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\title{Fonction logarithme décimal, cours de terminale STMG}


\author{F.Gaudon}



\begin{document}

\pagestyle{fancy}
\fancyhead[L]{}
\fancyhead[R]{\textit{Fonction logarithme décimal, Terminale STMG}}
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\fancyfoot[C]{\thepage}
\fancyfoot[L]{\footnotesize \textit{\color{black}\url{http://mathsfg.net.free.fr}}}



\maketitle

\tableofcontents

\newpage

\section{Définition et propriétés algébriques}

\begin{encadrer}{Définition}
On appelle fonction \emphref{logarithme décimal} et on note \emphref{$\log$} la fonction qui à tout réel $x$ \emph{strictement positif} associe l'unique réel $y$ tel que $10^y=x$\\
On a donc pour tout $x>0$ et tout $y$ réel,\\
 $\log(x) = y$ si et seulement si $10^y=x$.
\end{encadrer}


\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir résoudre des équations de la forme $10^x=y$]}
\begin{itemize}
\nouvitem $\log (10^6)=6$ ;
\nouvitem $\log (10^{-11})=-11$.
\nouvitem $10^{x}=2$ équivaut à $x=\log(2)$.
\end{itemize}
\end{sanscadre}





\begin{encadrer}{Propriétés}
\begin{itemize}
 \nouvitem Pour tout réel $x>0$, $10^{\log(x)}=x$ ;
\nouvitem pour tout réel $x$, $\log(10^x)=x$;
\nouvitem $\log(1)=0$ et $\log(10)=1$
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
 Conséquences directes de la définition.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriété fondamentale des logarithmes}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$.
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Preuve}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, $10^{\log(a)+\log(b)}=10^{\log(a)}10^{\log(b)}=ab$\\
$\log(a)+\log(b)$ est donc une solution de l'équation d'inconnue $x$, $10^x=ab$ .\\
Or par définition de $\log$, l'unique solution de cette équation est $\log(ab)$.\\
D'où $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$.
\end{sanscadre}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $a$ et $b$ strictement positifs, 
\begin{itemize}
\nouvitem $\log(\frac{1}{a})=-\log(a)$ ;
\nouvitem $\log(\frac{a}{b})=\log(a)-\log(b)$ ;
\nouvitem pour tout réel $x$, $\log (a^x)=x\log{a}$ ;
\end{itemize}
\end{encadrer}

\begin{sanscadresansflush}{Preuve}
\begin{itemize}
\nouvitem D'une part, $\log(a\times\frac{1}{a})=\log(1)=0$.

D'autre part, $\log(a\times\frac{1}{a})=\log(a)+\log(\frac{1}{a})$

Donc $\log(a)+\log(\frac{1}{a})=0$ et $\log(\frac{1}{a})=-\log(a)$.

\nouvitem $\log(\frac{a}{b})=\log(a\times\frac{1}{b})=\log(a)+\log(\frac{1}{b})=\log(a)-\log(b)$ d'après ce qui précède.
\nouvitem Admise
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush}

\begin{sanscadresansflush}{Exemples [Savoir effectuer des calculs avec le logarithme décimal]}
\begin{itemize}
\nouvitem $\log(10^9) + \log(10^{-5})=9-5=4$
\nouvitem $\log(50)=\log(25\times 2)=\log(25) + \log(2)=\log(5^2)+\log(2)=2\log(5)+\log(2)$
\nouvitem $\log(0,005)=\log(5\times 10^{-3})=\log(5)+\log(10^{-3})=\log(5)-3$ 
\nouvitem Si $a=2048$ et $b=16$\\
on a $\log(a)=\log(2^11)=11\log(2)$ et $\log(b)=\log(2^4)=4\log(2)$ \\
donc $\log(ab)=\log(a)+\log(b)=11\log(2)+4\log(2)=15\log(2)=15\log(2)$.
\end{itemize}
\end{sanscadresansflush} 

\section{\'Etude de la fonction logarithme décimal}


\subsection{Dérivabilité et variations}



\begin{encadrer}{Propriété}
La fonction $\log$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
\end{encadrer}


