deux points tels que $...............$. Alors la droite $(AB)$ n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées, elle a donc une équation de la forme $................$ et on a : $$...........................$$
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple de savoir faire [Détermination de l'équation d'une droite dont on connaît les coordonnées de deux points]}
Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par les points $M_1\,(300;208)$, $M_2\,(350;190)$  Son équation est de la forme $.............$.

$......................... ....................... ....................................$

donc son équation est $y=...............$.

Or $M_1\in\mathcal{D}$ donc ses coordonnées vérifient l'équation d'où\\
$..............=.....................$ et $b=....................$ c'est à dire $b=.............$.

L'équation est donc $................................$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Méthode des moindres carrés}
Avec les notations de la figure ci-dessous, étant donné un nuage de $n$ points $M_i$, il existe une droite passant par le point moyen $G$ et telle que la somme des carrés des écarts (ou \emph{résidus}) $P_1M_1^2+P_2M_2^2+\ldots+P_nM_n^2$ soit minimale.
Cette droite est appelée \emph{droite de régression de $y$ en $x$}. On peut montrer que son équation réduite est $y=mx+p$ avec :
$$m=\frac{(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+(x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})+\ldots+(x_p-\bar{x})(y_p-\bar{y})}{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\ldots+(x_p-\bar{x})^2}$$
et 
$$p=\bar{y}-m\bar{x}$$
En pratique, on utilisera la calculatrice pour l'obtenir.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{statistiquesdeuxvariablescoursimg1TSTG.png}
\end{center}

\newpage


\begin{sanscadre}{Exemple}
On reprend l'exemple précédent.
\begin{itemize}
\nouvitem Recherche de l'équation réduite à l'aide des formules :\par
\begin{onehalfspace}
\begin{flushleft}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
$x_i-\bar{x}$ & $y_i-\bar{y}$ & $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ & $(x_i-\bar{x})^2$ \\
\hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
 \hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline
 & & & \\
\hline 
 & Total & & \\
\end{tabular}
\end{flushleft}
\noindent D'où :\par

$m=...$\par
\vspace{1cm}
\noindent et $p=...$\par
\end{onehalfspace}
\nouvitem Recherche de l'équation réduite avec la calculatrice :\par
\begin{itemize}
\nouvitem TI 82 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis \fbox{EDIT}. Entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne $L_1$ et les valeurs $y_i$ dans la colonne $L_2$. Quitter (\fbox{2nde} \fbox{QUIT}) puis menu \fbox{STAT} et \fbox{CALC}. Choisir \fbox{LinReg(ax+b)} puis \fbox{2nd}\fbox{L1}\fbox{,}\fbox{2nd}\fbox{L2} pour indiquer les deux colonnes à utiliser. Valider ensuite par \fbox{ENTER}.
\nouvitem CASIO Graph 25 et plus :\par
Aller dans le menu \fbox{STAT} puis entrer les valeurs $x_i$ dans la colonne 1 et les valeurs $y_i$ dans la colonne 2. Sélectionner ensuite \fbox{CALC}. Choisir \fbox{SET} et vérifier que la ligne \og{}2Var XList\fg{} est mise à \og{}List1\fg{} et que la ligne \og{}2Var YList\fg{} est mise à \og{}List2\fg{}, sinon choisir le menu \fbox{LIST} pour indiquer les numéros de liste adaptés. Taper ensuite sur \fbox{EXIT} puis choisir \fbox{REG} puis \fbox{X}.
\end{itemize}

\newpage

\nouvitem Obtention de l'équation réduite à l'aide d'un programme : % Modif programme 2020
\begin{lstlisting}[language=python,frame=single,keywordstyle=\color{blue},numberstyle=\color{green},stringstyle=\color{orange},identifierstyle=\color{purple}]
def moindreCarres(L1,L2):
	mL1=0
	for k in range(len(L1)):
		mL1=mL1+L1[k]
	mL1=mL1/len(L1)
	mL2=0
	for k in range(len(L2)):
		mL2=mL2+L2[k]
	mL2=mL2/len(L2)
	numerateur=0
	denominateur=0
	for k in range(len(L1)):
		numerateur=numerateur+(L1[k]-mL1)*(L2[k]-mL2)
		denominateur=denominateur+(L1[k]-mL1)**2
	m=numerateur/denominateur
	p=mL2-a*mL1
	return m,p
\end{lstlisting}
\end{itemize}
\end{sanscadre}



\end{document}
