\documentclass[12pt]{article}

\usepackage[fleqn]{amsmath}
\usepackage[cp1252]{inputenc} 
\usepackage[T1]{fontenc} 
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[right=1.5cm,left=1.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=blue,bookmarksnumbered]{hyperref}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{setspace}


\usepackage{fancyhdr}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\newenvironment{encadrer}[1]{\noindent \textbf{#1 :} \par \begin{center} \begin{tabular}{|p{13cm}|} \hline}{\\ \hline \end{tabular} \bigskip \end{center}}
\newenvironment{sanscadre}[1]{\noindent \textbf{#1 :}\par  \noindent}{\bigskip\par}

\newenvironment{systemedeq}[4]{\pdfrowcolors{} \left\{ \begin{array}{rcl} #1 & = & #2 \\ #3 & = & #4 \\ \end{array} \right.}

\newenvironment{systemedeqtrois}[6]{\pdfrowcolors{} \left\{ \begin{array}{rcl} #1 & = & #2 \\ #3 & = & #4 \\ #5 & = & #6 \\ \end{array} \right.}

\newcommand{\defref}[2]{\hypertarget{#1}{\emph{\color{red}{#2}}}}
\newcommand{\faireref}[2]{\hyperlink{#1}{#2}}
\newcommand{\nouvitem}{\item[$\bullet$]}
\newcommand{\emphref}[1]{\emph{\color{red}{#1}}}
%\setlength\textwidth{17cm} 
%\setlength\oddsidemargin{-0.54cm} 
%\setlength\topmargin{-1.04cm} 
%\setlength\textheight{24.7cm} 
\setlength\headheight{0.55cm} 
%\setlength\headsep{0cm} 

\newcommand{\pdfrowcolors}[1]{\rowcolors{1}{#1}{#1}}

\title{Programmation linéaire, classe de terminale STMG}


\author{F.Gaudon}

\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Programmation linéaire, cours, classe de terminale STMG}}
\fancyfoot[R]{\includegraphics[width=2cm]{88x31.png}}
\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}

\begin{center}
\LARGE Programmation linéaire, cours, terminale TSTMG
\end{center}

\section{Régionnement du plan}

\subsection{Propriétés graphiques des inéquations linéaires à deux variables}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère. La droite $\mathcal{D}$ d'équation .................... où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés avec $(a;b)\neq (0;0)$ détermine deux demi-plans de frontière $\mathcal{D}$ :
\begin{itemize}
\item l'un est l'ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions de l'inéquation linéaire ...................... ;
\item l'autre est l'ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions de l'inéquation linéaire ........................
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $\mathcal{D}$ une droite d'équation $y=mx+p$. Les solutions de l'inéquation $y\leq mx+p$ (resp. $y\geq mx+p$)sont les coordonnées des points du demi-plan situé ................................  (resp. ...............................  de la droite $\mathcal{D}$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{programmationlineairecoursTSTGimg3sanslegende.png}
\end{center}

\newpage

\subsection{Méthode de résolution graphique des inéquations linéaires à deux inconnues}

\begin{encadrer}{Méthode}
On considère une inéquation de la forme $ax+by+c\leq 0$ ou $ax+by+c\geq 0$ avec $(a;b)\neq (0;0)$

Pour représenter graphiquement les solutions d'une telle inéquation dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ :
\begin{itemize}
\nouvitem on écrit l'inéquation sous la forme ................. ou ...................... ou .................... ou ............... où $m$, $p$ et $k$ sont des réels ;
\nouvitem on trace dans le repère la droite d'équation .................... ou ...................... ;
\nouvitem on garde le demi-plan contenant les solutions d'après la propriété précédente.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
\begin{onehalfspace}
Résolution graphique de l'inéquation $3x+2y \leq 4$.\par
\begin{itemize}
\nouvitem On met l'inéquation sous la forme réduite : $.................$
\nouvitem on trace la droite d'équation ....................\par
\begin{flushleft}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$x$ & ..... & ...... \\
\hline
$y$ & ... & ... \\
\hline
\end{tabular}
\end{flushleft}
\nouvitem on hachure le demi-plan qui ne convient pas.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{programmationlineairecoursTSTGimg4.png}
\end{center}
\end{sanscadre}

\newpage

\subsection{Résolution graphique de systèmes d'inéquations linéaires à deux variables}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. Soit le système d'inéquations linéaires à deux variables $\mathcal{S}$ :
$$\left \{ \begin{array}{r}
(E_1) \\
(E_2)\\
... \\
(E_n) \\
\end{array} \right.$$
où $(E_1)$, $(E_2)$, ..., $(E_n)$ sont des inéquations de la forme $ax+by \leq c$ ou $ax+by \geq c$.

Les solutions de ce système sont les points du repère dont les coordonnées vérifient \emph{toutes} les équations $(E_1$, $(E_2)$, ..., $(E_n)$. Il se trouvent à \emph{l'intersection} de chacun des demi-plans définis par ces inéquations.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère le système d'inéquations suivant :
\pdfrowcolors{}
$$\left \{ \begin{array}{rcl} 
0 &\leq x  \leq & 4\\
y &\geq 0 & \\
x+2y-4 & \leq &0 \\
\end{array} \right.$$
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem On met les inéquations qui le nécessitent sous la forme réduite : on a $x+2y-4\leq 0$ qui équivaut à $.............$ c'est à dire à $.................$.\par
\nouvitem On trace les droites d'équation $y=-\frac{x}{2}+2$, $x=...$, $x=...$ et $y=...$.\par
\nouvitem On hachure les parties du plan qui ne conviennent pas.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{programmationlineairecoursTSTGimg4sanslegende.png}
\end{center}

\newpage

\section{Programmation linéaire}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. 
\begin{itemize}
\nouvitem Les droites qui ont une équation de la forme $ax+by=k$ où $a$ et $b$ sont deux réels et $k$ est un réel que l'on fait varier, sont des droites parallèles de coefficient directeur $\frac{-a}{b}$ ; 
\nouvitem pour des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ d'équations $ax+by=k_1$ et $ax+by=k_2$ où $k_1$ et $k_2$ sont deux réels tels que $k_1 < k_2$, $\mathcal{D}_1$ coupe l'axe des ordonnées ..................... de $\mathcal{D}_2$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[width=12cm]{programmationlineairecoursTSTGimg2.png}
\end{center}



\end{document}
