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\title{Probabilités conditionnelles, cours, terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
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\maketitle

\tableofcontents

\newpage


\section{Rappels sur les intersections et les réunions}

\begin{encadrer}{Définition}
Soient $A$ et $B$ deux événements.
\begin{onehalfspace}
\begin{itemize}
\nouvitem L'événement $A\cap B$ (lire "$A$ intersection $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent à la fois $A$ \emphref{et} $B$.
\nouvitem Lorsqu'aucune issue ne réalise $A$ et $B$, c'est à dire $A\cap B=\emptyset$, on dit que $A$ et $B$ sont disjoints ou incompatibles.
\nouvitem L'événement $A\cup B$ (lire "$A$ union $B$") est l'ensemble des issues qui réalisent $A$ \emphref{ou} $B$, c'est à dire l'un ou l'autre (ou les deux) des deux événements.
\nouvitem L'événement $\bar{A}$ appelé événement \emphref{contraire} ou complémentaire de $A$ est l'ensemble des issues qui ne réalisent pas $A$.
\end{itemize}
\end{onehalfspace}
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété} 
Soit $P$ une loi de probabilité sur un ensemble $E$. 
\begin{itemize}
\nouvitem Pour tous les événements $A$ et $B$, on a :
$$P(A\cap B)+P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$
\nouvitem En particulier, si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
\nouvitem Pour tout événement $A$, 
$$P(\bar{A})=1-P(A)$$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{center}
 \includegraphics[width=7cm]{probabilitescoursimgvennintersection.png}
\end{center}

\newpage


\section{Notion de probabilité conditionnelle}
\pdfrowcolors{lightgray}
\begin{encadrer}{Définition}
Pour tout événement $A$ non impossible et tout événement $B$, on appelle \emphref{probabilité conditionnelle de $B$ sachant $A$} et notée $P_A(B)$ le nombre $$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A}$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemple}
Lors d'un sondage, 50\% personnes des interrogées déclarent pratiquer un sport régulièrement et 75\% des
personnes interrogées déclarent aller au cinéma régulièrement. De plus, 40\% des personnes déclarent faire du sport et aller au cinéma régulièrement. On interroge à nouveau une de ces personnes au hasard et on considère les événements \og{}la personne interrogée pratique un sport régulièrement\fg{} et \og{}la personne interrogée va au cinéma régulièrement\fg{} que l'on notent $S$ et $C$ respectivement.
On cherche à calculer la probabilité que la personne pratique un sport régulièrement sachant qu'elle va régulièrement au cinéma.

On a $P(C)=0,75$ et $P(S\cap C)=0,4$. Donc $P_C(S)=\frac{P(S\cap C)}{P(C)}=\frac{0,4}{0,75}\approx 0,53$.
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Soient $A$ et $B$ deux événements non impossibles d'un univers donné. La connaissance de la probabilité d'un événement $B$ et de la probabilité conditionnelle d'un événements $A$ sachant $B$ permet de retrouver la probabilité $P(A\cap B)$ de l'intersection de $A$ et $B$ avec la formule $$P(A\cap B)=P(A)P_A(B)$$.
\end{encadrer}


\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les événements $A$ et $B$ tels que $P(A)\neq 0$ :
\begin{itemize}
\nouvitem $P_A(A)=1$ ;
\nouvitem $P_A(\bar{B})=1-P_A(B)$ ;
\nouvitem Si $A$ et $B$ sont des événements incompatibles (c'est à dire ne pouvant pas se réaliser simultanément ou encore tels que $A\cap B=\emptyset$) alors $P_A(B)=0$.
\end{itemize}
\end{encadrer}

