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\title{Programmation linéaire, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\fancyhead[R]{\textit{Programmation linéaire, cours, classe de terminale STMG}}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage
\section{Régionnement du plan}

\subsection{Résolution graphique d'inéquations linéaires à deux variables}

\pdfrowcolors{lightgray}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère. La droite $\mathcal{D}$ d'équation $ax+by=c$ où $a$, $b$ et $c$ sont des réels fixés détermine deux demi-plans de frontière $D$ :
\begin{itemize}
\item l'un est l'ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions de l'inéquation linéaire $ax+by\leq c$ ;
\item l'autre est l'ensemble des points dont les coordonnées sont les solutions de l'inéquation linéaire $ax+by\geq c$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère et $\mathcal{D}$ une droite d'équation $y=mx+p$. Les solutions de l'inéquation $y\leq mx+p$ (resp. $y\geq mx+p$)sont les coordonnées des points du demi-plan situé \og{} en dessous\fg{}  (resp. \og{} au dessus)\fg{}  de la droite $\mathcal{D}$.
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{programmationlineairecoursTSTGimg3.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Méthode de résolution d'inéquations}
On considère une inéquation de la forme $ax+by+c\leq 0$ ou $ax+by+c\geq 0$ avec $(a;b)\neq (0;0)$

Pour représenter graphiquement les solutions d'une telle inéquation dans un repère $(O;\vec{i};\vec{j})$ :
\begin{itemize}
\nouvitem on écrit l'inéquation sous la forme $y\leq mx+p$ ou $y\geq mx+p$ ou $x\leq k$ ou $x\geq k$ où $m$, $p$ et $k$ sont des réels ;
\nouvitem on trace dans le repère la droite d'équation $y=mx+p$ ou $x=k$ ;
\nouvitem on garde le demi-plan contenant les solutions d'après la propriété précédente.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\subsection{Résolution graphique de systèmes d'inéquations linéaires à deux variables}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. Soit le système d'inéquations linéaires à deux variables $\mathcal{S}$ :
$$\left \{ \begin{array}{r}
(E_1) \\
(E_2)\\
... \\
(E_n) \\
\end{array} \right.$$
où $(E_1)$, $(E_2)$, ..., $(E_n)$ sont des inéquations de la forme $ax+by \leq c$ ou $ax+by \geq c$.

Les solutions de ce système sont les points du repère dont les coordonnées vérifient \emph{toutes} les équations $(E_1$, $(E_2)$, ..., $(E_n)$. Il se trouvent à \emph{l'intersection} de chacun des demi-plans définis par ces inéquations.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemple}
On considère le système d'inéquations suivant :
\pdfrowcolors{}
$$\left \{ \begin{array}{rcl} 
0 &\leq x  \leq & 4\\
y &\geq 0 & \\
x+2y-4 & \leq &0 \\
\end{array} \right.$$
On a $x+2y-4\leq 0$ qui équivaut à $2y\leq -x+4$ c'est à dire à $y\leq -\frac{x}{2}+2$.
On trace donc les droites d'équation $y=-\frac{x}{2}+2$, $x=0$, $x=4$ et $y=0$. On obtient ensuite la partie qui convient.
\end{sanscadre}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{programmationlineairecoursTSTGimg1.png}
\end{center}

\newpage

\section{Programmation linéaire}

\begin{encadrer}{Propriété}
Soit $(O;\vec{i};\vec{j})$ un repère du plan. 
\begin{itemize}
\nouvitem Les droites qui ont une équation de la forme $ax+by=k$ où $a$ et $b$ sont deux réels et $k$ est un réel que l'on fait varier, sont des droites parallèles de coefficient directeur $\frac{-a}{b}$ ; 
\nouvitem pour des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$ d'équations $ax+by=k_1$ et $ax+by=k_2$ où $k_1$ et $k_2$ sont deux réels tels que $k_1 < k_2$, $\mathcal{D}_1$ coupe l'axe des ordonnées au dessus de $\mathcal{D}_2$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.6]{programmationlineairecoursTSTGimg2.png}
\end{center}



\end{document}