\subsection{Tableau de variation}
\begin{center}
\pdfrowcolors{}
\begin{tabular}{|c|lcr|}
\hline
$x$ & 0 & & $+\infty$\\
\hline
 & $\left\| \right.$ & &  \\
$\log(x)$ & $\left\| \right.$  & $\nearrow$ & \\ 
 & $\left\| \right.$ & & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
 \subsection{Tableau de signe}
 
 \begin{center}
 \pdfrowcolors{}
 \begin{tabular}{|c|lcccr|}
 \hline
 $x$ & 0 & & 1 & & $+\infty$ \\
 \hline
 $\log(x)$ & $\left\| \right.$ & - & 0 & + & \\
 \hline
 \end{tabular}
 \end{center}


\subsection{Représentation graphique}
 
 On parle de \emphref{croissance logarithmique} pour décrire une telle évolution.

\begin{center}
\includegraphics[width=7cm]{fonctionLogRepresentationGraphique.png}
\end{center}

\newpage


\subsection{Résolution d'équations et d'inéquations}

\begin{encadrer}{Propriétés}
Pour tous les réels $x$ et $y$ strictement positifs :\\
$\log(x)=\log(y)$ si et seulement si $x=y$\\
$\log(x)<\log(y)$ si et seulement si $x<y$\\
$\log(x)>\log(y)$ si et seulement si $x>y$\\
\end{encadrer}

\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir résoudre des équations $\log(x)=k$]}
Résolution de $\log(5x)=6$ :\\
On a $\log(5x)=\log(10^6)$ en utilisant la propriété $\log(10^x)=x$.\\
Donc $5x=10^6$ et $x=\frac{10^6}{5}$.
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir résoudre des équation $a^x=y$]}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de $5^x=6$ :\\
$5^x=6$ équivaut à $\log(5^x)=\log(6)$ donc à $x\log(5)=\log(6)$ donc à $x=\frac{\log(6)}{\log(5)}$.
\nouvitem La production d'un objet fabriqué initialement à 80 exemplaires par heure est prévue pour diminuer de 5\% toutes les heures jusqu'à ce qu'elle atteigne 40 exemplaires par heure.\\
On recherche le temps nécessaire pour arriver à 40 exemplaires :\\
$80\times 0,95^x=40$ équivaut à $0,95^x=\frac{40}{80}$ donc à $\log(0,95^x)=\log(\frac{1}{2})$\\
ou encore à $x\log(0,95)=\log(0,5)$ donc $x=\frac{\log(0,5)}{\log(0,95)}\approx 13,5$ soit 13 heures et demie.
\end{itemize}
\end{sanscadre}

\begin{sanscadre}{Exemples [Savoir résoudre des équations $x^a=y$]}
\begin{itemize}
\nouvitem Résolution de $x^{0,5}=6$ :\\
$x^{0,5}=6$ équivaut à $\log(x^{0,5})=\log(6)$ donc à $0,5\log(x)=\log(6)$\\
c'est à dire $\log(x)=\frac{\log(6)}{0,5}$ donc $x=10^{\frac{\log(6)}{0,5}}$\\
\nouvitem Un capital initial placé à un taux $t$ inconnu à intérêts composées double en 12 ans.\\
On recherche le taux inconnu.\\
On a $(1+t)^{12}=2$ ce qui équivaut à $\log((1+t)^{12})=\log(2)$ donc à $12\log(1+t)=\log(2)$\\
ce qui équivaut encore à $\log(1+t)=\frac{\log(2)}{12}$ donc $1+t=10^{\frac{\log(2)}{12}}$\\
D'où $t=10^{\frac{\log(2)}{12}}-1\approx 0,0595$ soit 5,95\% par an 
\end{itemize}  
\end{sanscadre}


\begin{sanscadre}{Exemple [Résoudre des inéquations $a^x<y$]}
Résolution de $1,6^x<3$ :\\
$1,6^x<3$ équivaut à $\log(1,6^x)<\log(3)$ donc à $x\log(1,6)<\log(3)$\\
Donc à $x<\frac{\log(3)}{\log(1,6)}$.\\
L'ensemble de solutions est $]-\infty ; \frac{\log(3)}{\log(1,6)}[$.
\end{sanscadre}

\end{document}