\newpage


\section{Arbre pondérés}

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{ProbabilitesConditionnellesCoursArbre.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Définition}
Le schéma ci-dessus est appelé \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités}. Il comporte 4 \emphref{chemins} : $A\cap B$, $A\cap \bar{B}$, $\bar{A}\cap B$ et $\bar{A}\cap \bar{B}$. Un \emphref{noeud} est un point d'où partent plusieurs branches.
\end{encadrer}



\begin{encadrer}{Propriété}
Dans un \emphref{arbre pondéré} ou \emphref{arbre à probabilités} comme ci-dessus,
\begin{itemize}
\nouvitem La somme des probabilités portées sur les branches issues d'un même noeud est égale à 1 (par exemple, $P_A(B)+P_A(\bar{B})=1$) ;
\nouvitem la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches (par exemple, $P(A\cap B)=P(A) \times P_A(B)$) ;
\end{itemize}
\end{encadrer}


\section{Partitions et formule des probabilités totale}

\begin{encadrer}{Définition}
 Soient $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ pour $n\geq 1$ des parties non vides d'un ensemble $E$. On dit que $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment \emphref{une partition} de $E$ si les deux conditions suivantes sont vérfiées 
\begin{itemize}
 \nouvitem $A_1\cup A_2\cup ... \cup A_n=E$ ;
\nouvitem pour tout $i\in \{1;2;...;n\}$ et tout $j\in\{1;2;...;n\}$ avec $i\neq j$, on a $A_i\cap A_j=\emptyset$.
\end{itemize}
\end{encadrer}


\begin{center}
 \includegraphics[width=5cm]{probabilitescoursTSimgpartition.png}
\end{center}

\begin{encadrer}{Formule des probabilités totales}
 Si $A_1$, $A_2$, ..., $A_n$ forment une partition d'un univers $E$, alors pour tout événement $A$ de l'univers $E$ :
$$P(B)=P(B\cap A_1)+P(B\cap A_2)+...+P(B\cap A_n)$$
ou encore
$$P(B)=P(A_1)P_{A_1}(B)+P_(A_2)P_{A_2}(B)+...+P(A_n)P_{A_n}(B)$$
En particulier, pour tout événement $B$,
$$P(B)=P(A)P_{A}(B)+P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$$
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Remarque}
Sur l'arbre pondéré du paragraphe précédent, la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le compose (par exemple, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)$).
\end{sanscadre}


\section{Indépendance d'événements}

\begin{encadrer}{Définition}
On dit que deux événements $A$ et $B$ sont \emphref{indépendants} lorsque $$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$
\end{encadrer}

\begin{encadrer}{Propriété}
Si $P(A)\neq 0$ et $P(B)\neq 0$ alors $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P_A(B)=P(B)$ si et seulement si $P_B(A)=P(A)$, ce qui signifie que la probabilité que l'un des deux événements se réalise ne dépend pas de la probabilité que l'autre se réalise.
\end{encadrer} 

\begin{sanscadre}{Exemple}
On tire au hasard une carte d'un jeu de 32 cartes. On appelle $A$ l'événement \og{}on tire un as\fg{}, $T$ l'événement \og{}on tire un  trèfle\fg{} et $N$ l'événement \og{}on tire une carte noire\fg{}. On a $P(A)=\frac{4}{32}=\frac{1}{8}$, $P(T)=\frac{8}{32}=\frac{1}{8}$ et $P(N)=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}$.

 D'une part $A\cap T$ est l'événement \og{}on tire l'as de trèfle\fg{} et $P(A)P(T)=\frac{1}{8}\times \frac{1}{4}=\frac{1}{32}$ qui est bien égal à $P(A\cap T)$ ce qui montre que $A$ et $T$ sont indépendants. 
 
 D'autre part, $T\cap N$ est l'événement \og{}on tire un trèfle et une carte noire\fg{} dont la probabilité est $\frac{1}{4}$ mais on a $P(T)P(N)=\frac{1}{4}\frac{1}{2}=\frac{1}{8}\neq P(T\cap N)$ ce qui confirme que les événements $T$ et $N$ ne sont évidemment pas indépendants.
 
\end{sanscadre}


\begin{encadrer}{Propriété}
Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $\bar{A}$ et $B$ sont indépendants et  $\bar{A}$ et $\bar{B}$ sont indépendants.
\end{encadrer}


\end{document}

</pre></body></html>